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Effiziente Lösung polynomialer und nichtpolynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Subdivisionsalgorithmen

Gaukel, Joachim :
Effiziente Lösung polynomialer und nichtpolynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Subdivisionsalgorithmen.
[Online-Edition]
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2003)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Effiziente Lösung polynomialer und nichtpolynomialer Gleichungssysteme mit Hilfe von Subdivisionsalgorithmen
Language: German
Abstract:

Das Lösen von Gleichungssystemen stellt ein fundamentales Problem in der Mathematik dar. Ein wohlbekanntes Standardverfahren hierzu ist das Newtonverfahren, welches quadratisch konvergiert, falls der Startwert hinreichend nahe bei der Lösung liegt. Mit dem Newtonverfahren ist aber nicht entscheidbar, ob neben einer gefundenen Lösung noch weitere Nullstellen existieren. Seien nun aber für ein kompaktes Intervall $B\subset\R^n$ alle Nullstellen von $p:B \rightarrow \R^n$ gesucht. Wir stellen hierzu ein höchst effizientes numerisches Verfahren zur Lösung dieses Problems bereit. Wir betrachten zunächst polynomiale Systeme und formulieren einen global linear, lokal quadratischen branch-and-prune-Algorithmus, der eine Art Intervall-Newton darstellt, aber den bekannten Intervall-Newton-Verfahren überlegen ist. Dabei werden die Gleichungssysteme in Bezierdarstellung betrachtet. Anschließend übertragen wir das Vorgehen auf nicht-polynomiale Systeme. Insbesondere wenn diese aus polynomialen, trigonometrischen und exponentiellen Funktionen aufgebaut sind, erhalten wir ebenfalls ein numerisch praktikables und hocheffizientes Verfahren.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Solving nonlinear systems is a fundamental problem in mathematics. Well known and well understood is the newton method, converging global linear and local quadratic if started in a neighborhood of a solution. Unfortunatly it is not possible to decide if there are some more roots. Let $B\subset\R^n$ be a compact interval and all roots of $p:B \rightarrow \R^n$ are to be computed. We present a very efficient numerical algorithm to solve this problem. At first we will examine polynomial systems and give a global linear, local quadratic branch-and-prune algorithm, which can be interpreted as some kind of interval-newton, outrivaling known interval-newtons. Thereby we take advantage of using bezierform. Dealing with non-polynomial systems we can generalize our algorithm. In particular if the system consists of polynomial, trigonometric and exponential functions our method will be very efficient and numericaly practicable.English
Uncontrolled Keywords: nichtlineares Gleichungssystem, Lösung, Subdivision, Intervall-Newton
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
nichtlineares Gleichungssystem, Lösung, Subdivision, Intervall-NewtonGerman
nonlinear system, roots, subdivsion, chebychev-spline, interval-newtonEnglish
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Mathematik
Date Deposited: 17 Oct 2008 09:21
Last Modified: 07 Dec 2012 11:49
Official URL: http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000365
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-3659
License: Simple publication rights for ULB
Referees: Reif, Prof.Dr. Ulrich and Höllig, Prof.Dr. Klaus
Advisors: Reif, Prof.Dr. Ulrich
Refereed: 4 July 2003
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/365
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