| Abstract: |
To couple two or more subsystem solvers in time domain, co-simulation methods are used in many fields of application. In the framework of mechanical systems, there exist mainly two ways to couple different subsystems, namely coupling either by constitutive laws or by algebraic constraint equations.
In this work, the numerical stability and the convergence behavior of co-simulation methods is analyzed. For the stability analysis, a test model has to be defined. Following the stability definition for numerical time integration schemes, namely Dahlquist’s stability theory, a linear test model is used. The co-simulation test model applied here is a two-mass oscillator, where the two masses are connected by a spring-damper element or by a rigid link. Discretizing the test model with a co-simulation method, recurrence equations can be derived, which describe the time discrete co-simulation solution.
Applying an applied-force coupling approach, the stability behavior of the linear two-mass oscillator is characterized by 7 independent parameters. In order to compare different co-simulation approaches, 2D stability plots are convenient. Therefore, 5 of the 7 parameters are fixed so that the spectral radius can be depicted as a function of the remaining 2 parameters. The results presented show that implicit coupling schemes exhibit a significantly better numerical stability behavior than explicit schemes. Furthermore, enhanced stability behavior can be achieved by extending the coupling conditions, i.e., by taking into account derivatives and integrals of the constitutive equations. Especially, a very good stability behavior may be obtained with the D-extended force/force-coupling approach in combination with quadratic approximation functions.
The analysis of the numerical stability of co-simulation methods with algebraic constraints is the second subject of this work. 5 independent parameters have to be introduced for the corresponding test model. The dimensionless real and imaginary part of the eigenvalue of subsystem 1 are used as axes in 2D stability plots; the other 3 parameters are held constant. Three classical methods for constraint stabilization, namely the Baumgarte stabilization technique, the weighted multiplier approach and the projection technique, are discussed for different approximation orders. Alternatively, co-simulation approaches on index-2 and on index-1 level are discussed, where the Lagrange multiplier is discretized between the macro-time points (extended multiplier approach). As a result, the coupling conditions and their time derivatives can simultaneously be fulfilled at the macro-time points. Different multibody models are used in order to demonstrate the application of the above mentioned co-simulation techniques. |
| Alternative Abstract: |
| Alternative Abstract | Language |
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Co-Simulation wird in vielen Bereichen verwendet, um zwei oder mehrere Subsystem-Solver im Zeitbereich zu koppeln. Bei mechanischen Systemen gibt es im Wesentlichen zwei Kopplungsarten, nämlich Kopplungsverfahren auf der Basis von Konstitutivgleichungen und Kopplungsansätze basierend auf algebraischen Bedingungsgleichungen.
In dieser Dissertation werden die numerische Stabilität und das Konvergenzverhalten von verschiedenen Co-Simulationsverfahren analysiert. Für die Stabilitätsanalyse muss ein Testmodell definiert werden. In Anlehnung an die Stabilitätsdefinition für numerische Zeitintegrationsschemata (Dahlquistsche Stabilitätstheorie) werden lineare Co-Simulationstestmodelle definiert. Als Co-Simulationstestmodelle werden hier Zweimassenschwinger eingesetzt, wobei die Massen über ein Feder-Dämpfer-Element oder über ein starres Gelenk verbunden sind. Durch Diskretisierung des Testmodells mit einem Co-Simulationsverfahren können Rekurrenzen-Gleichungen abgeleitet werden, die die zeitdiskrete Co-Simulationslösung beschreiben.
Das Stabilitätsverhalten des linearen Zweimassenschwingers ist bei Anwendung von Kopplungsverfahren auf Basis eingeprägter Kopplungskräfte/-momente durch 7 unabhängige Parameter charakterisiert. Um verschiedene Co-Simulationsansätze zu vergleichen, sind 2D-Stabilitätsplots praktikabel. Daher werden 5 der 7 Parameter fixiert, so dass der Spektralradius als Funktion der verbleibenden 2 Parameter dargestellt werden kann. Die Ergebnisse zeigen erwartungsgemäß, dass implizite Kopplungsschemata eine wesentlich bessere numerische Stabilität als explizite Methoden aufweisen. Darüber hinaus kann ein verbessertes Stabilitätsverhalten durch Erweiterungen der Kopplungsbedingungen erreicht werden, d.h. durch Berücksichtigung von Ableitungen und Integralen der konstitutiven Gleichungen. Ein sehr gutes Stabilitätsverhalten ist mit dem D-erweiterten Kraft/Kraft-Kopplungsansatz in Verbindung mit quadratischen Approximationsfunktionen erreichbar.
Die Analyse der numerischen Stabilität von Co-Simulationsverfahren mit algebraischen Bedingungen ist das zweite zentrale Thema dieser Arbeit. Hier müssen 5 unabhängige Parameter für das lineare Testmodell definiert werden. Der dimensionslose Real- und Imaginärteil des Eigenwerts von Subsystem 1 werden als Achsen in 2D-Stabilitätsplots verwendet; die anderen 3 Parameter werden konstant gehalten. Drei klassische Stabilisierungsmethoden, nämlich Baumgarte-Stabilisierung, Methode der gewichteten Multiplikatoren und Koordinatenprojektion, werden für unterschiedliche Approximationsordnungen diskutiert. Alternativ kann der Lagrange-Multiplikator zwischen den Makrozeitpunkten diskretisiert werden (erweiterter Multiplikatorenansatz), um Co-Simulationsansätze auf Index-2 und auf Index-1-Ebene zu erhalten. Dadurch können gleichzeitig die Kopplungsbedingungen und deren Zeitableitungen an den Makrozeitpunkten erfüllt werden. Es werden mehrere Mehrkörpermodelle verwendet, um die praktische Anwendung der erwähnten Co-Simulationsverfahren aufzuzeigen. | German |
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