Analyse geometrischer univariater Subdivisionsalgorithmen

Subdivisionsalgorithmen generieren Freiformgeometrien durch iteratives Verfeinern polygonaler Daten, bspw. Polygonzüge bei univariater Subdivision. Dabei kann die Frage "Konvergiert die Polygonzugfolge gegen eine Grenzkurve und wie glatt ist diese?" im klassischen Fall linearer Algorithmen mit einer systematischen Regularitätstheorie beantwortet werden. Für nichtlineare Verfahren im Euklidischen, die unvermeidliche Nachteile linearer Algorithmen umgehen, gibt es nur Einzeluntersuchungen oder numerische Experimente.

Diese Arbeit führt die große Klasse der geometrischen Subdivisionsschemata (GLUED-Schema) ein, zeigt für sie eine universelle $C^{2,\alpha}$-Regularitätstheorie und gibt erstmalig rigorose Glattheitsnachweise für prominente Beispiele an. Besagte Klasse erweitert sich im Nichtstationären auf die GLUGs-Schemata, für die eine Konvergenztheorie angegeben ist. Letztlich vereinheitlicht eine allgemeingültige Proximitätstheorie für beliebige Algorithmen und beliebige $C^k$-Glattheit, genannt PAS-Theorie, die GLUED-, GLUGs- und lineare Theorien.

Subdivision algorithms generate free form geometries via iterative refinement of polygonal data, e.g. chains in case of univariate subdivision. The critical question 'Does the chain sequence converge to a limit curve and how smooth is it?' can be answered systematically in the classical setting of linear subdivision. Nonlinear subdivision schemes in euclidean space avoid some issues inherent in the linear case, but lack a systematic regularity theory.

This thesis introduces the large class of geometric univariate subdivision schemes (GLUED schemes), shows a universal $C^{2,\alpha}$-theory for them and gives the first rigorous proofs for prominent examples. The GLUED class expands in the non-stationary case to GLUGs schemes for which a convergence theory is given. Finally, the apparently seperate theories for GLUED-, GLUGs- and linear schemes are unified into a general proximity theory, called PAS-theory, for arbitrary subdivision schemes and $C^k$-smoothness.