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Das Einbettungsproblem für periodische Flächen in R^n

Kürsten, Susanne :
Das Einbettungsproblem für periodische Flächen in R^n.
Technische Universität, Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2015)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Das Einbettungsproblem für periodische Flächen in R^n
Language: German
Abstract:

In der vorliegenden Arbeit wird eine Konstruktion n-fach periodischer Flächen in R^n beschrieben, welche von der Konstruktion der Schwarz-D-Fläche in R^3 inspiriert ist.

Als Ausgangspunkt verwenden wir eine Jordankurve J entlang der Kanten eines n-dimensionalen Würfels W, welche in jede Koordinatenrichtung mindestens eine Kante durchläuft. Weiter betrachten wir eine Fläche f mit Rand J, deren Inneres innerhalb von W liegt. Durch wiederholtes Schwarz-Spiegeln an Randkanten der bisher konstruierten Fläche erhalten wir aus f eine n-fach periodische Fläche F, welche keinen Rand besitzt.

Betrachten wir statt einer allgemeinen Fläche f mit Rand J eine Plateau-Lösung zu J, so ergibt sich, dass F (unter schwachen Voraussetzungen an J) eine Minimalfläche ist.

In dieser Arbeit untersuchen wir unter anderem, wann die so konstruierten Flächen bzw. Minimalflächen eingebettet sind. Als Hauptresultat der vorliegenden Dissertation wird ein Kriterium gezeigt, mit dessen Hilfe für jede gegebene Jordankurve J bestimmt werden kann, ob eine zugehörige Fläche F eingebettet ist oder nicht. Dieses Kriterium stellt einen Zusammenhang zwischen der Einbettung von F und dem Gitter von F her. Um es zu überprüfen, muss ein Teil des Gitters von F berechnet werden. Dies ist für gegebenes J leicht möglich.

Weiterhin charakterisieren wir die eingebetteten, n-fach periodischen Flächen in R^4, welche auf die beschriebene Weise aus einer Jordankurve J bzw. einer Fläche f entstehen. Dazu zeigen wir, dass in R^4 genau fünf (bis auf Symmetrie verschiedene) Jordankurven zur Konstruktion eingebetteter Flächen F verwendet werden können. Ein weiteres Resultat dieser Arbeit ist, dass in jeder Dimension n > 2 Jordankurven J existieren, für welche die angegebene Konstruktion zu eingebetteten Flächen F führt. Die Anzahl dieser Jordankurven J wächst dabei mindestens quadratisch in der Dimension n.

Im letzten Teil der vorliegenden Arbeit gehen wir auf den Spezialfall der Konstruktion von Minimalflächen ein. Eine weitere hinreichende Bedingung an J stellt sicher, dass durch wiederholtes Schwarz-Spiegeln einer zugehörigen Plateau-Lösung f eine Minimalfläche F entsteht. Diese zusätzliche Bedingung an J ist für konkrete Beispiele leicht zu überprüfen. Insbesondere wird sie von allen in dieser Arbeit gefundenen Beispielen für eingebettete Flächen erfüllt.

Es ergibt sich, dass wir auf die beschriebene Weise in jeder Dimension n > 2 Beispiele für eingebettete, n-fach periodische Minimalflächen erhalten. Im Spezialfall n = 4 existieren wiederum genau fünf Jordankurven, welche zur Konstruktion eingebetteter, n-fach periodischer Minimalflächen genutzt werden können.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
This thesis deals with a construction of n-periodic surfaces in R^n, which is inspired by the construction of the Schwarz D-surface in R^3. We start with a Jordan curve J along the edges of a n-dimensional cube W, where J contains at least one edge in every coordinate direction. Furthermore, we consider a surface f with boundary J, where the interior of f lies within W. By Schwarz reflections across the boundary edges we obtain a n-periodic continuation F of f, such that F has no boundary. If we consider a solution of Plateau's problem with boundary J instead of an arbitrary surface f, the above construction leads (under weak assumptions) to a minimal surface F. Amongst other things, we study conditions under which the described construction leads to embedded surfaces (respectively embedded minimal surfaces). As the main result of this thesis we prove a criterion, which makes it possible to decide for every given Jordan curve J, whether a corresponding surface F is embedded or not. This criterion establishes a relation between the embeddedness of F and the lattice of F. To test it, a part of the lattice of F need to be computed. This is possible for every given Jordan curve J. Furthermore, we characterize the embedded, n-periodic surfaces in R^4, which are generated in the described way by a Jordan curve J respectively a surface f. To do so we proof that there exist exactly five (up to symmetry different) Jordan curves in R^4 which can be used for the construction of embedded surfaces F. Another result of this work is that in every dimension n > 2 there exist Jordan curves J, for which the given construction leads to embedded surfaces F. The number of these Jordan curves J grows at least quadratically with the dimension n. In the last part of this work we deal with the special case of minimal surfaces. An additional sufficient condition for J guarantees, that by Schwarz reflections of a corresponding solution of Plateau's problem, we obtain a minimal surface F. The additional condition for J is easy to check for concrete examples. In particular it is fulfilled for all examples of embedded surfaces in this thesis. It turns out that in every dimension n > 2 we obtain (in the described way) examples for embedded, n-periodic minimal surfaces. In the special case n = 4 again there exist exactly five Jordan curves, which can be used to construct embedded, n-periodic minimal surfaces. English
Place of Publication: Darmstadt
Uncontrolled Keywords: Minimalfläche, Einbettung, höhere Kodimension, Schwarz-Spiegelung, Selbstschnitte
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
minimal surface, embedded, higher codimension, schwarz reflection, selfintersectionsEnglish
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics
04 Department of Mathematics > Applied Geometry
Date Deposited: 23 Mar 2015 09:17
Last Modified: 23 Mar 2015 09:17
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-44276
Referees: Große-Brauckmann, Prof. Dr. Karsten and Fröhlich, Prof. Dr. Steffen and Joswig, Prof. Dr. Michael
Refereed: 7 November 2014
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/4427
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