Diese Dissertation untersucht effektive und quantitative Aspekte metrischer Fixpunkttheorie mit Hilfe von Methoden der Beweistheorie. Sie besteht aus Beiträgen zum "proof mining"-Programm, entwickelt von Kohlenbach und anderen seit Anfang der 1990er Jahre, welches seinerseits seine Ursprünge in Kreisels "unwinding of proofs"-Programm aus den 1950er Jahren hat. Wir untersuchen prima facie ineffektive Beweise bestimmter Fixpunkttheoreme, um ihnen "versteckte" effektive Informationen, wie zum Beispiel explizite Schranken und Konvergenzraten für Iterationsfolgen, zu entnehmen. Darüber hinaus entwickeln wir die Anwendung der logischen Methoden weiter. Die wichtigsten theoretischen Methoden umfassen Gödels Funktionalinterpretation ("Dialectica") kombiniert mit Negativübersetzung und einer Variante von Howards Majorisierbarkeit, sowie logische Metatheoreme von Kohlenbach und Gerhardy. Diese erweitern die Anwendung der zuerst genannten Techniken auf formale Systeme der Analysis, die verschiedene abstrakte Räume als neu hinzugefügte Grundtypen besitzen. Die zwei wichtigsten Beiträgen sind die folgenden: (1) Wir konstruieren explizite und effektive Konvergenzraten für die Picard-Iterationsfolgen von zwei Klassen von Selbstabbildungen auf metrischen Räumen. Die eine Klasse sind Kirks asymptotische Kontraktionen. Als Konsequenz der logischen Analysen erhalten wir außerdem eine Reihe qualitative Ergebnisse bezüglich dieser Klasse von Abbildungen. Insbesondere beweisen wir eine Charakterisierung der Klasse der asymptotischen Kontraktionen im Sinne von Kirk für den Fall nichtleerer beschränkter, vollständiger metrischer Räume als genau denjenigen Abbildungen, für welche es einen Punkt gibt, gegen den alle Picard-Iterationsfolgen mit einer Konvergenzrate konvergieren, die gleichmäßig bezüglich des Startpunkts ist. Dies zeigt, dass im Falle von beschränkten metrischen Räumen die asymptotischen Kontraktionen im Sinne von Kirk in gewissem Sinne die allgemeinsten Abbildungen sind, die noch eine Konvergenz der Picard-Iterationsfolgen vom "Banach-Typ" aufweisen, das heißt Konvergenz gegen einen einzelnen Punkt und mit starker Gleichmäßigkeit bezüglich des Startpunktes. Die andere Klasse von Abbildungen, für die wir explizte Konvergenzraten konstruiren, sind die sogenannten gleichmäßig stetigen gleichmäßig verallgemeinerten p-kontraktiven Abbildungen. Es gelingt uns, ein verwandtes Fixpunkttheorem zu erweitern, bei dem wir nicht länger die Kompaktheit des Raumes (X, d) fordern. Aus den Gleichmäßigkeitseigenschaften der Konvergenzrate folgt, dass diese Abbildungen asymptotische Kontraktionen im Sinne von Kirk sind. (2) Wir entwickeln Methoden, um unter allgemeinen Bedingungen explizite und stark gleichmäßige Konvergenzraten für die Picard-Iterationsfolge von Selbstabbildungen auf beschränkten metrischen Räumen aus ineffektiven Beweisen von Konvergenz gegen einen eindeutigen Fixpunkt zu entnehmen. Wir können volle Konvergenzraten extrahieren, indem wir die Anwendung eines logischen Metatheorems von Kohlenbach erweitern. Unsere neuartigen Methode liefert eine metamathematische Erklärung für die Tatsache, dass wir in den oben erwähnten Fallstudien solche expliziten Konvergenzraten finden konnten. Dies kommt allgemeinen Bedingungen gleich, unter denen wir in bestimmten Zusammenhängen $\forall\exists\forall$-Sätze mit Hilfe eines Arguments über Produkträume zu $\forall\exists$-Sätzen umformen können. Diese Vereinfachung der logischen Komplexität erlaubt es uns, die vorhandenen Methoden zu nutzen, um quantitative Schranken, wie wir sie brauchen, zu bestimmen. | German |
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