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Automorphic Products on Unitary Groups

Hofmann, Eric F. W.:
Automorphic Products on Unitary Groups.
TU Darmstadt , Darmstadt .
[Book], (2011)

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Item Type: Book
Title: Automorphic Products on Unitary Groups
Language: English
Abstract:

The dissertation provides a construction for Borcherds products on unitary groups of signature (1,q). The starting point for this is the multiplicative lifting due to R. E. Borcherds. He employs the singular theta-correspondence to construct a lifting, which takes as inputs weakly holomorphic vector valued modular forms, transforming under the Weil-representation of SL(2,Z) for a quadratic lattice, and lifts these to meromorphic automorphic forms for an arithmetic subgroup of O(2,n). The resulting functions have expansions as infinite products and take their zeros and poles along Heegner divisors. In order to transfer this result to unitary groups, we construct an embedding between the symmetric domain of the unitary group and that of an orthogonal group, respectively. This embedding is compatible with the complex structures of either symmetric domain and a suitable choice of cusps. The main result is the construction of Borcherds products, on unitary groups of signature (1,q). In this setting we prove a result which is analogous to that of Borcherds. As in the case of orthogonal groups, the infinite products thus constructed have their zeros and poles on Heegner divisors. Here, the role of the quadratic lattice is taken by a hermitian lattice, which we assume to have as multiplier system the ring of integers of an imaginary quadratic number field. Further, we study the behavior of these automorphic products on the boundary of the symmetric domain. It turns out that the values taken on the boundary points can be interpreted as CM-values of generalized eta-products. In the finial chapter, we construct examples for the unitary group SU(1,1) and unimodular lattices, which in this case are simply hyperbolic planes over the rings of integers of imaginary quadratic number fields. In this case, the resulting products can be viewed as meromorphic elliptic modular forms on the (classical) complex upper half-plane.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Die Dissertation stellt eine Konstruktion für Borcherds Produkte zu unitären Gruppen der Signatur (1,q) bereit. Der Ausgangspunkt hierfür ist die von R. E. Borcherds entdeckte und mit Hilfe eines singuläreren Theta-Lifts realisierte multiplikative Liftung, die schwach holomorphe vektorwertige Modulformen, welche unter der Weil-Darstellung von SL(2,Z) transformieren, emporhebt zu meromorphen automorphen Formen für eine arithmetische Untergruppe von O(2,n). Diese lassen sich als unendliche Produkte entwickeln und nehmen ihre Pole und Nullstellen entlang von Heegner-Divisoren an. Um dieses Ergebnis auf unitäre Gruppen zu übertragen, wird in der vorliegenden Arbeit eine Einbettung des symmetrischen Gebiets der unitären Gruppe in das symmetrische Gebiet einer orthogonalen Gruppe konstruiert. Diese Einbettung ist mit der jeweiligen komplexen Struktur der beiden symmetrischen Gebiete verträglich, sowie mit einer (geeigneten) Wahl der Spitzen. Das Hauptresultat ist die Konstruktion von Borcherds Produkten für unitäre Gruppen der Signatur (1,q). In dieser Situation wird ein Resultat bewiesen, welches ein Analogon zu dem von Borcherds darstellt. Wie im Falle der orthogonalen Gruppen haben auch die hier konstruierten unendlichen Produkte ihre Pole und Nullstellen entlang von Heegner-Divisoren. Die Rolle des quadratischen Gitters spielt hier ein hermitesches Gitter, wobei vorausgesetzt wird, dass dessen Multiplikatorsystem der Ganzheitsring eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers ist. Das Verhalten dieser automorphen Produkte auf dem Rand des symmetrischen Gebietes wird ebenfalls untersucht. Es stellt sich heraus, dass die auf Randpunkten angenommenen Werte sich als CM-Werte verallgemeinerter Eta-Produkte darstellen lassen. Im abschließenden Kapitel werden Beispiele für die unitäre Gruppe SU(1,1) und unimodulare Gitter, in diesem Falle sind dies lediglich hyperbolische Ebenen über den Ganzheitsringen imaginärquadratischer Zahlkörper, konstruiert. Die so erhaltenen unendlichen Produkte lassen sich als meromorphe elliptische Modulformen auf der klassischen oberen Halbebene auffassen.German
Place of Publication: Darmstadt
Publisher: TU Darmstadt
Uncontrolled Keywords: Borcherds Products, Automorphic Forms, Unitary Modular Forms, Automorphic Products, Unitary Groups
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
Borcherds Products, Automorphic Forms, Unitary Modular Forms, Automorphic Products, Unitary GroupsEnglish
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Mathematik > Algebra, Geometrie und Funktionalanalysis
Date Deposited: 13 Apr 2011 12:23
Last Modified: 07 Dec 2012 11:59
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-25403
Additional Information:

Druckausg.: München, Verl. Dr. Hut, 2011, ISBN 978-3-86853-842-7 [Darmstadt, TU, Diss., 2011]

License: Creative Commons: Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 3.0
Additional Information:

Druckausg.: München, Verl. Dr. Hut, 2011, ISBN 978-3-86853-842-7 [Darmstadt, TU, Diss., 2011]

Referees: Bruinier, Prof. Dr. Jan H. and Funke, Prof. Dr. Jens P.
Refereed: 8 February 2011
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/2540
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