Numerische Strömungssimulation (engl. CFD) spielt sowohl in der Industrie als auch in der Forschung eine wichtige Rolle und ergänzt experimentelle Versuche sowie theoretische Untersuchungen. CFD-Methoden werden auch für die Simulation kompressibler Strömungen, wie sie beispielsweise an Flugzeugen und in Strahltriebwerken auftreten, verwendet. Bereits in transsonischen Strömungen kann die Strömungsgeschwindigkeit die Schallgeschwindigkeit lokal überschreiten. Dadurch können diskontinuierliche Strömungsphänomene wie Verdichtungsstöße auftreten. Die numerische Modellierung dieser Strömungsphänomene ist herausfordernd, da sie lediglich einige mittlere freie Weglängen groß sind sowie einen großen Gradienten in den physikalischen Größen aufweisen. Klassische Methoden niedriger Ordnung, wie die Finite-Elemente-Methode (FEM) oder die Finite-Volumen-Methode (FVM), werden selten für sehr genaue Simulationen großer dreidimensionaler Problemstellungen mit komplexen Geometrien eingesetzt, da der Rechenaufwand in diesen Fällen enorm ist. Im Gegensatz dazu ermöglichen Methoden höherer Ordnung, wie die Discontinuous-Galerkin (DG)-Methode, aufgrund ihrer hohen räumlichen Konvergenzrate für glatte Probleme einen tiefen Einblick in solch komplexe Szenarien bei vergleichweise wenigen Freiheitsgraden.

In der vorliegenden Arbeit werden zwei unterschiedliche Ansätze zur numerischen Lösung der Euler-Gleichungen für reibungsfreie kompressible Strömungen durch sogenannte Unfitted-DG-Diskretisierungen vorgestellt. In diesen Ansätzen wird eine Sharp-Interface-Beschreibung verwendet, in der eingebettete Ränder (engl. immersed boundaries) bzw. die Fronten von Stoßwellen durch die Nullniveau-Menge einer Level-Set-Funktion beschrieben werden. Hierbei entfällt die aufwendige und teure Erstellung randangepasster Rechengitter. Die Robustheit, Stabilität und Genauigkeit der vorgestellten numerischen Ansätze wird mit einer Auswahl an Benchmarks aus der Literatur verglichen.

Der vorgestellte Shock-Capturing-Ansatz wird in einer Diskontinuous-Galerkin-Immersed-Boundary-Methode (DG IBM) implementiert, die einen Algorithmus zur Agglomeration von Zellen beinhaltet. Dieser verhindert eine schlechte Konditionierung der Systemmatrizen und verringert die große Beschränkung des expliziten Zeitschritts, beides hervorgerufen durch kleine und ungünstig geformte Schnittzellen. In Strömungen mit hohen Machzahlen beginnt die polynomiale Approximation in der Nähe von diskontinuierlichen Strömungsphänomenen zu oszillieren und beeinträchtigt die Genauigkeit und Stabilität der numerischen Methode. Als Lösung wird ein Shock-Capturing-Ansatz verwendet, der für die Verwendung auf einem agglomerierten Schnittzellen-Gitter erweitert wird. Dieser Ansatz besteht aus einer Erkennung problematischer Gitterzellen durch das Betrachten des modalen Abklingens der Lösung und einer Glättung mithilfe von künstlicher Viskosität. Jedoch beschränkt der künstliche Viskositätsterm zweiter Ordnung drastisch die global zulässige Zeitschrittgröße. Um diese Beschränkung zu verringern, wird ein adaptives lokales Zeitschrittverfahren verwendet, das um eine dynamische Neuerstellung der Zellgruppierungen für die Anwendung in instationären Strömungen erweitert wird.

Der vorgestellte Shock-Fitting-Ansatz wird in einer erweiterten Diskontinuous-Galerkin-Methode (engl. XDG method) implementiert. Die zugrunde liegende Codebasis wird durch die Verfikation zweier Level-Set-Funktionen, deren Nullniveau-Mengen einen Festkörper beziehungsweise die Front einer Stoßwelle beschreiben, erweitert. Dafür wird eine neuartige Methode zur Rekonstruktion der Stoßwellenfront eingeführt. Diese Methode bildet die Position der Stoßwellenfront innerhalb einer Gitterzelle numerisch exakt ab. Insbesondere wird eine eindimensionale Machbarkeitsstudie für eine stationäre gerade Stoßwelle vorgestellt. Hierfür wird ein implizites Pseudo-Zeitschrittverfahren entwickelt, um die Position der Grenzfläche, die die Stoßwellenfront beschreibt, innerhalb einer geschnittenen Hintergrundzelle zu korrigieren. Die vorliegende Arbeit bildet somit eine grundlegende Basis für eine XDG-Methode höherer Ordnung zur Berechnung kompressibler dreidimensionaler Überschallströmungen.