TU Darmstadt / ULB / tuprints

Time Domain Boundary Integral Equations Analysis

Geranmayeh, Amir :
Time Domain Boundary Integral Equations Analysis.
Institut Theorie Elektromagnetischer Felder (TEMF)
[Ph.D. Thesis], (2011)

[img]
Preview
PDF
A_Geranmayeh_PhD_thesis.pdf
Available under Creative Commons Attribution Non-commercial No Derivatives.

Download (11Mb) | Preview
Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Time Domain Boundary Integral Equations Analysis
Language: English
Abstract:

The present research study mainly involves a survey of diverse time-domain boundary element methods that can be used to numerically solve the retarded potential integral equations. The aim is to address the late-time stability, accuracy, and computational complexity concerns in time-domain surface integral equation approaches. The study generally targets the transient electromagnetic scattering of three-dimensional perfect electrically conducting bodies. Efficient algorithms are developed to numerically solve the time-domain electric, derivative electric, magnetic, and combined field integral equation for the unknown induced surface current. The algorithms are mainly categorized into three major discretization schemes, namely the marching-on-in-time, the marching-on-in-degree, and the convolution quadrature methods or finite difference delay modeling. Possible choices of space-time integration are examined and the results are successfully compared with the high-resolution finite integration technique's solution to perform the converge study for practical applications where exact solutions are not available. First consistent temporal interpolations with common time integrators are sought based on stability analysis of the delay differential equations. Besides, the higher orders of Lagrange and B-Spline time basis functions are employed to handle the time derivatives analytically. The orthogonal entire-domain but causal weighted Laguerre or Hermite polynomials are then employed to provide unconditionally stable marching-on-in-degree schemes. Moreover, the convolution quadrature methods which use a mapping from the Laplace domain to the z-domain based on the first or second finite difference approximation are investigated. In the convolution quadrature methods, the discretization is accomplished in the bilinear transform domain and the result is inverse transformed to create a time domain method in a marching style. The outcome of this research study is applied to the non-dispersive modeling of the propagation of electromagnetic fields in particle accelerator structures, namely calculating the generated fields when the travelling bunches of charged particles passes through the beam line elements. The application of flexible and widely used Rao-Wilton-Glisson vector basis functions on flat triangular patches, particularly on the cylindrical beam pipes, causes in turn artificial fields in the commonly used barycentric approximation for the testing integrals due to misalignment of the surface normal vectors. To avoid such deficiency, first the cylindrical parts of the scatterers are supplanted by the rectangular ones whose unit normal vectors coincide with the real radial direction of the underlying cylindrical coordinate system. The linearly-varying divergence-conforming spatial basis functions on triangular and quadrilateral meshes are then combined. Additionally, in order to render symmetric interaction matrices complying the reciprocity theorem in the Galerkin's testing method while controlling the precision of numerical quadratures on the refining source and observation subdomains, the adaptive concurrent partitioning of planar patches is exploited. Furthermore, the eigenvalue spectrum of the system iteration matrix reveals that many stabilization techniques pull energy out of the system, and thus, symplectic space-time integration methods that fully conserve the energy are invoked. A one-dimensional discrete fast Fourier transform-based algorithm is proposed to expedite the spatial convolution products of the Toeplitz-block-Toeplitz retarded interaction matrices. Additional saving owing to the system periodicity is linked with the Toeplitz properties due to the uniform space discretization in multi-level sense. In addition to the space-Fourier transformation algorithms, the time-Fourier transform routines are augmented to perform the recursive temporal convolution products for the Toeplitz block aggregates of the retarded interaction matrices in the outermost possible nested Toeplitz levels by array multiplications in spectral domain. Thus, the total computational cost and storage requirements scale down significantly in all the marching-on-in-time and marching-on-in-degree schemes or convolution quadrature methods. The temporal translation invariance properties of the time-tested Green's function are grouped in hybrid fixed and varying-size blocks to boost the efficiency of aggregate matrix-vector products in the diverse time-domain integral solver. Adaptive projection of triangular source elements on an auxiliary uniform grid is implemented for generalization of the algorithm to non-uniformly meshed scatterers. Novel summation reduction techniques are proposed to eliminate the most inner time-order loop in the marching-on-in-degree methods. Closed-form expression are presented for the discretized kernels when the convolution quadrature methods are applied for the time integration. Comparison of the exact near-field evaluation by the analytical integration on time-varying source subdomains with that of the polar integration is investigated as well. Cancelation of 1/R^2 integrals in the magnetic field integral equations are explained to halve the computational cost of the marching-on-in-time schemes. It is shown that the solution procedure for several ten thousands spatial degrees of freedom and hundreds of time steps takes couple of days on a single quad-core machine.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Erforschung verschiedener Formulierungen der Randelementemethode im Zeitbereich, die eingesetzt werden, um Integralgleichungen für retardierte Potentiale numerisch zu lösen. Ein wesentliches Ziel hier besteht darin, die Langzeitstabilität, Genauigkeit und Berechnungskomplexität für Integralgleichungsmethoden im Zeitbereich zu untersuchen. Die Studie zielt hauptsächlich darauf ab, das transiente Streuverhalten elektromagnetischer Felder für dreidimensionale, perfekt elektrisch leitfähige Körper zu beschreiben. Es werden effiziente Algorithmen zur numerischen Lösung der Integralgleichung auf Basis der elektrischen Feldstärke, der Zeitableitung der elektrischen Feldstärke, der magnetischen Feldstärke sowie einer Kombination dieser Felder hergeleitet, um die unbekannte induzierte Stromdichterverteilung zu berechnen. Die Algorithmen können in die drei Hauptkategorien marching-on-in-time, marching-on-in-degree und convolution quadrature methods bzw. finite difference delay modeling eingestuft werden. Mögliche Kombinationen von Raum- und Zeitintegrationen wurden untersucht und die erhaltenen Ergebnisse erfolgreich mit entsprechenden präzisen Lösungen auf Basis der Methode der Finiten Integration verglichen. Dies erlaubt die Durchführung von Konvergenzstudien auch für praktische Probleme, bei denen keine analytischen Lösungen vorliegen. Auf der Basis einer Stabilitätsanalyse unter Verwendung der Theorie retardierter Differentialgleichungen wurden für die marching-on-in-time Verfahren zunächst konsistente Zeitinterpolationen zu den üblicherweise verwendeten Zeitintegratoren gesucht. Darüber hinaus wurden Lagrange- und B-Spline-Basisfunktionen höherer Ordnung eingesetzt, die eine Auswertung der benötigen Zeitableitungen auf analytischem Wege ermöglicht. Weiterhin wurden orthogonale, gewichtete Laguerre oder Hermite Polynome eingesetzt, die auf dem gesamten Gebiet kausal definiert sind, um stabile marching-on-in-degree Verfahren abzuleiten. Die convolution quadrature Methoden, die eine Abbildung von der Laplace- auf die z-Ebene ausnutzen, wurden unter Berücksichtigung sowohl von einseitigen als auch von zentralen Differenzenquotienten näher untersucht. Die Diskretisierung wird dabei in der Transformationsebene durchgeführt, wobei die Rücktransformation in den Zeitbereich ein stabiles Zeitschrittverfahren erzeugt. Die Ergebnisse der Untersuchungen werden unter anderem zur dispersionsfreien Modellierung der Ausbreitung elektromagnetischer Felder in Teilchenbeschleunigern verwendet. Das Augenmerk liegt hier insbesondere in der Berechnung von resultierenden Feldern, die durch die Bewegung der geladenen Teilchenpakete durch die untersuchten Strahlführungselemente angeregt werden. Die sehr flexible und weit verbreitete Verwendung von geeigneten Basisfunktionen auf ebenen Dreiecksgittern führt insbesondere im Bereich der zylindrischen Strahlrohre zur unvermeidbaren Anregung von künstlichen Feldern, während sich diese auf entsprechenden rechteckigen Netzen vollständig vermeiden lassen. Im Übergangsbereich der Dreiecks- und der Rechtecksgitter müssen die Basisfunktionen dann divergenzkonform aufeinander angepasst werden. Um eine symmetrische Wechselwirkungsmatrix aufstellen zu können, welche die Reziprozität des zugrundeliegenden Galerkinverfahrens wiederspiegelt und eine vorgegebene Steuerung der Genauigkeit der numerischen Integration für das Quellen- und das Beobachtungsgebiet ermöglicht, wird gezielt eine adaptive simultane Zerlegung der jeweiligen Integrationsgebiete verwendet. Darüber hinaus wird gezeigt, dass viele der bekannten Stabilisierungsmaßnahmen einen Teil der im System vorhandenen Energie extrahiert und man deshalb nach einer Alternative sucht, die eine vollständige Erhaltung der Energie garantiert. Zur Beschleunigung des räumlichen Faltungsprodukts der retardierten Wechselwirkungsmatrix in Toeplitz-Block-Toeplitz Gestalt wird ein schneller Algorithmus basierend auf der eindimensionalen diskreten schnellen Fouriertransformation vorgeschlagen. Durch eine einheitliche Diskretisierung des Raumes lassen sich zusätzliche Einsparungen erzielen, welche auf die Periodizität des Systems zurückzuführen ist und eng mit den Toeplitzeigenschaften des Systems in Verbindung steht. Zusätzlich zu den räumlichen Fourier-Transformations-Algorithmen wurden entsprechende zeitliche Routinen entwickelt, um die rekursiven zeitlichen Faltungsprodukte für die Toeplitzblöcke der retardierten Wechselwirkungsmatrix in den äußersten Toeplitzleveln durch Multiplikation der Matrizen im Spektralbereich auszuführen. Auf diese Weise kann sowohl der Rechen- als auch der Speicheraufwand für zeitliche und räumliche Freiheitsgrade in den marching-on-in-time, marching-on-in-degree und convolution quadrature Methoden reduziert werden. Die vorliegende Verschiebungsinvarianz der Greenfunktion in der Zeit erlaubt die Gruppierung in einzelne Blöcke mit sowohl fester als auch variabler Größe, um die Effizienz der Matrix-Vektor-Produkte in den verschiedenen Integrallösungsansätzen zu beschleunigen. Einer zusätzlichen adaptiven Projektion der Gitter ist implementiert, um die Algorithmen auf uneinheitliche Gitter zu verallgemeinern. Durch eine Elimination der innersten Schleife wurde für die marching-on-in-degree Methoden weiterhin eine neue Möglichkeit gefunden, die notwendige Summation deutlich zu vereinfachen. Für die convolution quadrature Methoden wurden für die Zeitintegration geschlossene Lösungen präsentiert. Desweiteren wurde durch einen Vergleich der exakten Nahfeldauswertung mittels analytischer Integration über das Quellengebiet mit einer polaren Integration näher untersucht. Unter Verwendung der Auslöschung der 1/R^2 Integrale in der magnetic field integral equation konnte eine Halbierung des Rechenaufwands für die marching-on-in-time Ansätze gezeigt werden. Weiterhin wurde demonstriert, dass die Berechnung der Lösung unter Verwendung von einigen zehntausend Unbekannten bei hunderten von Zeitschritten einige Tage Rechenzeit auf einer modernen Quad-Core-Workstation benötigt.German
Uncontrolled Keywords: 3D Electromagnetic Wave Scattering, Marching-On-in-Time Schemes, Marching-On-in-Order / Degree Recipes, Finite Difference Delay Modeling, Convolution Quadrature Methods, Space-Time FFT Accelerated Transient Solver, Multilevel Toeplitz Matrix Products, Finite Periodic Structures, Wake-Field Propagation, Particle Accelerator Cavities, Electric Field Integral Equations, Magnetic Field Integral Equations, Combined Field Integral Equations, Delay Differential Equations, Lagrange / Spline Interpolations, Laguerre / Hermite Polynomials, System Eigenvalues Spectrum, Late-Time Stability, Energy Conservation, Computational Complexity Scaling, Spatio-Temporal Discretizations, Divergence-Conforming Vector Basis Functions, Hybrid Surface Meshes, Moment Expansion, Galerkin Method, Analytical Integration, Singularity Cancellation Techniques, Antenna Radiation, Perfect Electric Conductor, Numerical Simulations, Large-Scale Computing.
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
3D Electromagnetic Wave Scattering, Marching-On-in-Time Schemes, Marching-On-in-Order / Degree Recipes, Finite Difference Delay Modeling, Convolution Quadrature Methods, Space-Time FFT Accelerated Transient Solver, Multilevel Toeplitz Matrix Products, Finite Periodic Structures, Wake-Field Propagation, Particle Accelerator Cavities, Electric Field Integral Equations, Magnetic Field Integral Equations, Combined Field Integral Equations, Delay Differential Equations, Lagrange / Spline Interpolations, Laguerre / Hermite Polynomials, System Eigenvalues Spectrum, Late-Time Stability, Energy Conservation, Computational Complexity Scaling, Spatio-Temporal Discretizations, Divergence-Conforming Vector Basis Functions, Hybrid Surface Meshes, Moment Expansion, Galerkin Method, Analytical Integration, Singularity Cancellation Techniques, Antenna Radiation, Perfect Electric Conductor, Numerical Simulations, Large-Scale Computing.English
Integralgleichungen, elektrische und magnetische Feldstärken, Randelementmethoden, RWG Basisfunktionen, Diskretisierung der Oberfläche, Raum- und Zeitintegrationen, Fouriertransformation, stabile Zeitschrittverfahren, Rechen-und Speicheraufwand, elektromagnetischer Felder in Teilchenbeschleunigern, numerische Wakefeld-Berechnungen.German
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 530 Physik
600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
000 Allgemeines, Informatik, Informationswissenschaft > 004 Informatik
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
Date Deposited: 26 Jan 2011 08:58
Last Modified: 07 Dec 2012 11:59
Related URLs:
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-23830
License: Creative Commons: Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 3.0
Referees: Weiland, Prof. Dr.- Thomas and Eibert, Prof. Dr.- Thomas
Refereed: 20 December 2010
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/2383
Export:

Actions (login required)

View Item View Item