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# Asymptotic Analysis of the Load Transfer on Double-Lap Bolted Joints

### Kratochvil, Jan (2012):Asymptotic Analysis of the Load Transfer on Double-Lap Bolted Joints.In: Forschungsbericht // Studienbereich Mechanik, Technische Universität Darmstadt, 24, Darmstadt, Techn. Univ., Studienbereich Mechanik, Technische Universität, ISBN 978-3-935868-24-2, [Ph.D. Thesis]  Preview
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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Asymptotic Analysis of the Load Transfer on Double-Lap Bolted Joints
Language: English
Abstract:

In this thesis, the complex potential method along with the method of compound asymptotic expansions is applied to the analysis of selected problems of plane elasticity related to double-lap bolted joints. The contribution to the thesis lies in the construction of several closed-form approximations of solutions to the considered problems.

After a brief introduction of the basic theoretical concepts in Chapter 2, a mathematical model of a double-lap bolted joint is presented in Chapter 3. A very simple model is chosen in order to make an analytical treatment possible. This model assumes the (generalised) state of plane stress in each of the plates and a simple sinusoidal distribution of contact pressure in the bolt-to-hole contact and leads mathematically to the first fundamental problem of the plane theory of elasticity.

In Chapter 4, a formal asymptotic solution of the first fundamental problem for an infinite plane or half-plane weakened by a finite number or an infinite symmetric array of small holes is derived. The relative hole radius plays the role of the small parameter. Three different governing partial differential equations are considered, namely the Laplace equation, the bipotential equation and a more general linear elliptic fourth-order partial differential equation with constant coefficients. An asymptotic expansion of the complex potentials is derived for each equation. It is uniformly valid in the whole domain, i.e. in the vicinity of each of the holes as well as in the far-field. The solution is summarised in form of algorithms for a computer algebra system and implemented in Mathematica. Furthermore, a fully parametrised finite element model of the considered problem has been created using the commercial FE Software Abaqus and its Python programming interface in order to verify the results in an independent way.

This general solution is in Chapter 5 applied to three types of problems. The first one is the problem of stress concentration on unloaded holes. Its purpose is to evaluate the capability of the method by means of simple examples where a sufficiently high number of terms of the asymptotic series can be generated. The second type of problems involves the compliance of an infinite row of pin-loaded holes. A closed-form approximate formula for the compliance of an infinite row of pin-loaded holes in an infinite isotropic plane and a half-plane is derived. This formula, as opposed to semi-empirical formulae commonly used in the industrial environment, correctly takes into account the contributions of the plane deformation of the plates to the overall compliance of the joint. Finally, the third type deals with the determination of the load distribution on both finite number of bolts as well as infinite rows of bolts. Closed-form approximations of the load distribution factor for these configurations are presented.

A certain problem related to the nature of the proposed solution is the convergence of the asymptotic series. As expected from the nature of the asymptotic solution, the discrepancy between the asymptotic solution and a reference numerical one is the smallest for small radii and with increasing radii, it generally increases. However, results with the presented order of approximation are sufficiently accurate in the technically relevant domain.

In the case of anisotropic material behaviour, the formulae describing the dependence on the material parameters are too complex for practical use even in the simplest situations such as stress concentration on a single hole in a half-plane. A certain simplification can be achieved by assuming strong orthotropy and performing a Taylor expansion in terms of the corresponding small parameter. It appears that such an expansion exhibits good convergence and can be therefore used also for moderately orthotropic materials. Unfortunately, it was not possible to obtain analytical results for infinite rows of holes in anisotropic plates because the proposed algorithm leads to infinite sums that cannot be be evaluated analytically.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
In der vorliegenden Arbeit wird die Methode der komplexen Potentiale zusammen mit der Methode der zusammengesetzten asymptotischen Entwicklung auf ausgewählte Probleme der ebenen Elastizitätstheorie angewendet, die mit der Problematik der Bolzenverbindung zusammenhängen. Der Beitrag dieser Arbeit liegt in der Konstruktion geschlossen-analytischer Näherungslösungen der betrachteten Probleme. Nach einer kurzen Einführung der theoretischen Begriffe in Kapitel 2 wird im Kapitel 3 ein mathematisches Modell der zweischnittigen Bolzenverbindung vorgestellt. Das Modell ist sehr einfach, um die analytische Behandlung zu ermöglichen. Es setzt den (generalisierten) ebenen Spannungszustand und eine einfache sinusförmige Verteilung des Kontaktdruckes zwischen dem Bolzen und der Scheibe voraus und führt somit auf das erste Randwertproblem der ebenen Elastizitätstheorie. Im Kapitel 4 wird eine formale asymptotische Lösung des ersten Randwertproblems für eine unendlich ausgedehnte Ebene und Halbebene konstruiert, die entweder durch eine endliche Anzahl oder eine unendliche symmetrische Anordnung von kleinen Löchern geschwächt ist. Als kleiner Parameter wird dabei der relative Lochradius verwendet. Es werden drei verschiedene zugrundeliegende partielle Differentialgleichungen betrachtet, nämlich die Laplacegleichung, die Bipotentialgleichung und eine allgemeinere elliptische Gleichung vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Für jede Gleichung wird eine asymptotische Entwicklung der komplexen Potentiale hergeleitet, die gleichmäßig in dem ganzen Gebiet d.h. sowohl in der Umgebung von jedem Loch als auch in dem Fernfeld gültig ist. Die Lösung wird in Form von Algorithmen für ein Computeralgebrasystem zusammengefasst und in Mathematica implementiert. Um die asymptotische Lösung zu verifizieren, wird ein parametrisiertes Finiten-Elemente Modell des betrachteten Problems mit Hilfe des kommerziellen Softwarepaketes Abaqus und seiner Python Programmierschnittstelle entwickelt. Im Kapitel 5 wird diese allgemeine Lösung auf drei Arten von Problemen angewendet. Als Erstes wird die Problematik der Spannungskonzentration an unbelasteten Löchern betrachtet mit dem Ziel, die Möglichkeiten der benutzten Methode anhand von vergleichsweise einfachen Problemen zu untersuchen. Danach wird die Nachgiebigkeit einer unendlichen Reihe von kleinen belasteten Löchern in einer isotropen Ebene und Halbebene betrachtet. Es wird eine geschlossen-analytische Näherungsformel für die Nachgiebigkeit hergeleitet, die im Gegensatz zu den in der Industrie häufig verwendeten semiempirischen Formeln den Beitrag der Scheibenverformung zur Nachgiebigkeit der Verbindung richtig abbildet. Schließlich wird die Lastverteilung sowohl an einer finiten Anzahl als auch an unendlichen Reihen von Bolzen untersucht. Auch in diesem Fall werden die Lösungen in Form von geschlossen-analytischen Näherungsformeln konstruiert. Ein durch die Art der Lösung bedingtes Problem ist die Konvergenz der asymptotischen Entwicklungen. Deswegen wurden numerische Konvergenzstudien durchgeführt. Sie zeigen, dass die Methode in dem technisch relevanten Bereich der kleinen Löcher befriedigende Ergebnisse liefert. Im Fall von anisotropem Materialverhalten ist die Abhängigkeit der Lösung von den Materialparametern sehr komplex. Eine wesentliche Vereinfachung der Ergebnisse wird durch die Annahme starker Orthotropie und die Entwicklung nach dem mit dieser Annahme verbundenen kleinen Parameter erreicht. Es stellt sich heraus, dass diese Art der Entwicklung zu gutem Konvergenzverhalten führt und sich damit kompakte geschlossen-analytische Formeln für Konfigurationen mit endlicher Anzahl von Löchern gewinnen lassen. Leider wurden keine solchen Lösungen für unendliche Reihen in anisotropen Scheiben gefunden, weil der Algorithmus in diesem Fall auf unendliche Summen führt, die sich nicht analytisch auswerten lassen.German
Series Name: Forschungsbericht // Studienbereich Mechanik, Technische Universität Darmstadt
Volume: 24
Publisher: Techn. Univ., Studienbereich Mechanik
Uncontrolled Keywords: Bolted joint, Plane elasticity, Complex potential method
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
Bolzenverbindung, Ebene Elastizitätstheorie, Methode der komplexen PotentialeGerman
Classification DDC: 600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 600 Technik
600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: 16 Department of Mechanical Engineering
16 Department of Mechanical Engineering > Institute of Structural Mechanics (FSM)
Date Deposited: 19 Jun 2012 12:48 View Item