In dieser Arbeit betrachten wir effektive Modelle der Quantenchromodynamik, um sowohl den chiralen als auch den Deconfinement-Phasenübergang zu untersuchen. In Kapitel 1 rekapitulieren wir grundlegende Eigenschaften stark wechselwirkender Materie und thermischer Feldtheorie bei endlicher Temperatur. Weiterhin wiederholen wir den nichtperturbativen Zugang der funktionalen Renormierungsgruppe (FRG). In Kapitel 2 führen wir das Quark-Meson (QM)-Modell sowie dessen Erweiterungen durch Polyakov-Loop-Variablen (PQM-Modell) und repulsive vektorielle Wechselwirkungen zwischen Quarks ein. Anschließend erörtern wir Eigenschaften des Modells sowohl in der Molekularfeldnäherung als auch im Renormierungsgruppenzugang. Abschließend wird eine neue Methode die Renormierungsgruppengleichungen zu lösen basierend auf Chebyshev-Polynomen vorgestellt.

In Kapitel 3 untersuchen wir das Skalierungsverhalten des Ordnungsparameters am chiralen Phasenübergang im Rahmen der effektiven Modelle. Wir erforschen universelle und nichtuniverselle Strukturen in der Nähe des kritischen Punktes. Diese umfassen die Skalierungsfunktionen, die führenden Korrekturen zum Skalierungsverhalten und die entsprechende Größe des Skalierungsbereichs sowie deren Abhängigkeiten von einem äußeren symmetriebrechenden Feld. Wir betrachten zwei Modelle in der Molekularfeldnäherung, nämlich das QM-Modell sowie das PQM-Modell, und vergleichen deren kritische Eigenschaften mit denen eines rein bosonischen Modells, nämlich des O(N) linearen Sigma-Modells im N → ∞ Grenzfall. In diesen Modellen berechnen wir die Skalierungsfunktion des Ordnungsparameters analytisch durch Benutzung einer Hochtemperaturentwicklung des thermodynamischen Potentials. Die Effekte eines gluonischen Hintergrunds der nichtuniversellen Skalierungsparameter werden dann im PQM-Modell untersucht. Weiterhin führen wir numerische Berechnungen der Skalierungsfunktionen sowie des Skalierungsbereichs im QM-Modell im FRG-Formalismus durch.

Kapitel 4 enthält eine Untersuchung der kritischen Eigenschaften von Baryonenzahl-Fluktuationen am chiralen Phasenübergang in einem Medium bei endlicher Temperatur und nichtverschwindender Baryonendichte. Die chirale Dynamik der Quantenchromodynamik wird durch die Lagrangedichte des PQM-Modells modelliert, die die Kopplung der Quarks an Vektormesonen und zeitliche Eichfelder enthält. Die FRG berücksichtigt an der Phasengrenze die kritischen O(4)-Phänomene. Wir konzentrieren uns auf die Eigenschaften und Systematiken der Verhältnisse von den Baryonzahl-Kumulanten in der Nähe der Phasengrenze. Die Ergebnisse werden im Kontext der jüngsten experimentellen Befunde der STAR-Kollaboration auf dem Gebiet der Fluktuationen der Netto-Protonenzahl in Schwerionenkollisionen am RHIC dargestellt. Es stellt sich heraus, dass, bis auf eine Ausnahme, die Ergebnisse basierend auf den Modellrechnungen für die Energieabhängigkeit der Verhältnisse der Kumulanten insgesamt gut mit den Daten übereinstimmen. Bei Schwerpunktsenergien unter 19.7 GeV finden wir allerdings eine erhebliche Abweichung der Kumulanten vierter Ordnung von den Modellergebnissen, die die erwarteten O(4) und Z(2) Kritikalitäten enthalten. Weiterhin beurteilen wir den Einfluss der Modellannahmen und insbesondere der repulsiven vektoriellen Wechselwirkungen, die benutzt werden, um die Lage des kritischen Endpunktes zu verändern, auf die Verhältnisse der Kumulanten.

In Kapitel 5 schliesslich untersuchen wir den Einfluss von Volumeneffekten auf die Fluktuation der Baryonenzahl im QM-Modell. Wir benutzen die FRG in einem endlichen Volumen, wobei wir eine glatte Regulatorfunktion im Impulsraum verwenden. Dann vergleichen wir die Ergebnisse bei der Verwendung eines glatten Regulators mit denen eines harten (oder Litim-) Regulators und zeigen, dass letzterer in einem endlichen Volumen potentiell ungewollte Artefakte generieren kann. In einem endlichen Volumen gibt es nur dem Schein nach kritische Punkte, bei denen wir das Verhältnis der Quarkzahl-Fluktuation-Kumulanten vierter und zweiter Ordnung berechnen. Wenn das Volumen genügend klein ist, existieren zwei dem Schein nach kritische Punkte; wenn die Systemgröße abnimmt, kann sich die Lage eines dem Schein nach kritischen Punktes zu höheren Temperaturen und kleineren chemischen Potentialen verschieben.

Am Ende dieser Dissertation werden die verwendeten Konventionen in Anhang A zusammengestellt. Grundlegende Eigenschaften von unitären Gruppen werden in Anhang B dargestellt. In Anhang C stellen wir die Definition und einige Relationen der Chebyshev-Polynome vor. Abschließend geben wir in Anhang D die benutzten Anfangsbedingungen und Modellparameter an.