Eine der wichtigen Fragestellungen in der Kryptographie ist das Problem, multivariate polynomiale Gleichungen über endlichen Körpern zu lösen. Die Komplexität dieses Problems ist das Maß für die Sicherheit vieler Public-Key-Kryptosysteme sowie vieler symmetrischer Kryptosysteme wie Block- und Stromchiffren. In den letzten Jahren wurde die algebraische Kryptanalyse als eine Methode des Angriffs auf Kryptosysteme vorgestellt. Diese Methode beruht auf der Lösung multivariater polynomialer Systeme. Daher ist die Entwicklung von Algorithmen zur Lösung solcher Systeme ein heißes Forschungsthema. In den letzten Jahren wurden verschiedene Algorithmen vorgeschlagen, multivariate polynomiale Systeme über endlichen Körpern zu lösen. Eine vielversprechende Methode hierbei basiert darauf, eine Lösung durch die Erweiterung des Systems durch Generierung zusätzlicher Gleichungen mit Hilfe von Techniken der linearen Algebra zu finden. Theoretische Abschätzungen der Komplexität haben ergeben, dass auf viele realistische Anwendungen algebraische Angriffe mit den derzeitigen Algorithmen nicht möglich sind. Der Grund hierfür ist die Tatsache, dass die Berechnungen mit diesen Algorithmen viel Zeit und Speicherressourcen erfordern. Eine große Herausforderung ist es daher, diese Algorithmen zu verbessern, um in der Lage zu sein, große multivariate polynomiale Systeme mit den in der Praxis begrenzt verf¨ugbaren Zeit- und Speicherressourcen zu l¨osen. In dieser Arbeit schlagen wir Strategien vor, um den Erweiterungsschritt dieser Algorithmen zu verbessern. Wir wenden diese Strategien aufgrund seiner einfachen Struktur auf den gut untersuchten XL-Algorithmmus an und zeigen, dass die Kombination dieser Strategien mit XL diesen zu einem im Vergleich mit State-of-the-art Algorithmen in hohem Maße wettbewerbsf¨ahigem Algorithmus macht. Im Jahre 2006 pr¨asentierte Jintai Ding das Konzept der mutants. Mutants sind Polynome von kleinerem als dem erwarteten Grad, die man w¨ahrend des Lineare-Algebra-Schrittes von XL erhält. Der in dieser Arbeit vorgestellte MutantXL-Algorithmus nutzt das Konzept der mutants um den Lösungsprozess des XL-Algorithmus zu verbessern. Der MXL2 -Algorithmus wird als eine verbesserte Version des MutantXL-Algorithmus eingeführt, indem eine partielle Erweiterungsstrategie entwickelt wird. Konkret ändern wir MutantXL in einer Weise, dass im Erweiterungsschritt die Menge der generierten Polynome bis zu einem bestimmten Grad D betrachtet wird, eine Teilmenge nach der anderen, ohne dass dazu die Menge der Polynome auf einmal gespeichert werden muss. Dies f¨uhrt zur Lösung von Systemen mit weniger erweiterten Polynomen als bei MutantXL. Der Hauptnachteil von MXL2 sowie XL und MutantXL ist es, dass nur Systeme mit einer einzigen Lösung gelöst werden können. Um Systeme mit einer endlichen Zahl von Lösungen zu lösen, präsentieren wir eine neue hinreichende Bedingung dafür, dass eine Menge von Polynomen eine Gröbnerbasis ist. Wir haben diese neue Bedingung als Abbruchkriterium des MXL2-Algorithmus benutzt. Diese Änderung wird gemeinsam mit weiteren Verbesserungen des Erweiterungsschrittes von MXL 2 in den MXL3-Algorithmus zur Berechnung von Gröbnerbasen eingeführt. Diese Arbeit stellt auch den MGB-Algorithmus vor, der eine flexible partielle Erweiterungsstrategie verwendet, um eine wesentliche Verbesserung gegenüber MXL3 zu bieten. Die am Ende der Arbeit vorgestellte vorläufige Studie schlägt eine neue Obergrenze für die Komplexität der Berechnung von Gröbnerbasen vor, die zu neuen Denkmodellen über die Komplexität von Gröbnerbasisberechnungen anregt. Die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen, dass die vorgeschlagenen Strategien die Leistung des XL-Algorithmus dramatisch verbessern. Dar¨uber hinaus f¨urhren sie zu Algorithmen, die die MAGMA-Implementierung von F4 , einen der derzeit effizientesten Algorithmen, bezüglich Zeit und Speicherverbrauch in vielen Fällen übertrffen. Darüber hinaus wird eine angepasste Version des MutantXL-Algorithmus dazu verwendet, das MQQ Kryptosystem schneller und mit weniger Speicherverbrauch anzugreifen, als das mit F4 möglich ist.