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Über Modellierung, Analysis und Simulation von Stofftransport auf Wurzeln in strukturierten Böden

Fischer, Torsten :
Über Modellierung, Analysis und Simulation von Stofftransport auf Wurzeln in strukturierten Böden.
[Online-Edition]
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2002)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Über Modellierung, Analysis und Simulation von Stofftransport auf Wurzeln in strukturierten Böden
Language: German
Abstract:

Die Arbeit entstand im Zusammenhang mit einem Projekt, dessen Fernziel die Simulation des Wasser- und Stoffhaushalts in einem Boden-Wurzel-System war. Erstmalig wird dabei die Wurzel in ihrer tatsächlichen geometrischen Struktur als Graph betrachtet, und die Prozesse in der Wurzel durch gekoppelte Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf den Kanten dieses Graphen beschrieben. Ein solches System von Differentialgleichungen auf den einzelnen Kanten des Graphen zusammen mit Kopplungsbedingungen in dessen Knoten bezeichnen wir als Netzwerk-Differentialgleichung. In der Arbeit werden analytische Betrachtungen im Bezug auf solche Netzwerk-Differentialgleichungen gemacht, sowie numerische Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen und zur Realisierung der gesamten Boden-Wurzel-Simulation angegeben. Im ersten Teil werden die Gleichungen dargestellt, um die es sich im weiteren Verlauf dreht. Erarbeitet werden in diesem Zusammenhang die quasi-eindimensionale Betrachtung der Gleichungen entlang der Wurzeläste, sinnvolle Bedingungen an den Wurzelknoten, durch die diese Gleichungen gekoppelt werden und schließlich ein Modell für die Kopplung von Wurzel und Boden. Im Bereich der Analysis konzentrieren wir uns auf lineare singulär gestörte Netzwerk-Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Dabei ist ein gewisses Augenmerk auch darauf gerichtet, dass möglichst wenig Anforderungen an die Regularität der Koeffizienten der Differentialgleichungen gestellt werden müssen. Denn diese sind nicht von vorne herein gegeben, sondern werden ihrerseits aus der Lösung der Gleichung für den Wassertransport erhalten. Auch Netzwerk-Differentialgleichungen erster Ordnung werden betrachtet. Sie treten im Grenzfall bei verschwindenden Diffusionskoeffizienten auf. Für die numerische Lösung linearer elliptischer Netzwerk-Differentialgleichungenen bietet sich die Methode der Finiten Elemente, basierend auf der variationellen Formulierung des Problems, an. Diese Methode eignet sich sowohl für die Anwendung von Bereichszerlegungsverfahren als auch für die direkte Lösung auf dem ganzen Netzwerk. Schwierigkeiten bereitet aber die Tatsache, dass die für den Stofftransport relevanten Differentialgleichungen singulär gestört sind, was bei der herkömmlichen Finite-Elemente-Methode generell problematisch ist. Für diese Probleme wählen wir deshalb ein spezielles Verfahren mit gemischten Finiten Elementen, welches geeignet ist, eine spezielle Knotenbedingung, die im Grenzfall bei verschwindender Diffusion auftritt und im Kapitel über Analysis hergeleitet wird, auszunutzen. Abschließend wird ein einfaches Boden-Wurzel-Simulationsbeispiel vorgestellt, bei dem das zuvor angedeutete Finite-Elemente-Verfahren zur Anwendung kommt.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
The thesis was done together with a project, which future goal was to build up a simulation model for water and solute transport in a root-soil system. The probably most noteworthy fact among this poject is the treatment of the root system as a graph which represents the geometrical structure of the root system. Consequently, water and solute transport in the root system are described by coupled systems of ordinary differential equations on the edges of this graph. We call such a system of differential equations on the edges together with coupling conditions in the vertices a network differential equation. The concern of this thesis is to achieve analytical results for network differential equations. Moreover, we propose numerical methods to solve these equations and give an approach, to come to a simulation model of the complete root-soil system. In the first part we give the equations, which are relevant in the sequel. We work out a quasi one-dimensional treatment of the equations on the roots, suitable conditions for the coupling of these equations in the root vertices and, finally, a model for the coupling of the root system with the soil. In the section about analysis we concentrate on singularly perturbed network differential equations of second order. We try to keep regularity requirements for the coefficients as low as possible, since they come from the solution of the equation for the water transport. Network differential equations of first order are also considered. They appear in the limit case, where no diffusion is present. For a numerical solution of linear elliptic network differential equations we can apply a finite element method, based on the variational formulation of the problem. This method can be used both for a direct solution on the entire network as well as together with domain decomposition methods. However, difficulties arise from the fact that the equations which are specific for our application are singularly perturbed. It is a well known fact, that standard finite element methods don't work well in this situation. We therefore choose a different mixed finite element method, which is suitable to take advantage of a vertex condition appearing in the limit case when diffusion goes to zero. This vertex condition is proved in the analytical section of the thesis. Finally, we give a simple example for a simulation of root-soil interaction, which makes use of the above mentioned finite element method.English
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Mathematik
Date Deposited: 17 Oct 2008 09:21
Last Modified: 07 Dec 2012 11:48
Official URL: http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000258
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-2585
License: Simple publication rights for ULB
Referees: Klar, Prof. Dr. Axel
Advisors: Leugering, Prof. Dr. Günter
Refereed: 27 June 2002
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/258
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