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Effiziente Lösung polynomialer und nichtpolynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Subdivisionsalgorithmen

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Gaukel, Joachim :
Effiziente Lösung polynomialer und nichtpolynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Subdivisionsalgorithmen.
[Online-Edition]
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis] , (2003)

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    Abstract

    Das Lösen von Gleichungssystemen stellt ein fundamentales Problem in der Mathematik dar. Ein wohlbekanntes Standardverfahren hierzu ist das Newtonverfahren, welches quadratisch konvergiert, falls der Startwert hinreichend nahe bei der Lösung liegt. Mit dem Newtonverfahren ist aber nicht entscheidbar, ob neben einer gefundenen Lösung noch weitere Nullstellen existieren. Seien nun aber für ein kompaktes Intervall $B\subset\R^n$ alle Nullstellen von $p:B \rightarrow \R^n$ gesucht. Wir stellen hierzu ein höchst effizientes numerisches Verfahren zur Lösung dieses Problems bereit. Wir betrachten zunächst polynomiale Systeme und formulieren einen global linear, lokal quadratischen branch-and-prune-Algorithmus, der eine Art Intervall-Newton darstellt, aber den bekannten Intervall-Newton-Verfahren überlegen ist. Dabei werden die Gleichungssysteme in Bezierdarstellung betrachtet. Anschließend übertragen wir das Vorgehen auf nicht-polynomiale Systeme. Insbesondere wenn diese aus polynomialen, trigonometrischen und exponentiellen Funktionen aufgebaut sind, erhalten wir ebenfalls ein numerisch praktikables und hocheffizientes Verfahren.

    Item Type: Ph.D. Thesis
    Erschienen: 2003
    Creators: Gaukel, Joachim
    Title of the item: Effiziente Lösung polynomialer und nichtpolynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Subdivisionsalgorithmen
    Language of the item: Deutsch
    Uncontrolled Keywords: nichtlineares Gleichungssystem, Lösung, Subdivision, Intervall-Newton
    Keywords/Subjects (SWD): Nichtlineares Gleichungssytem, Numerisches Verfahren, Bernstein-Bézier-Darstellung, Newton-Verfahren
    Sachgruppe der Dewey Dezimalklassifikation (DDC): 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
    Division(s): Fachbereich Mathematik
    Date Deposited: 17 Oct 2008 11:21
    Last Modified: 05 May 2011 18:58
    Official URL: http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000365
    URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-3659
    Lizenz (Kurzform): Einfaches Publikationsrecht für die ULB Darmstadt
    Referees: Reif, Prof.Dr. Ulrichand Höllig, Prof.Dr. Klaus
    Date of refereeing/review / Verteidigung / mdl. Prüfung: 04 July 2003
    Title (translated) (übersetzt):
    Title (translated)Language of translated title
    Efficient solving of polynomial and nonpolynomial systems using subdivisionEnglish
    Keywords:
    KeywordsLanguage
    nichtlineares Gleichungssystem, Lösung, Subdivision, Intervall-NewtonDeutsch
    nonlinear system, roots, subdivsion, chebychev-spline, interval-newtonEnglish
    Abstract (translated):
    Abstract (translated)Language of translated abstract
    Solving nonlinear systems is a fundamental problem in mathematics. Well known and well understood is the newton method, converging global linear and local quadratic if started in a neighborhood of a solution. Unfortunatly it is not possible to decide if there are some more roots. Let $B\subset\R^n$ be a compact interval and all roots of $p:B \rightarrow \R^n$ are to be computed. We present a very efficient numerical algorithm to solve this problem. At first we will examine polynomial systems and give a global linear, local quadratic branch-and-prune algorithm, which can be interpreted as some kind of interval-newton, outrivaling known interval-newtons. Thereby we take advantage of using bezierform. Dealing with non-polynomial systems we can generalize our algorithm. In particular if the system consists of polynomial, trigonometric and exponential functions our method will be very efficient and numericaly practicable.English
    URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/365
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