Fachbereich Maschinenbau Systemzuverlässigkeit, Adaptronik und Maschinenakustik SAM Schwingungs- und Lärmreduktion an Kreissägeblättern mit strukturintegrierten vibroakustischen Metamaterialien Vibration and noise reduction on circular saw blades with structurally integrated vibroacoustic metamaterials Zur Erlangung des akademischen Grades Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.) Genehmigte Dissertation von Sebastian Werner Rieß aus Aschaffenburg Tag der Einreichung: 28. April 2024, Tag der Prüfung: 10. Juli 2024 1. Gutachten: Prof. Dr.-Ing. Tobias Melz 2. Gutachten: Prof. Dr.-Ing. Frank Döpper Darmstadt, Technische Universität Darmstadt Schwingungs- und Lärmreduktion an Kreissägeblättern mit strukturintegrierten vibroakustischen Metamate- rialien Vibration and noise reduction on circular saw blades with structurally integrated vibroacoustic metamaterials Genehmigte Dissertation von Sebastian Werner Rieß Tag der Einreichung: 28. April 2024 Tag der Prüfung: 10. Juli 2024 Darmstadt, Technische Universität Darmstadt Bitte zitieren Sie dieses Dokument als: URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-278815 URL: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/27881 Jahr der Veröffentlichung auf TUprints: 2024 Dieses Dokument wird bereitgestellt von tuprints, E-Publishing-Service der TU Darmstadt http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de tuprints@ulb.tu-darmstadt.de Die Veröffentlichung steht unter folgender Creative Commons Lizenz: Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/27881 http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de tuprints@ulb.tu-darmstadt.de https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Zeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fraunhofer-Institut für Betriebsfestigkeit und Systemzuverlässigkeit LBF in Darmstadt. Mein besonderer Dank gilt Prof. Dr.-Ing. Tobias Melz für die Betreuung und Begleitung der Arbeit. Herrn Prof. Dr.-Ing. Frank Döpper von der Universität Bayreuth danke ich herzlich für die Übernahme des Koreferats. Ausdrücklich bedanken möchte ich mich bei Dr.-Ing. Sven Herold für die exzellente fachliche Betreuung und Begleitung der Arbeit, die kontinuierliche Unterstützung bei der inhaltlichen Ausrichtung und thematischen Eingrenzung sowie für die konstruktive fachliche Diskussion. Außerdem danke ich Heiko Atzrodt, der mich für das Thema der vibroakustischen Metamaterialien begeistern konnte und meine Arbeit von Beginn an konstruk- tiv begleitete. Herrn Dr.-Ing. William Kaal danke ich für die fachliche Diskussion, die stetige Unterstützung und das Ermöglichen von Freiräumen zur Anfertigung der Dissertation. Meinen Kolleginnen und Kollegen am Fraunhofer-Institut LBF danke ich für die anregenden fachlichen Gespräche, die stets konstruktive Zusammenarbeit und die freundschaftliche Arbeitsatmosphäre. Mein be- sonderer Dank gilt in diesem Kontext den ehemaligen und aktuellen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Metamaterialien-Teams: Marvin Droste, Daria Manushyna, Dr.-Ing. Moritz Hülsebrock, Nikolai Kleinfeller, Saeed Shariatinia und Jakob Mildenberger. Ein weiteres großes Dankeschön möchte ich Joscha Ringler, Ron Schmidt und Marcel Jäger gegenüber aussprechen, deren studentische Abschlussarbeiten ich während meiner Arbeiten betreuen durfte. Auch möchte ich Saeed Shariatinia und Nico Appel meinen ausdrücklichen Dank dafür aussprechen, dass sie mich als studentische Hilfskräfte bei der Vorbereitung von Versuchsaufbauten und der Durchführung von Experimenten unterstützt haben. Für die fachliche Diskussion zu Kreissägeblättern, die für mich außerordentlich wertvoll war, und schließ- lich für die konstruktive Kommentierung meiner Ergebnisse möchte ich mich bei Henner Niemeyer und Dr.-Ing. Christoph Birenbaum vom Fraunhofer-Institut für Produktionstechnik und Automatisierung IPA in Stuttgart bedanken. Auch gilt mein Dank Ralph Keßler und Dr.-Ing. Thomas Bruchhaus vom Institut für Werkzeugforschung und Werkstoffe IFW in Remscheid für die fachlichen Gespräche. Dem Fachgebiet Systemzuverlässigkeit, Adaptronik und Maschinenakustik SAM der TU Darmstadt und insbesondere dessen ehemaligem stellvertretenden Fachgebietsleiter Univ.-Prof. Dr.-Ing. Christian Adams danke ich für die Möglichkeit, Versuche in den am Fachgebiet zur Verfügung stehenden Akustikräumen durchführen zu können. Abschließend möchte ich auch einen besonderen Dank an meine Lebensgefährtin Marianne Hahn für die Unterstützung, Motivation und Geduld, insbesondere bei der Fertigstellung dieser Arbeit, richten. Gleicherma- ßen bedanke ich mich bei meinen Eltern, Claudia und Werner Rieß, für die immerwährende Unterstützung und Förderung auf meinem Weg während der Schulzeit, dem Studium und der Promotion. Ihnen ist diese Arbeit gewidmet. iii Zusammenfassung Kreissägen sind aufgrund ihrer einfachen Bedienbarkeit und hohen Schnittleistung in Industrie und Handwerk weit verbreitet. Der Lärm beim Sägen entsteht maßgeblich durch Schwingungen des Stammblatts und belastet die bedienende Person sowie Personen im direkten Umfeld. Konventionelle Maßnahmen zur Reduktion des Sägelärms reichen oft nicht aus, um die gesetzlich definierte Auslöseschwelle für den Tageslärmexpositionspegel zu unterschreiten. Aus diesem Grund sind neuartige Lärmreduktionsmaßnahmen erforderlich. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird das Prinzip vibroakustischer Metamaterialien (VAMM) auf Kreissägeblätter angewendet, mit dem Ziel die Stammblattschwingungen und den abgestrahlten Schall zu reduzieren. VAMM bestehen aus einem Resonator-Array, das zur Ausbildung eines Stoppbandfrequenzbereichs für elastische Wellen führt und werden bereits zur Schwingungs- und Lärmreduktion an nicht rotierenden Strukturen erforscht. Die vorliegende Arbeit adressiert das bislang unbekannte Verhalten von VAMM in rotierenden, plattenartigen Systemen. Üblicherweise werden VAMM durch das Aufbringen von Resonatoren auf die zu beruhigende Struktur realisiert, was für Sägeblätter ungeeignet ist. Daher werden im Rahmen der Arbeit die Grundlagen für die Anwendung einer neuartigen Klasse von VAMM, sogenannter strukturintegrierter VAMM, geschaffen, die durch das Herausarbeiten von Resonatoren aus der zu beruhigenden Struktur realisiert werden. Die speziellen Eigenschaften strukturintegrierter VAMM werden anhand analytischer Rechnungen und numerischer Parameterstudien analysiert. Es wird gezeigt, dass strukturintegrierte VAMM zu einer Reduktion der Biegesteifigkeit der Zielstruktur führen, jedoch breitere Stoppbänder ohne das Hinzufügen von zusätzlicher Masse ermöglichen. Das Verhalten strukturintegrierter VAMM in rotierenden Systemen wird experimentell am Beispiel einer Kreisplatte untersucht. Das Stoppband ist auch bei Drehzahlen von 3000 U/min nachweisbar und bleibt über der Drehzahl konstant. Schließlich wird ein Sägeblatt mit einem Durchmesser von 305 mm mit VAMM numerisch ausgelegt, gefertigt und experimentell, hinsichtlich des strukturdynamischen Verhaltens und der akustischen Abstrahlung, im nicht rotierenden und rotierenden Zustand sowie beim Sägen untersucht. Das Stoppband wird auf den Frequenzbereich von 1900 Hz bis 2300 Hz ausgelegt, da das Sägeblatt hier beim Sägen die höchsten Schallleistungspegel emittiert. Verglichen werden das VAMM-Sägeblatt sowie das VAMM-Sägeblatt in einer gedämpften Ausführung mit einem konventionellen und einem nach Stand der Technik lärmreduzierten Sägeblatt. Für das nicht rotierende Sägeblatt wird innerhalb des gemessenen Stoppbandbereichs von 1900 Hz bis 2500 Hz eine Amplitudenreduktion für Strukturschwingungen von> 20 dB gegenüber dem konventionellen Sägeblatt erreicht. Unter Rotation wird das Stoppband bis 3000 U/min in Strukturdynamikmessungen nachgewiesen. Die Schallleistung des nicht rotierenden Sägeblatts bei Anregung mit einem Impulshammer wird im Stoppbandbereich um bis zu 17,8 dB(A) gegenüber dem konventionellen Sägeblatt reduziert. Beim Sägen wird eine Reduktion des Gesamtschallleistungspegels um 7,1 dB(A) erzielt. Die maximale Reduktion der Schallleistung wird bei etwa 2000 Hz und erhöhten Zahnquerkräften erreicht und beträgt 16,8 dB(A). Die Reduktion der Strukturschwingungen und des abgestrahlten Schalls durch VAMM ist größer als die Reduktion, welche mit dem nach Stand der Technik lärmreduzierten Sägeblatt erzielt wird. Die vorliegende Arbeit leistet einen direkten Beitrag zur Entwicklung einer neuartigen Technologie zur Reduktion des Lärms beim Sägen. Ferner sind die Ergebnisse auf zahlreiche weitere Anwendungsfälle über- tragbar, in welchen Transversalschwingungen dünnwandiger Rotoren reduziert werden sollen. Der Stand der Wissenschaft und Technik wird hinsichtlich der Auslegung und der Eigenschaften strukturintegrierter VAMM, deren Verhalten in rotierenden Systemen und deren Anwendung auf Kreissägeblätter erweitert. v Abstract Circular saws are widely used in industry and trade due to their ease of handling and high cutting performance. The noise during sawing mainly originates from vibrations of the saw blade and stresses both the operator and people in the direct environment. Conventional measures for noise reduction on saw blades are often insufficient to undercut the action values defined by regulations for the daily noise exposure levels. Therefore, novel measures for noise reduction on saw blades are required. In this study, the principle of vibroacoustic metamaterials (VAMM) is applied to circular saw blades to reduce the blade’s vibration and, consequently, the radiated sound. VAMM consist of an array of resonators that leads to a stop band frequency range for elastic waves and are already investigated for noise and vibration reduction in nonrotating structures. The present work addresses the behavior of VAMM in rotating disk-shaped systems, which has not been examined yet. Commonly, VAMM are realized by adding resonators to the target structure, which is not suitable for the use on saw blades. Therefore, the fundamentals for the application of a new class of VAMM, so-called structurally integrated VAMM, are created within this study. Structurally integrated VAMM are obtained by carving resonators out of the target structure. The distinct properties of structurally integrated VAMM are examined analytically and by a numerical parameter study. It is demonstrated, that structurally integrated VAMM lead to a reduction in the bending stiffness of the target structure but, at the same time, enable wider stop bands without adding extra mass. The behavior of structurally integrated VAMM in rotating systems is investigated experimentally on the basis of a circular disk. The stop band is still present at 3000 rpm and does not change with increasing rotational speed. Eventually, a saw blade with a diameter of 305 mm is numerically designed with VAMM, manufactured and experimentally investigated regarding its structural dynamic behavior and acoustic emission in the nonrotating and rotating state as well as during sawing. The stop band is tuned to a frequency range of 1900 Hz to 2300 Hz, since the saw blade emits the largest sound power amplitudes within this range during sawing. The study compares the VAMM saw blade and a damped version of the VAMM saw blade with a conventional and a state-of-the-art noise-reduced saw blade. For the nonrotating saw blade, an amplitude reduction for structural vibrations within the measured stop band frequency range from 1900 Hz to 2500 Hz of more than 20 dB is achieved in comparison to a conventional saw blade. In the rotating system, the stop band is verified up to 3000 rpm by structural dynamics measurements. The radiated sound power of the nonrotating saw blade, caused by excitation with an impulse hammer, can be reduced by up to 17.8 dB(A) within the stop band range compared to the conventional saw blade. During sawing a reduction of the overall sound power level of 7.1 dB(A) is achieved. The maximum reduction during sawing is 16.8 dB(A) which is achieved at around 2000 Hz with increased lateral tooth forces. The reduction of the structural vibrations and the emitted sound achieved with VAMM is larger than the reduction by the state-of-the-art noise-reduced saw blade. The present work directly contributes to the development of a new technology for the reduction of the noise during sawing. Furthermore, the results are transferable to many other applications where transverse vibrations of thin-walled rotating structures have to be reduced. The state of the art in science and technology is extended with regard to the design and properties of structurally integrated VAMM, their behavior in rotating systems and their application to circular saw blades. vii Abkürzungsverzeichnis AP Anregungspunkt BEM Boundary-Element-Methode CAD Computer Aided Design EZ Einheitszelle FE Finite-Elemente FEM Finite-Elemente-Methode FFT Fast Fourier Transform LDV Laser-Doppler-Vibrometer LPM lumped parameter model MP Messpunkt Ref.-SB, Ref. Referenzsägeblatt SB Sägeblatt SdTo-SB, SdTo nach Stand der Technik lärmreduziertes Sägeblatt VAMM vibroakustisches Metamaterial VAMM-SB, V Sägeblatt mit vibroakustischem Metamaterial VAMM-SB-D, V+D Sägeblatt mit vibroakustischem Metamaterial und Dämpfung ix Symbolverzeichnis Lateinische Buchstaben A m2 Fläche a m/s2 Beschleunigung B Ns/m Dämpfungsmatrix b m Breite C N/m Hilfsgröße c N/m Federsteifigkeit D m Durchmesser d⃗ m Richtungsvektor E Pa Elastizitätsmodul e⃗ − Einheitsvektor F, F⃗ N Kraft, Kraftvektor f Hz Frequenz G Ns/m Gyroskopische Matrix H m/s/N Übertragungsfunktion h m Dicke I m4 Flächenträgheitsmoment J − Funktion (Greensche Funktion) K N/m Steifigkeitsmatrix k, k⃗ m−1 Wellenzahl, Wellenvektor L m Resonatorabstand l m Länge M kg Massenmatrix m kg Masse N − Anzahl n − Anzahl/ Zählvariable ñ 1/min Drehzahl O − Koordinatenursprung O‘ − Ursprung des mitbewegten Koordinatensystems P W Schallleistung Q − Punkt Q̃ N/m linearisierte Kräfte pro Längeneinheit q, q⃗ m Verschiebung, Vektor der Verschiebungen R − Reduktionsmatrix r m Radius SXX N2/Hz Autoleistungsdichte SXY Nm/s/Hz spektrale Kreuzleistungsdichte xi s1 √︁ 1/kg/m2 Koeffizient s2 √︁ 1/kg/m3 Koeffizient s3 √︁ 1/kg/m4 Koeffizient T °C Temperatur t s Zeit U − Punkt u m Strukturantwort/ Verschiebung V √︁ 1/kg Vergleichsfunktion v m Verschiebung w m Verschiebung X N Anregungssignal (Kraft) x m Weg/ Koordinate Y m/s Messsignal (Geschwindigkeit) y m Weg/ Koordinate Z N/m Zirkulatorische Matrix z m Weg/ Koordinate Griechische Buchstaben α ° Winkel β − Koeffizient γ − Koeffizient ∆ − Differenz δ % Dämpfungsgrad ϵ 1/K Wärmeausdehnungskoeffizient ε − Dehnung ζ − Massenverhältnis η − Anzahl der Knotenkreise κ − Anzahl der Knotendurchmesser λ m Wellenlänge µ⃗ − Ausbreitungsvektor ν − Poissonzahl ξ⃗ m Ortsvektor ρ kg/m3 Dichte σ N/m2 mechanische Spannung ς − Zählvariable der Oberflächenelemente υ m/s Geschwindigkeit Φ − Verhältnis der dynamisch wirkenden Resonatormasse zur Resonatormasse χ m Koordinate der Flächenmittelpunkte der Oberflächenelemente Ψ − Faktor ψ − Zählvariable der Oberflächenelemente Ω 1/s Winkelgeschwindigkeit/ Kreisfrequenz ω 1/s Kreisfrequenz xii Indizes a außen add additiv B unten c Koinzidenz dyn dynamisch EZ Einheitszelle e Element eff effektiv F Federelement FR Federelement des Resonatortyps Raute HM Hartmetall Im Imaginärteil i Zählvariable i innen int strukturintegriert κ Knotendurchmesser krit kritische Drehzahl L links LB links unten LPM lumped parameter model LT links oben M Massenelement MP Messpunkt MS Massenelement des Resonatortyps Sechseck N Nut n Normalenrichtung Q Punkt Q QU Punkt Q nach Punkt U R rechts RB rechts unten Re Realteil Res Resonator RT rechts oben r Radialrichtung red reduziert rel relativ rw rückwärts SB Stammblatt Str Struktur s Schallgeschwindigkeit stat stationärer, nicht rotierender Zustand ς Zählvariable der Oberflächenelemente T oben θ Umfangsrichtung U Punkt U xiii vw vorwärts WR Walzring X Anregungssignal x x-Richtung Y Messignal y y-Richtung ZF Zentrifugalkraft ZP Zentripetalkraft ψ Zählvariable der Oberflächenelemente z z-Richtung Ω Rotation xiv Inhaltsverzeichnis Vorwort iii Abkürzungsverzeichnis ix Symbolverzeichnis xi 1. Einleitung und Motivation 1 1.1. Motivation und Ziele der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Methodische Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Stand der Wissenschaft und Technik 7 2.1. Kreissägeblätter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1. Geräuschentstehung und Schwingungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2. Ansätze zur Schwingungs- und Geräuschminderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Vibroakustische Metamaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1. Metamaterialien und Einordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2. Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3. Einheitszellenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4. Parametereinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.5. Einteilung nach Bauform und Integrationstiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.6. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Metamaterialien in rotierenden Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Dynamik rotierender Kreisplatten, Balken und komplexer Rotoren 33 3.1. Dynamik der rotierenden Kreisplatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2. Dynamik des rotierenden Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Berechnung komplexer rotierender Körper mit der finiten Elemente Methode . . . . . . . . . . 39 3.4. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4. Strukturintegrierte vibroakustische Metamaterialien 41 4.1. Eigenschaften strukturintegrierter VAMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2. Resonatorkonzepte strukturintegrierter VAMM für rotierende plattenartige Systeme . . . . . . 46 4.3. Parameterstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.3.1. Einheitszellenmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3.2. Variation der Resonatorgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3.3. Parametervariation Resonatortyp Raute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.4. Verhalten der Einheitszelle unter Fliehkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.5. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 xv 5. Messmethode und experimentelle Untersuchung strukturintegrierter VAMM in rotierendenSystemen 59 5.1. Numerische Auslegung einer Kreisplatte mit VAMM im ruhenden Zustand . . . . . . . . . . . . 59 5.2. Messmethode zur strukturdynamischen Charakterisierung rotierender plattenartiger Systeme . 63 5.3. Charakterisierung im nicht rotierenden Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4. Charakterisierung im rotierenden Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6. Experimentelle Untersuchung und numerische Modellierung von Kreissägeblättern 71 6.1. Auswahl eines Referenzsägeblatts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2. Experimentelle Untersuchung des strukturdynamischen Verhaltens im nicht rotierenden Zustand 72 6.2.1. Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2.2. Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.3. Numerische Modellierung des strukturdynamischen Verhaltens im nicht rotierenden Zustand . 76 6.4. Experimentelle Untersuchung des strukturdynamischen Verhaltens unter Rotation . . . . . . . 79 6.4.1. Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.4.2. Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.5. Experimentelle Untersuchung der akustischen Abstrahlung im nicht rotierenden Zustand . . . 83 6.5.1. Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.5.2. Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.6. Numerische Modellierung der akustischen Abstrahlung im nicht rotierenden Zustand . . . . . 85 6.7. Experimentelle Untersuchung der akustischen Abstrahlung im Leerlauf und beim Sägen . . . . 87 6.7.1. Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.7.2. Versuchsergebnisse Leerlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.7.3. Versuchsergebnisse Sägen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.8. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7. Auslegung, Design und Modellierung eines Kreissägeblatts mit strukturintegrierten VAMM 95 7.1. Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2. Numerische Auslegung der Einheitszelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.3. Numerische Modellierung des Kreissägeblatts mit strukturintegriertem VAMM . . . . . . . . . 99 7.3.1. Statische Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3.2. Strukturdynamisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.3.3. Akustische Abstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.4. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8. Wirksamkeitsnachweis von VAMM zur Schwingungs- und Lärmreduktion an Kreissägeblättern 107 8.1. Kreissägeblätter mit strukturintegrierten VAMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.2. Experimentelle Untersuchung des strukturdynamischen Verhaltens im nicht rotierenden Zustand108 8.3. Experimentelle Untersuchung der akustischen Abstrahlung im nicht rotierenden Zustand . . . 111 8.4. Experimentelle Untersuchung des strukturdynamischen Verhaltens unter Rotation . . . . . . . 112 8.5. Experimentelle Untersuchung der akustischen Abstrahlung im Leerlauf und beim Sägen . . . . 115 8.5.1. Leerlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.5.2. Sägen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.6. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9. Zusammenfassung und Ausblick 125 xvi Inhaltsverzeichnis A. Anhang 127 A.1. Resonatorbauformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A.2. Stoppbandbreite eines additiven und eines strukturintegrierten VAMM . . . . . . . . . . . . . 128 A.3. Charakterisierung der Kreisplatte unter Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 A.4. Analytische Berechnung der Aufspaltung von Moden unter Rotation . . . . . . . . . . . . . . . 131 A.5. Schwingformen des Referenzsägeblatts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 A.6. Spezifikationen der verwendeten Maschinen und Sägeblätter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 A.7. Parametervariation zur Auslegung des VAMM-Sägeblatts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.8. Charakterisierung der Sägeblätter unter Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Eigene Veröffentlichungen mit Bezug zu VAMM 143 Literatur 147 Inhaltsverzeichnis xvii 1. Einleitung und Motivation 1.1. Motivation und Ziele der Arbeit Lärmschwerhörigkeit war 2022 die zweithäufigste anerkannte Berufskrankheit in Deutschland [1] und verursacht jährlich Kosten in Höhe von etwa 100 Mio. € für die Träger der gesetzlichen Unfallversicherung [2]. Lärm kann nicht nur zu einer Schädigung des Gehörs führen, sondern auch Stress, Konzentrationsstörungen und Bluthochdruck hervorrufen [2]. Die Ablenkung durch Lärm im Arbeitsalltag kann zu Unachtsamkeit und Unfällen führen, außerdem leidet die Verständigung. Von der World Health Organisation wurde Lärm als zweitgrößtes Gesundheitsproblem identifiziert [3]. Bereits eine Dauerbelastung mit Schalldruckpegeln von 85 dB(A) kann zu einer Schädigung des Gehörs führen [4], [5]. Schalldruckpegel ab 80 dB(A) sind gehörgefährdend [5]. Betroffen von gehörschädigendem Lärm sind in Deutschland etwa 5 Mio. Beschäftigte [2]. Der Gesetzgeber schreibt vor, Lärmquellen nach dem aktuellen Stand der Technik zu reduzieren [6]. Hierbei ist eine Reduktion der Lärmemission am Entstehungsort individuellen Schutzmaßnahmen vorzuziehen und technische Lösungen sind vor organisatorischen zu treffen [6]. Wegen der hohen Schnittleistung, einfachen Bedienung und Mobilität sind Kreissägen in Industrie, Hand- werk und auf Baustellen weit verbreitet und beinahe in jeder Werkstatt zu finden. Sie stellen eine universelle Möglichkeit zum Trennen von Holz, Kunststoffen, Metallen oder Baustoffen dar. Beim Sägen werden das Sägeblatt und das Werkstück durch den Schneidvorgang zu Schwingungen angeregt, wodurch eine hohe und oft tonale Lärmemission entsteht. Der je nach bearbeitetem Werkstoff variierende Schalldruckpegel geht hierbei maßgeblich vom Sägeblatt aus [7]. Oft wird das gehörschädigende Potenzial unterschätzt und auf das Tragen eines Gehörschutzes verzichtet. Wird ein Gehörschutz getragen, wird zwar das eigene Gehör geschützt, jedoch werden unbeteiligte Mitarbeitende oder Anwohnende weiterhin in Mitleidenschaft gezogen. Leerlauf Holzplatte Hartholz Kunststoff Aluminium Beton 60 70 80 90 100 110 Sc ha lld ru ck pe ge li n dB (A ) Standardwerkzeug Lärmreduziertes Werkzeug Abbildung 1.1.: Schalldruckpegel beim Trennen von Werkstoffen mit Standardwerkzeugen (blau) und lärmreduzierten Werkzeugen (orange). Horizontale Linien bei 80 und 85 dB(A): Gesetzliche Auslöseschwellen zur Ergreifung von Arbeitsschutzmaßnahmen. Daten nach: [4], [7]–[9]. 1 Lärmreduzierte Kreissägeblätter nach aktuellem Stand der Technik beruhen meist auf den Mechanismen der Dämpfung, der Behinderung der Ausbildung von Eigenschwingungen [8] und der Optimierung der Schneidengeometrie [7]. Abbildung 1.1 gibt Aufschluss über übliche Schalldruckpegel beim Sägen oder Trennen sowie über erreichbare Pegelreduktionen mit lärmreduzierten Werkzeugen. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass in keinem der betrachteten Fälle der untere durch den Gesetzgeber definierte Auslösewert von 80 dB(A) für den Tagesexpositionspegel unterschritten wird. Ab dieser Schwelle sind Maßnahmen zur Vorbeugung von Lärmschwerhörigkeit erforderlich. Im Falle der Bearbeitung von Kunststoff, Aluminium und Beton kann nicht einmal der obere Auslösewert von 85 dB unterschritten werden, ab welchem unter anderem das Tragen eines Gehörschutzes verpflichtend ist. Bei dauerhaften Arbeiten mit diesen Schalldruckpegeln sind Überschreitungen der Auslösewerte für die Tagesexposition damit sehr wahrscheinlich. Zur Verbesserung des Lärmschutzes von Beschäftigten und zur Prävention von Lärmschwerhörigkeit sind folglich weitere lärmreduzierende Maßnahmen an Sägeblättern erforderlich, insbesondere zur gezielten Reduktion der Pegel in Frequenzbereichen mit hoher Schallabstrahlung im Betrieb. Vibroakustische Metamaterialien (VAMM) stellen in diesem Zusammenhang eine aussichtsreiche, und bisher auf Sägeblätter noch nicht angewendete Technologie zur Lärmreduktion dar. Sie bestehen aus einer meist regelmäßigen Anordnung mechanischer Resonatoren und zeichnen sich dadurch aus, dass sie in auslegbaren Frequenzbereichen sogenannte Stoppbänder hervorrufen können, innerhalb derer es zu einer Behinderung der Wellenausbreitung kommt. Anschaulich kann ein VAMM als Filter für mechanische Schwingungen aufgefasst werden, das innerhalb des Stoppbandfrequenzbereichs keine Wellen passieren lässt. Aufgrund der Reduktion von Schwingungen kommt es ebenfalls zu einer Reduktion des abgestrahlten Schalls. Besonders vorteilhaft lassen sich VAMM zur Schwingungsreduktion an flächigen und dünnwandigen Strukturen einsetzen. Abbildung 1.2a stellt ein VAMM am Beispiel einer 0,7 mm dicken Stahlplatte mit Abmessungen von 300 x 200 mm dar, auf welche 70 Resonatoren aufgebracht sind. Abbildung 1.2b zeigt die an der Platte gemessene Akzeleranz, die sich aus der Kraftanregung (F ) und den gemittelten, in Normalenrichtung gemessenen Beschleunigungen in den rot markierten Punkten ergibt. Deutlich sichtbar ist das in grau hinterlegte Stoppband zwischen 300 Hz und 500 Hz. Oberhalb dieses Frequenzbereichs kommt es ebenfalls zu einer hohen Schwingungsreduktion, welche auf Dämpfung zurückzuführen ist. Die Resonatoren schwingen hier gegenphasig zur Struktur, sodass die Dämpfung der Resonatoren bestmöglich ausgenutzt wird. F Auswertepunkte ResonatorenResonatoren 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 20 40 60 Frequenz in Hz Am pl itu de in dB m /s 2 / N Stoppband VAMM Referenz a) b) Abbildung 1.2.: a) Darstellung eines VAMM am Beispiel einer Stahlplatte (Quelle des Fotos: ©Fraunhofer LBF, Raapke). b) Über die Messpunkte gemittelte Übertragungsfunktion der Akzeleranz. 2 1. Einleitung und Motivation Vor dem Hintergrund der oben aufgeworfenen Problemstellung, besteht die Zielsetzung der vorliegenden Dissertation in der Untersuchung des Potenzials von VAMM zur Reduktion der Schallabstrahlung von Kreissä- geblättern im Vergleich zu konventionellen Lärmreduktionsmaßnahmen nach aktuellem Stand der Technik. Hieran angelehnt ergeben sich folgende drei Forschungsfragen: 1. Wie kann die Integration eines VAMM in ein Kreissägeblatt erfolgen und wie müssen geeignete Re- sonatoren gestaltet werden? Diese Frage stellt sich insbesondere vor dem Hintergrund, dass VAMM üblicherweise, wie in Abbildung 1.2a gezeigt, durch das Aufbringen einzelner Resonatoren auf eine Struktur realisiert werden. Dies ist im Falle eines Sägeblatts nicht möglich. Daher muss eine Funktionsin- tegration erfolgen. 2. Wie verhalten sich VAMM in einem schnell rotierenden System wie einem Kreissägeblatt? Diese Frage- stellung ist vor dem Hintergrund des aktuellen Standes der Wissenschaft und Technik nicht hinreichend untersucht. Üblicherweise werden VAMM an plattenartigen, nicht rotierenden Strukturen untersucht. Erkenntnisse über das Verhalten von VAMM in rotierenden plattenartigen Systemen sind dem Autor nicht bekannt. 3. Lässt sich mit einem VAMM die Schallabstrahlung eines Kreissägeblatts beim Sägen in höherem Maße reduzieren, als dies mit Maßnahmen nach aktuellem Stand der Wissenschaft und Technik möglich ist? Neben der Beantwortung obiger Fragestellungen ist ein weiteres Ergebnis der Dissertation eine Methodik zur Auslegung von Sägeblättern mit VAMM. Diese besteht in der Identifikation geeigneter Resonatorparameter des VAMM, der Vorgehensweise bei der numerischen Auslegung und der experimentellen Untersuchung sowie Validierung von Sägeblättern mit VAMM. 1.2. Methodische Vorgehensweise Die methodische Vorgehensweise teilt sich in die folgenden drei aufeinander aufbauenden Schritte, die sich an den oben beschriebenen Forschungsfragen orientieren: 1. Zur Realisierung von Sägeblättern mit VAMM bieten sich strukturintegrierte VAMM an. Diese stellen einen in der Literatur unterrepräsentierten Themenkomplex dar. Aus diesem Grund erfolgt zunächst die systematische analytische und numerische Untersuchung und Abgrenzung von strukturintegrierten VAMM gegenüber konventionellen, bei welchen Resonatoren zu der zu beruhigenden Struktur hinzu- gefügt werden (additive VAMM). Hierfür werden insgesamt vier Resonatorgeometrien basierend auf einer Literaturstudie entworfen und im Rahmen von Parametervariationen analysiert. Analytisch wird herausgearbeitet, dass das Verhalten von Resonatoren, integriert in plattenartigen rotierenden Struktu- ren, die parallel zur Rotationsachse schwingen, keinem gyroskopischen Effekt, jedoch der Fliehkraft unterliegen. Daher erfolgt ferner die Untersuchung des Verhaltens eines ausgewählten Resonatorkon- zepts unter Fliehkraft. Mit diesem Vorgehen wird die erste Forschungsfrage beantwortet und der Stand der Wissenschaft hinsichtlich der Auslegung und dem Verhalten rotierender strukturintegrierter VAMM erweitert. 2. Nach erfolgter Identifikation eines geeigneten Ansatzes zur Integration von VAMM in plattenartige, rotierende Strukturen erfolgt die experimentelle Untersuchung eines strukturintegrierten VAMM am Beispiel einer Kreisplatte. Hierfür wird eine Kreisplatte mit VAMM, die ähnliche Abmessungen wie ein Sägeblatt aufweist, ausgelegt und mit Hilfe eines trennenden Verfahrens aus Stahlblech herge- stellt. Das strukturdynamische Verhalten wird im nicht rotierenden sowie im rotierenden Zustand mit ortsfestem Beobachter untersucht, um festzustellen, welche Veränderungen sich hinsichtlich des Stoppbandverhaltens, bei für Kreissägen üblichen Drehzahlen von 3000 U/min, ergeben. Angeregt wird die rotierende Kreisplatte mit einem automatischen Impulshammer. Die Strukturantwort wird mit einem Laser-Doppler-Vibrometer (LDV) gemessen. Hiermit wird die zweite Forschungsfrage experimentell beantwortet. Dies ist notwendig, da eine numerische Untersuchung mit kommerzieller Software zur 1.2. Methodische Vorgehensweise 3 Finite-Elemente-Berechnung (FE-Berechnung) eines VAMM, welches eine nicht achsensymmetrische Struktur darstellt, Limitationen unterworfen ist. Die experimentelle Untersuchung erweitert den Stand der Wissenschaft und erlaubt es Schlüsse für die Auslegung eines Sägeblatts mit VAMM zu ziehen. 3. Zur Untersuchung der Schallabstrahlung eines Kreissägeblatts mit VAMM erfolgt zunächst die Aus- wahl eines Referenzsägeblatts, das in einer konventionellen und in einer nach aktuellem Stand der Technik lärmreduzierten, geometrisch identischen Variante verfügbar ist. Das Referenzsägeblatt wird hinsichtlich seines strukturdynamischen Verhaltens unter Anregung mit einem Impulshammer bei un- terschiedlichen Lagerungsarten charakterisiert. Mit den gewonnenen Messdaten wird ein numerisches Simulationsmodell des Referenzsägeblatts aufgebaut und abgeglichen, das das strukturdynamische Verhalten abbildet. Basierend auf diesem Modell wird mit einem analytischen Modellierungsansatz die akustische Abstrahlung in Form der Schallleistung berechnet. Diese Ergebnisse werden mit Messungen der Schallleistung des mit einem Impulshammer angeregten Sägeblatts im nicht rotierenden Zustand ab- geglichen. Das so erarbeitete Strukturdynamik- und Akustikmodell wird als Grundlage zur Entwicklung eines VAMM-Sägeblattprototyps verwendet. Das VAMM wird basierend auf den theoretischen und expe- rimentellen Untersuchungen zu strukturintegrierten VAMM entsprechend der beiden vorausgehenden, methodischen Schritte (1. und 2.) anhand einer Parameterstudie ausgelegt. Als Grundlage zur Auslegung dienen Messungen der beim Sägen ermittelten Schallleistung. Das ausgelegte VAMM-Sägeblatt wird in zweifacher Ausführung aus jeweils einem Referenzsägeblatt mittels Wasserstrahlschneiden hergestellt. Eines der beiden hergestellten VAMM-Sägeblätter wird um einen Dämpfungsmechanismus erweitert, um das Lärmreduktionspotenzial einer Kombination aus VAMM und zusätzlicher Dämpfung untersu- chen zu können. Die aufgebauten VAMM-Sägeblattprototypen erlauben die Beantwortung der dritten Forschungsfrage. Hierfür werden die VAMM-Sägeblätter, ein Referenzsägeblatt und ein geometrisch identisches nach aktuellem Stand der Technik lärmreduziertes Sägeblatt experimentell hinsichtlich ihres strukturdynamischen und akustischen Verhaltens charakterisiert. Das strukturdynamische Verhalten im nicht rotierenden Zustand wird unter Anregung mit einem Impulshammer mit Hilfe eines LDV untersucht. Die akustische Abstrahlung wird zunächst im nicht rotierenden Zustand in Form der Schallleistung gemessen. Hierbei werden die Sägeblätter mit einem Impulshammer angeregt und die Schallleistung wird auf die Anregungskraft bezogen. Im rotierenden Zustand wird das strukturdynamische Verhal- ten mit einem LDV charakterisiert. Das rotierende Sägeblatt wird hierbei mit einem Impulshammer angeregt. Die Bewertung der Schallabstrahlung beim Sägen und im Leerlauf erfolgt durch Messung der Schallleistung. Die Analysen finden auf einer Tischkreissäge beim Sägen von Siebdruckplatten statt. Zur Sicherstellung der Reproduzierbarkeit wird ein automatischer Vorschub verwendet. Untersucht werden die zwei Szenarien einer parallelen und einer schrägen Werkstückführung. Diese beiden Szenarien sollen die Nutzung einer Tischkreissäge in der späteren Praxis möglichst gut umreißen. Der Stand der Wissenschaft und Technik wird hier durch die Schaffung eines neuartigen lärmgeminderten Sägeblatts sowie durch eine auf allen Ebenen (strukturdynamisch, akustisch, nicht rotierend, rotierend und im Sägeprozess) durchgängige Betrachtung von zwei Referenz- und zwei VAMM-Sägeblättern erweitert. 1.3. Gliederung der Arbeit Die Arbeit gliedert sich entsprechend der in Abschnitt 1.1 definierten Forschungsfragen und der in 1.2 dar- gestellten methodischen Vorgehensweise. In Kapitel 2 Stand der Wissenschaft und Technik werden relevante Grundlagen zu den Themen der Lärmreduktion an Kreissägeblättern und der VAMM recherchiert und beschrie- ben. Eingegangen wird auf die Entstehungsmechanismen von Lärm beim Sägen mit Kreissägeblättern und auf Möglichkeiten zur Lärmreduktion nach dem aktuellen Stand der Wissenschaft und Technik. Das Themenfeld der VAMMwird in den übergreifenden Themenkomplex der Metamaterialien eingeordnet. Die Berechnung von VAMM, die Einteilung nach Bauformen und der Integrationstiefe sowie deren Anwendung insbesondere auf 4 1. Einleitung und Motivation rotierende Systeme werden vorgestellt. Da der beim Sägen entstehende Lärm maßgeblich auf Schwingungen des Stammblatts zurückgeht, werden in Kapitel 3 Dynamik rotierender Kreisplatten, Balken und komplexer Rotoren die Grundlagen zu Schwingungen in rotierenden Systemen erläutert. Eingegangen wird auf die speziellen dynamischen Effekte rotierender Kreisplatten und Balken. Die Effekte werden analytisch hergeleitet und es erfolgt eine Einordnung der Möglichkeiten der numerischen Berechnung rotierender komplexer Körper mit kommerzieller FE-Software. Basierend auf der in Kapitel 2 erfolgten Einordnung strukturintegrierter VAMM und der in diesem Kontext identifizierten Forschungslücke wird diese Klasse der VAMM in Kapitel 4 Strukturintegrierte vibroakustische Metamaterialien eingeführt und definiert. Es erfolgt die Abgrenzung von strukturintegrierten VAMM zu konventionellen VAMM in additiver Bauweise anhand analytischer und numerischer Berechnungen. Es werden die erarbeiteten Ergebnisse einer Parametervariation an vier verschiedenen Resonatorgeometrien vorgestellt und die Auswirkungen der Fliehkraft auf das Verhalten von Resonatoren in rotierenden Systemen untersucht. Mit diesen Forschungsarbeiten werden die Grundlagen zur Anwendung strukturintegrierter VAMM geschaffen. Aufbauend auf den Ergebnissen aus Kapitel 4 wird in Kapitel 5Messmethode und experimentelle Untersuchung strukturintegrierter VAMM in rotierenden Systemen die Auslegung und experimentelle Charakterisierung einer Kreisplatte mit strukturintegrierten VAMM beschrieben. An dieser Stelle wird auch auf die Erarbeitung einer Messmethode zur strukturdynamischen Charakterisierung rotierender, plattenartiger Strukturen mit ortsfestem Beobachter eingegangen. Diese bildet die Grundlage für die Untersuchung der Kreissägeblätter im rotierenden Zustand. Die Auswahl eines Referenzsägeblatts, welches gleichzeitig durch Modifikation zur Herstellung eines VAMM-Sägeblatts dient, erfolgt in Kapitel 6 Experimentelle Untersuchung und numerische Modellierung von Kreissägeblättern. Dieses Kapitel bildet die Grundlage für die spätere Auslegung eines VAMM-Sägeblatts, indem an dieser Stelle die Herleitung eines numerischen Strukturdynamikmodells sowie eines darauf auf- bauenden analytischen Akustikmodells beschrieben wird. Daneben werden die Ergebnisse experimenteller Charakterisierungen des strukturdynamischen und akustischen Verhaltens im ruhenden sowie im rotierenden Zustand dargestellt und erläutert. Um eine Auslegungsgrundlage für ein VAMM-Sägeblatt zu schaffen, werden außerdem auch die Ergebnisse von Schallleistungsmessungen beim Sägen sowie im Leerlauf vorgestellt. In Kapitel 7 Auslegung, Design und Modellierung eines Kreissägeblatts mit strukturintegrierten VAMM werden die Ergebnisse aus den Kapiteln 3 bis 6 genutzt, um einen VAMM-Sägeblattprototyp numerisch auszulegen und zu entwickeln. Vorgestellt werden die Ergebnisse einer Parametervariation zur Identifikation von Reso- natorparametern des VAMM, sowie die Validierung der Funktion des in das Sägeblatt integrierten VAMM anhand einer numerischen harmonischen Analyse. Die Auswirkungen eines strukturintegrierten VAMM auf die Sägeblattsteifigkeit werden ebenfalls analysiert und mit denen eines nach Stand der Technik konventionellen Dämpfungsansatzes, basierend auf Dämpfungsschlitzen, verglichen. Kapitel 8 Wirksamkeitsnachweis von VAMM zur Schwingungs- und Lärmreduktion an Kreissägeblättern bildet den inhaltlich-methodischen Abschluss der Arbeit und gibt eine Übersicht über die Ergebnisse vergleichender Strukturdynamik- und Akustikmessungen, die an einem Referenzsägeblatt und einem nach Stand der Technik lärmreduzierten Sägeblatt, sowie an einer gedämpften und einer ungedämpften VAMM-Sägeblattvariante durchgeführt wurden. Aufeinander aufbauend werden die Messergebnisse der Sägeblätter im nicht rotierenden und rotierenden Zustand, sowie während des Sägens diskutiert und miteinander verknüpft. Zusammengefasst werden die Ergebnisse der Arbeit in Kapitel 9 Zusammenfassung und Ausblick. Hier werden Weiterentwicklungsmöglichkeiten der aufgebauten VAMM-Sägeblattprototypen aufgezeigt und auf während der Promotion aufgeworfene und noch nicht beantwortete Forschungsfragen eingegangen. 1.3. Gliederung der Arbeit 5 2. Stand der Wissenschaft und Technik In diesem Kapitel wird der Stand derWissenschaft und Technik in den Bereichen der Kreissägeblätter (Abschnitt 2.1), der VAMMmit lokalen Resonanzen (Abschnitt 2.2) und des Einsatzes von Metamaterialien in rotierenden Systemen (Abschnitt 2.3) dargestellt. Eingegangen wird auf die Mechanismen der Geräuschentstehung beim Sägen sowie auf Maßnahmen nach aktuellem Stand der Wissenschaft und Technik zur Reduktion von Geräuschen beim Sägen. Das Themenfeld der vibroakustischen Metamaterialien wird in den Komplex der Metamaterialien eingeordnet und auf die Funktionsweise sowie auf relevante Bauformen eingegangen. Neben konkreten Ausführungsformen und Bauweisen von Metamaterialien zur Reduktion von Schwingungen in rotierenden Systemen wird auf die Literatur zur Anwendung von VAMM in anderen Zusammenhängen verwiesen. 2.1. Kreissägeblätter Kreissägen sind in Industrie und Handwerk weit verbreitet [10], [11] und werden zum Trennen von Werk- stoffen aller Art eingesetzt. Die Gründe hierfür bestehen in der hohen Schnittleistung und der einfachen Handhabbarkeit. Vorteile gegenüber anderen Trennverfahren sind eine höhere Schnittqualität sowie höhere Schnittraten bei gleichzeitig geringeren Schnittkosten [12]. Die Einteilung von Kreissägeblättern kann basie- rend auf dem verwendeten Schneidenwerkstoff erfolgen [13]. So existieren Stahlsägeblätter, deren Zähne durch Stanzen und Schleifen hergestellt werden, sowie Hartmetall-, Stellit- und Diamantsägeblätter, die durch das Auflöten von Zähnen auf ein Stammblatt gefertigt werden [13]. Das Stammblatt bildet den eigent- lichen Körper des Sägeblatts und wird mittels Stanzen oder Laserstrahlschneiden hergestellt. Eine weitere Einteilung von Sägeblättern kann hinsichtlich des bearbeitbaren Werkstoffs in Holz-, Metall-, Kunststoff- und Steinsägeblätter erfolgen [14]. Im Folgenden wird zunächst die Entstehung von Geräuschen beim Sägen mit Kreissägeblättern erläutert. Im Anschluss daran werden Maßnahmen zur Geräuschreduktion von Kreissägen nach aktuellem Stand der Wissenschaft und Technik vorgestellt. 2.1.1. Geräuschentstehung und Schwingungsverhalten Übliche Schalldruckpegel im Leerlauf von Kreissägen betragen bis zu 95 dB(A) [10]. Während des Sägens werden Schalldruckpegel im Bereich von 80 dB(A) bis 120 dB(A) [10] erreicht. Das beim Sägen entste- hende Geräusch kann in das Leerlauf- und Arbeitsgeräusch unterteilt werden [9]. Abbildung 2.1 fasst die Einflussgrößen auf die jeweiligen Geräuschanteile zusammen. Das Leerlaufgeräusch ist auf periodische Luftturbulenzen zurückzuführen, die sich hinter den Zähnen ausbilden [13], [15]. Es ist abhängig von der Umfangsgeschwindigkeit der Zähne, der Zahnhöhe und dem Verhältnis von Zahnhöhe zu Sägeblattdicke [10]. Zudem kann das Leerlaufgeräusch Anteile beinhalten, die auf Schwingungen des Stammblatts zurückzuführen sind. Diese entstehen durch eine Anregung des Stammblatts durch die Wirbelablösung hinter den Zähnen [16]. Neben den genannten Einflussfaktoren wird das Leerlaufgeräusch auch von der Geometrie und Bauart des Sägeblatts, dessen Spannungszustand, dem Flanschdurchmesser und dem Sägeblattüberstand beeinflusst[16]. 7 Sägeblatt • Abmessungen, Verzahnung, Spannungszustand, Bauart Maschine • Flanschdurchmesser, Sägeblattüberstand, Drehzahl Absaugung Sägeblatt • Schneidenabstumpfung Werkstück • Werkstoff Zerspantes Volumen • Schnittbreite, Schnitthöhe (Eingriffsgröße), Vorschubgeschwindigkeit Le e rl a u f- g e rä u sc h A rb e it sg e rä u sc h Abbildung 2.1.: Einflüsse auf das beim Sägen mit Tisch- und Formatkreissägen entstehende Geräusch. Quelle: in Anlehnung an [16]. Das Arbeitsgeräusch beim Sägen entsteht durch Transversalschwingungen des Stammblatts [13] und des Werkstücks [10]. Hierbei sind die Werkstückschwingungen werkstoffabhängig und abhängig von der Geometrie und der Einspannung des Werkstücks. Hohe Geräuschemissionen durch Schwingungen des Werkstücks entste- hen insbesondere beim Sägen von Aluminium- und Kunststoffplatten oder -profilen und resultieren aus der Anregung des periodischen Zahneingriffs [10]. Beim Sägen von Holz geht der Hauptteil des Arbeitsgeräuschs auf Schwingungen des Stammblatts zurück. Diese entstehen durch im Zerspanungsvorgang auftretende Wechselkräfte in axialer Richtung, die das dünnwandige Sägeblatt zu erzwungenen Schwingungen anregen [15]. Einflussgrößen bestehen hierbei in der Abstumpfung der Schneide, der Schnittbreite und -höhe sowie in der Vorschubgeschwindigkeit [16]. Erhöhte Querkräfte durch eine nicht parallele Führung des Werkstücks führen zu einer größeren Anregung des Sägeblatts. Abbildung 2.2 zeigt exemplarisch die ersten sechs Schwingungsmoden eines Kreissägeblatts. Diese sind durch Knotendurchmesser (κ) und Knotenkreise (η) charakterisiert [17], [18]. Der Energiegehalt der Schwingungen steigt mit der Anzahl der Knoten [17]. + + - + +- - + + + + - - - - - - - + + + - + κ = 0, η = 0 κ = 1, η = 0 κ = 2, η = 0 κ = 3, η = 0 κ = 4, η = 0 κ = 0, η = 1 Abbildung 2.2.: Exemplarische Schwingungsmoden eines Sägeblatts mit Knotendurchmessern (κ) und Knotenkreisen (η). Quelle: in Anlehnung an [19], [20]. Die Rotation des Sägeblatts beim Sägen erzeugt eine Zentrifugalkraft, die zu einer Versteifung des Sägeblatts führt. Die Folge ist eine Verschiebung der Eigenfrequenzen in Abhängigkeit der Drehzahl. Dies kann in 8 2. Stand der Wissenschaft und Technik Abbildung 2.3 für zwei Eigenformen mit (κ/η) = (1/0) und (3/0) (gestrichelte Linien) am Beispiel einer Kreisplatte nachvollzogen werden, welche das dynamische Verhalten von Kreissägeblättern näherungsweise beschreibt [18]. Die Verschiebung der Eigenfrequenzen f0 in Abhängigkeit der Drehzahl beziehungsweise Drehfrequenz fΩ kann nach Southwell [21] näherungsweise mit der folgenden Formel berechnet werden. f20,Ω = f20 +Ψf2Ω (2.1) Hierbei stellt Ψ nach Gleichung (2.2) einen von der Anzahl der Knotendurchmesser κ und der Poissonzahl ν abhängigen Faktor dar [18], wobei die Gleichung für eine Anzahl von Knotenkreisen η = 0 [18] gilt. Ψ = 1− ν 4 · κ2 + 3 + ν 4 · κ (2.2) 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 200 400 600 800 Drehzahl in U/min Fr eq ue nz in H z 1/0-Mode mitdrehender Beobachter 1/0-Mode ortsfester Beobachter 3/0-Mode mitdrehender Beobachter 3/0-Mode ortsfester Beobachter ñkrit,1 rückwärts vorwärts vorwärts κ = 1, η = 0 κ = 3, η = 0 a) b) Abbildung 2.3.: a) Campbell-Diagramm einer kreisrunden Platte. b) Eigenformen mit Knotendurchmessern und Knotenkreisen (κ/η) = (1/0) und (3/0). Quelle: in Anlehnung an [18], [22]. Bei Beobachtung des Sägeblatts aus der Sicht eines ruhenden Beobachters kommt es zu einer Überla- gerung der Eigenschwingung mit der Drehbewegung. Der ruhende Beobachter nimmt eine gegenüber der Drehrichtung vorwärts und eine rückwärts laufende Schwingung wahr. Diese sind ebenfalls in Abbildung 2.3 als nicht gestrichelte Linien eingezeichnet. Bei der kritischen Drehzahl (nkrit,1) erscheint die rückwärts laufende Schwingung auch für den ruhenden Beobachter als ortsfest. Bei dieser Drehzahl kommt es zu großen Schwingungsamplituden, die das Schnittbild verschlechtern und mit einer hohen Schallabstrahlung einhergehen [17]. Näherungsweise können mit der Anzahl der Knotendurchmesser (κ) die in Abbildung 2.3 eingezeichneten, durchgezogenen Kurven sowie durch Nullsetzen von f2 die kritische Drehzahl berechnet werden [18]: f1,2 = f0,Ω ± κfΩ (2.3) ñkrit,κ = 60 s min · f0,κ√ κ2 −Ψ (2.4) In Kapitel 3 der vorliegenden Arbeit werden die oben eingeführten Inhalte durch die Herleitung des Schwin- gungsverhaltens einer rotierenden Kreisplatte vertieft. Für die darüber hinausgehende Vertiefung der Grund- lagen zum schwingungstechnischen Verhalten von Kreissägeblättern wird auf die Werke von Birenbaum [11] 2.1. Kreissägeblätter 9 und Andersson [23] verwiesen. Weitere Grundlagen zum akustischen und strukturdynamischen Verhalten von Kreissägeblättern sind in vier Mitteilungen der Zeitschrift Holz als Roh- und Werkstoff dargestellt, die von Pahlitzsch und Rowinski in den Jahren 1966 und 1967 verfasst wurden [17], [19], [24], [25]. 2.1.2. Ansätze zur Schwingungs- und Geräuschminderung Im Folgenden werden die verschiedenen Ansätze zur Reduktion des Geräuschs beim Sägen und im Leerlauf dargestellt. Alle Maßnahmen zielen hierbei auf die Reduktion der Sägeblattschwingungen ab. Bisher ange- wandte Maßnahmen bestehen insbesondere in der Erhöhung der Dämpfung des Stammblatts, der Gestaltung der Zahngeometrie und der Veränderung des strukturdynamischen Verhaltens des Sägeblatts. Dämpfung In einer ersten Arbeit zur akustischen Optimierung von Kreissägeblättern untersucht Meins [26] 1962 verschie- dene Möglichkeiten der Schwingungsdämpfung. Die vorgeschlagenen Maßnahmen bestehen in einer axialen Führung des Sägeblatts, feststehenden Dämpfungsplatten und mitdrehenden Dämpfungsscheiben. Durch die axiale Führung des Sägeblatts werden dessen Schwingungen gedämpft, die feststehenden Dämpfungsplatten führen zu einer Luftschalldämpfung des bereits entstandenen Schalls und die mitdrehenden Dämpfungsschei- ben zwischen Spannflansch und Sägeblatt erzeugen eine direkte Bedämpfung der Strukturschwingungen des Sägeblatts (Abbildung 2.4a). In der Veröffentlichung Noise Abatement for Circular Saws des neuseeländischen Arbeitsministeriums von 1999 [10] wird für Dämpfungsscheiben ähnlich denen von Meins beschriebenen (siehe Abbildung 2.4b) eine Pegelreduktion von bis zu 15 dB(A) berichtet. Der Nachteil von Dämpfungsschei- ben besteht jedoch in der Abnahme der maximalen Schnitthöhe des Sägeblatts. Basierend auf den Ergebnissen von Meins [26] werden von Saljé 1977 [27] verschiedene Aufbauten von Sandwichsägeblättern beschrieben, bei denen das Stammblatt aus mehreren verklebten Lagen besteht, wobei die Klebeschicht dämpfend wirkt. Er untersucht konventionelle Verbundsägeblätter, deren Stammblatt aus zwei verklebten Stahlronden besteht, sowie ein als optimiert bezeichnetes Verbundsägeblatt, bei dem Stahlronden beidseitig auf ein konventionelles Sägeblatt aufgeklebt sind (Abbildung 2.4c). Im Vergleich zu ungedämpften Sägeblättern erreichen Meins [26] und Saljé [27] hierdurch Pegelreduktionen von 4 - 5 dB(A) im Leerlauf. In einer aktuelleren Arbeit untersucht Yilmaz [28] Sandwich-Verbundsägeblätter zum Sägen von Stein und stellt neben einer Geräuschreduktion von etwa 10 dB im Betrieb auch einen verminderten Werkzeugverschleiß von 9,8 % und eine Einsparung der zum Sägen aufgewendeten Energie von 15 % fest. Demgegenüber stellt (a) (b) (c) Abbildung 2.4.: Möglichkeiten zur Dämpfung von Sägeblättern. a) Einseitige und b) zweiseitige Dämpfungsscheiben. Quellen: [10], [26]. c) Verbundsägeblätter. Quelle: [27]. 10 2. Stand der Wissenschaft und Technik er Mehrkosten von durchschnittlich 25 %, die aus dem aufwändigeren Aufbau von Sandwich-Sägeblättern resultieren [28]. In einem Informationsblatt der Deutschen Gesetzlichen Unfallversicherung [9] werden die Mehrkosten für Sandwich-Trennscheiben mit 10 - 20 % angegeben. Der sandwichartige Aufbau von Sägeblättern ist bis heute im oberen Preissegment verbreitet und die Wirksamkeit zur Lärmminderung ist belegt [9], [27], [28]. Außen- und Innenschlitze Außenschlitze stellen eine weitere Möglichkeit dar, den Schall beim Sägen zu reduzieren. Ursprünglich wurden diese eingebracht, um Wärmespannungen im äußeren Bereich des Sägeblatts zu reduzieren, welche zu einem Absinken der kritischen Drehzahl führen können [29]. Mehreren Arbeiten kann jedoch auch ein positiver Effekt von Außenschlitzen auf das Schwingungsverhalten entnommen werden, der auf eine Reduktion der Schallabstrahlung schließen lässt [25], [29], [30]. Beljo-Lučić und Goglia [31] untersuchen Sägeblätter mit Außenschlitzen und bestätigen eine Reduktion des Schalldruckpegels. Zusätzlich werden Sägeblätter mit in den Kerbgrund der Außenschlitze eingelassenen Kupfereinsätzen untersucht, welche zu einer zusätzli- chen Dämpfung durch Reibung führen. Ähnlich weit verbreitet wie Außenschlitze sind meist meanderartig ausgeführte Schlitze im Inneren des Sägeblatts (Abbildung 2.5), sogenannte Innenschlitze (Abbildung 2.5). Aufgrund der Einbringung der Schlitze mit Laserschneidanlagen und ihrer geschwungen-mäanderartigen Form, werden sie oft auch als Laserornamente bezeichnet. Das Wirkprinzip von Innenschlitzen beruht auf dem Verschieben von Eigenfrequenzen, der Aufspaltung von Eigenmoden, der Relativbewegung zwischen den Segmenten und der Behinderung der Wellenausbreitung [18]. Svoren [32] bestätigt die Reduktion des Schalldruckpegels durch Innenschlitze bei verschiedenen Vorschubgeschwindigkeiten und Drehzahlen. Im Vergleich für eine Holzsorte ist die Ausführung aus Abbildung 2.5c nach Svoren am effektivsten. Weitere praxisnahe Untersuchungen des Instituts für Arbeitsschutz der Deutschen Gesetzlichen Unfallversicherung bestätigen den positiven Einfluss von Innenschlitzen auf das akustische Verhalten von Kreissägeblättern [8]. Beim Sägen von unterschiedlichen Holzsorten und Kunststoffprofilen konnte durch Innenschlitze eine Pegelreduktion von 2 - 5,5 dB(A) erreicht werden. (a) (b) (c) Abbildung 2.5.: Verschiedene Ausführungsformen von innengeschlitzten Sägeblättern: a) Schlitzung in Radialrichtung, b) in Tangentialrichtung und c) sigmoidförmige Schlitze. Schlitzung jeweils versehen mit Kupfereinsätzen. Quelle: [32]. Nachteilig bei der Anwendung von Innen- und Außenschlitzen ist die Schwächung des Stammblatts und die damit einhergehende Reduktion der statischen Steifigkeit des Sägeblatts. Dies kann bei hohen Vorschubge- schwindigkeiten zu einem Verlaufen des Sägeblatts und damit zu einem ungleichmäßigen Schnittbild führen. Obwohl die Platzierung und Ausgestaltung von Innenschlitzen in der industriellen Praxis zumeist auf empiri- schen Untersuchungen beruht, gibt es verschiedene Ansätze zur Optimierung des Effekts. So beschäftigen 2.1. Kreissägeblätter 11 sich Weiland und Birenbaum [18] sowie Birenbaum in seiner Dissertation [11] mit der rechnergestütz- ten Optimierung von Schlitzparametern. In [18] nutzen die Autoren die Schlitzgeometrie von Nishio et al. [33] um eine Sensitivitätsanalyse der Schlitzparameter durchzuführen. Als Bewertungskriterien werden die kritische Drehzahl, die Steifigkeit in Axialrichtung, die Spannungen im Kerbgrund und das dynamische Verhalten zugrunde gelegt. Um die Schallabstrahlung weiter zu reduzieren, können Innenschlitze mit viskoelas- tischen Dämpfungsmaterialien ausgefüllt oder Festkörperdämpfer in Form von Kupfereinsätzen verwendet werden. Gegenüber Sägeblättern mit ungefüllten Schlitzen kommt es hierdurch neben der erhöhten Dämpfung auch zu einer Versteifung des Sägeblatts und einer Verschiebung der Resonanzen zu höheren Frequenzen [11]. Spanraum Die Optimierung des Spanraums stellt einen weiteren Baustein zur Schallreduktion von Sägeblättern dar. Der vom Sägezahn abgenommene Span wird im Spanraum aufbewahrt, bis der Zahn das Werkstück verlassen hat und der Span abgesaugt werden kann. Sowohl der Lärm im Leerlauf als auch beim Sägen werden von der Ausgestaltung des Spanraums beeinflusst. Abbildung 2.6 zeigt Sägeblätter mit einem geräuschoptimierten Spanraum (a und b) und einem konventionellen Spanraum (c). Bei den Sägeblättern (a) und (b) werden im Verhältnis sehr kleine Späne abgenommen, wodurch ein klassischer Spanraum nicht nötig ist. Die Sägeblätter verfügen über eine axiale Dickenreduktion, sodass der Span seitlich am Sägeblatt abgeführt werden kann (vergleiche [34]). Der konventionell als Tasche ausgeführte Spanraum wird so zu einem axial angeordneten Spanraum, der weniger Turbulenzen erzeugt, woraus eine Lärmreduktion resultiert [7]. Sägeblätter mit reduziertem Spanraum werden im Hinblick auf Geräuschminderungen von Schelle et al. [7] anhand zweier Sägeblätter der Firmen AKE Knebel und Leuco untersucht. Zusätzlich weisen die beiden Sägeblätter eine geänderte Schneidengeometrie und eine verminderte Schnittbreite von etwa 2,5 mm gegenüber üblicherweise 3,2 mm auf. Auch die Stammblattdicke von 1,8 mm (AKE Knebel) und 2,0 mm (Leuco) ist geringer als üblich. Erzielt werden Pegelminderungen im Bereich von 7 bis 13 dB gegenüber einem Standardsägeblatt. Kreissägeblätter mit optimiertem Spanraum sind nur mit Diamantzähnen verfügbar und die Herstellung des axialen Spanraums ist aufwändig, da Material in Dickenrichtung abgenommen werden muss [14]. Abbildung 2.6.: a,b) Sägeblätter mit optimiertem und c) konventionellem Spanraum. Quelle: [7]. Werkzeugführung Um Instabilitäten zu reduzieren, werden bei Sägeblättern mit großem Durchmesser üblicherweise Einrichtun- gen zur Führung des Sägeblatts eingesetzt. Diese stabilisieren das Sägeblatt durch eine zusätzliche axiale Lagerung in Form von Gleit- oder Wälzlagern (Abbildung 2.7a). Goellner beschreibt eine Sägeblattführung, die zusätzlich zu einer Dämpfung führt [35]. Seine Entwicklung beabsichtigt die Reduktion der Vibrationen eines Carbid-Sägeblattes, um Beschädigungen des Sägeblatts zu vermeiden und die Aufweitung des Schnitts 12 2. Stand der Wissenschaft und Technik zu minimieren (Abbildung 2.7b). Die Auswirkung von Werkzeugführungen zur Stabilisierung des Sägeblatts auf die akustische Abstrahlung ist in der Literatur nicht untersucht. Eine positive Auswirkung ist jedoch naheliegend. Unterstützend für diese Annahme ist, dass auch die bereits oben beschriebene, von Meins [26] explizit zur Geräuschreduktion durch Dämpfung entwickelte Einrichtung als Werkzeugführung aufgefasst werden kann. Diese besteht aus einem federbelasteten Kunststoffstab, der auf das Sägeblatt drückt (Abbildung 2.7c). Nachteilig bei der Umsetzung von Werkzeugführungen ist der Wärmeeintrag, der durch die Reibung der zusätzlichen Lagerung entsteht und sich negativ auf den Schneidvorgang auswirken kann. (a) (b) (c) Abbildung 2.7.: a,b) Führungseinrichtungen mit Wälzlagern. c) Führung mit federbelastetem Reibelement. Quellen: a) AMSAW [36] Lizenz: CC BY-SA 3.0. Quelle: b) [35]. Quelle: c) [26]. Eigenspannungen Ein relevanter Fertigungsschritt bei der Herstellung eines Kreissägeblatts stellt das Spannungswalzen dar. Hierbei werden plastische Verformungen mit zwei Walzen in das Sägeblatt eingebracht (siehe Abbildung 2.8a). Hierdurch entstehen Eigenspannungen, die zu einer Verbesserung des statischen und dynamischen Verhaltens des Stammblatts führen können [11]. Barz [37] entwickelte 1957 eine Maschine zur reproduzierbaren Einbringung von Eigenspannungen in Sägeblätter. Aus einer systematischen Untersuchung des Einflusses des Spannungswalzens auf das Verhalten von Kreissägeblättern folgerten Pahlitzsch und Rowinski 1966 [24], dass Pfeifgeräusche im Leerlauf durch Spannungswalzen reduziert werden können. Im Hinblick auf die Auswirkung von Eigenspannungen auf das Schwingungsverhalten von Kreissägeblättern konnte später gezeigt werden, dass sich durch das Hinzufügen von Eigenspannungen die Eigenfrequenzen der (a) (b) (c) Abbildung 2.8.: a) Maschine zum Spannungswalzen. b) Veränderung der Eigenfrequenzen eines Sägeblatts in Abhängigkeit der Walzkraft. c) Veränderung der Eigenfrequenzen und der Lateralsteifigkeit eines Sägeblatts in Abhängigkeit der Walzkraft für die Moden 2 bis 6 (s: symmetrische Mode, a: asymmetrische Mode). Quellen: a,b) [18], Quelle: c) [38]. 2.1. Kreissägeblätter 13 ersten beiden Moden verringern (Abbildung 2.8b). Gleichzeitig verschieben sich mit zunehmender Walzkraft höhere Moden zu größeren Frequenzen. Da für die kritische Drehzahl eines Kreissägeblattes Moden mit Knotendurchmessern größer drei relevant sind, lässt sich somit die kritische Drehzahl durch Spannungswalzen erhöhen [38]. Gleichzeitig zeigte sich, dass die laterale Steifigkeit durch Vorspannen bis zu einer kritischen Walzkraft vergrößert wird (Abbildung 2.8c, Marker k). Steigt die laterale Steifigkeit, verringern sich bei gleicher Anregungskraft die Schwingwege. Folglich leitet sich hieraus ein Lärmreduktionspotenzial ab. Wird die Walzkraft über einen kritischenWert hinaus erhöht, so kommt es zu einer Schwächung der Lateralsteifigkeit bis hin zur Plattenbeulung, auch wenn hierdurch die kritische Drehzahl weiter gesteigert werden könnte [38]. Detailliert werden die Auswirkungen verschiedener Walzparameter auf das Verhalten der Sägeblätter und Ansätze zur rechnergestützten Optimierung von Walzparametern von Stakhiev [39] und Birenbaum [11] beschrieben. Aktive Ansätze zur Schwingungsminderung In einer frühen Arbeit entwickelte Ellis 1976 [40] ein aktives Regelungssystem, um die Schwingungen eines Sägeblatts zu begrenzen. Zum Einsatz kamen zwei Elektromagnete neben dem Sägeblatt sowie ein Sensor zur Messung der Sägeblattvibrationen (siehe Abbildung 2.9a). Ähnliche Systeme werden auch in aktuellen wissenschaftlichen Arbeiten untersucht. Gospodarič et al. [41] beschreiben eine aktive Dämpfung, die ebenfalls auf zwei Elektromagneten basiert (Abbildung 2.9b). Hierdurch konnte die Dämpfung des Sägeblatts um einen Faktor von rund 2 erhöht werden. Neben diesen Ansätzen, bei welchen die Aktorik ortsfest angebracht ist, beschreiben Pohl et al. [42] einen Aufbau, bei dem ein Shuntdamping mit auf dem Stammblatt applizierten piezoelektrischen Wandlern erfolgt (Abbildung 2.9c). Für das nicht rotierende Sägeblatt konnte so im Frequenzbereich bis 3 kHz eine Schwingungsreduktion in Höhe von 20 dB nachgewiesen werden. Im Leerlauf konnte eine Schallpegelreduktion von 8 dB, bezogen auf zwei Resonanzen bei 1,3 und 3,5 kHz, erreicht werden. In beiden Fällen wurde das Sägeblatt mittels eines auf der Rückseite des Sägeblatts befestigten Piezoaktors angeregt. Beim Sägen wurde eine Schallpegelreduktion von 2 dB bei einer Mittenfrequenz von 630 Hz erreicht. Insbesondere, da eine wirtschaftlich sinnvolle Umsetzung der vorgenannten Systeme aktuell nicht möglich erscheint, besitzen aktive Ansätze zur Schwingungsreduktion im Vergleich zu anderen akustischen Optimierungsansätzen aktuell vorwiegend akademischen Charakter. (a) (b) (c) Abbildung 2.9.: a,b) Systeme zur aktiven Schwingungsreduktion mit Elektromagneten. c) Sägeblatt mit Shuntdamping basierend auf piezoelektrischen Wandlern. Quellen: a) [40], b) [41], c) [42]. Maßnahmen zur Reduktion von Sägeblattschwingungen und dem abgestrahlten Schall werden seit vielen Jahren erforscht. Hierbei wurde bereits eine Vielzahl verschiedener Mechanismen entwickelt und untersucht. Arbeiten zur Reduktion von Sägeblattschwingungen basierend auf VAMM sind dem Autor vor dem Hintergrund der recherchierten Literatur nicht bekannt. Folglich leitet sich hieraus eine Forschungslücke ab. 14 2. Stand der Wissenschaft und Technik 2.2. Vibroakustische Metamaterialien Im folgenden Kapitel werden die Grundlagen des Themenkomplexes vibroakustischer Metamaterialien darge- stellt. Zunächst erfolgt eine Einführung in den Forschungsbereich der Metamaterialien und eine Verortung vibroakustischer Metamaterialien innerhalb dieses Themenkomplexes. Darauf aufbauend wird die Funktions- weise und Berechnung von VAMM im Bereich der Strukturdynamik beschrieben. Es erfolgt eine Darstellung der Anwendungen von VAMM mit dem Fokus auf der Schwingungsreduktion von plattenartigen Strukturen und rotierenden Systemen. 2.2.1. Metamaterialien und Einordnung Metamaterialien sind in der Literatur nicht konsistent definiert. Beschrieben werden sie jedoch oft als nicht natürlich vorkommende, künstlich hergestellte, bewusst gestaltete, zumeist aus periodisch angeordneten Ein- heitszellen aufgebaute Materialien, denen ungewöhnliche physikalische Eigenschaften innewohnen [43], [44]. Das Präfix Meta, das aus dem Griechischen stammt, meint in diesem Zusammenhang die über die natürlicher Materialien hinausgehenden unnatürlichen Eigenschaften von Metamaterialien. Gegenüber Schäumen oder anderen porösen Materialien, deren innere Struktur zufällig ist und keiner Regelmäßigkeit folgt, grenzen sich Metamaterialien durch ihren bewusst gestalteten inneren Aufbau ab [44]. Im Unterschied zu Kristallen, die einen regelmäßigen und periodischen inneren Aufbau aus Atomen besitzen, bestehen Metamaterialien aus Einheitszellen, welche wiederum aus Millionen von Atomen bestehen [44]. Eine Einheitszelle bildet hierbei die kleinste, unteilbare Einheit eines Metamaterials. Ferner werden Metamaterialien oft als Verbundwerkstoffe oder Komposite beschrieben [45], [46], die aus unterschiedlichen Substraten und eingebetteten Materialien bestehen [47], [48]. Der Aufbau eines Metamaterials, beginnend vom Atom über die Einheitszelle bis hin zum Metamaterial mit effektiven Materialparametern ist in Abbildung 2.10 für ein Metamaterial mit auxetischem Verhalten anschaulich dargestellt. Beginnt man die Betrachtung von kristallinen Materialien auf der atomaren Ebene, so bestehen diese aus Einheitszellen von Atomen (Abbildung 2.10a,b) [44]. Das Verhalten dieser konventionellen Materialien wird üblicherweise nicht ausgehend von deren inneren Aufbau beschrieben, sondern anhand von effektiven Materialparametern des Verbunds dieser Einheitszellen auf einer makroskopischen Skala. Übliche Kennwerte in diesem Zusammenhang sind zum Beispiel der Elastizitätsmodul oder die Dichte eines Materials (Abbildung 2.10c) [44]. Diese natürlichen Materialien mit ihren effektiven Parametern dienen als Ausgangsmaterial für bewusst gestaltete Einheitszellen eines Metamaterials (Abbildung 2.10d) [44]. Die Eigenschaften dieser Einheitszellen sind auf deren innere Struktur und Aufbau zurückzuführen und weniger auf die Materialien aus denen sie bestehen [45], [49]. Aus periodischen und regelmäßigen Anordnungen dieser Einheitszellen werden dann Metamaterialien aufgebaut (Abbildung 2.10e), die wiederum auf einer übergeordneten Skala hinsichtlich ihrer effektiven Eigenschaften betrachtet werden (Abbildung 2.10f) [44]. Diese effektiven Eigenschaften können im Falle von Metamaterialien negative Eigenschaften von Elastizitätsmodul, Dichte, Kompressionsmo- dul, elektrischer Permeabilität, Permittivität oder optischen Brechungsindizes sein. Ali et al. [45] wählen bezogen auf elektromagnetische Metamaterialien eine ähnliche Art der Beschreibung. Sie führen aus, dass Metamaterialien oft aus Resonatoren (dies ist eine spezielle Ausprägungsform einer Einheitszelle) auf einer Mikro- oder Nano-Skala aufgebaut sind, die die elektromagnetische Interaktion von Atomen und Molekülen mit Wellen und Schwingungen nachahmen sollen [45]. Durch die gezielte Nachahmung und Modifikation lassen sich dann negative effektive Materialparameter wie negative Permittivitäten und Permeabilitäten gezielt einstellen. Neben den vorgenannten physikalischen Domänen der Mechanik und des Elektromagnetismus werden Metamaterialien in den unterschiedlichsten Domänen erforscht. So existieren beispielsweise Metamaterialien mit ungewöhnlichem elektrischen, thermischen, magnetischen, akustischen oder mechanischen Verhalten 2.2. Vibroakustische Metamaterialien 15 Abbildung 2.10.: Betrachtung eines Metamaterials von der atomaren Ebene (a,b) des der Einheitszellen (d) zugrundeliegenden natürlichen Materials mit effektiven Materialparametern (c) über periodisch aufgebaute Einheitszellenverbünde (e) bis hin zum Metamaterial (f). Quelle: [44]. [46]. Einen tiefer gehenden Einblick in die unterschiedlichen physikalischen Domänen, Anwendungen, Funk- tionsmechanismen und Möglichkeiten zur Herstellung von Metamaterialien vermittelt die große Zahl von Übersichtsarbeiten, die in den letzten Jahren zum Thema Metamaterial veröffentlicht wurden [43]–[47], [49]–[54]. Da im Rahmen der vorliegenden Arbeit die strukturdynamischen Eigenschaften von Systemen mittels der Verwendung von Metamaterialien beeinflusst werden sollen, wird im Folgenden auf die Klasse der mechanischen Metamaterialien tiefer eingegangen. Mechanische Metamaterialien auxetisch Light-weight negative Parameter Pentamode Origami lokal resonant negative Steifigkeit negative Masse doppelt negativ vibroakustische Metamaterialien Abbildung 2.11.: Einordnung und Gliederung der mechanischen Metamaterialien. 16 2. Stand der Wissenschaft und Technik Mechanische Metamaterialien lassen sich nach [54] in auxetische, light-weight-, Pentamode- und Origami- Metamaterialien sowie in Metamaterialien mit negativen Parametern einordnen (Abbildung 2.11). Sie zeichnen sich durch ihr spezielles, unnatürliches mechanisches Verhalten aus. Auxetische Metamaterialien verfügen zum Beispiel über eine negative Querkontraktionszahl, sodass sie sich unter einer Druckbelastung in Querrichtung zusammenziehen und sich unter Zug ausdehnen. Erreicht wird diese Funktionalität durch eine speziell gestaltete Einheitszelle, wie sie beispielhaft in Abbildung 2.10d dargestellt ist. Light-weight-Metamaterialien sind aus hohlen Mikrotragwerkstrukturen aufgebaut und erreichen Dichten von 0,9 kg/m3 [55] (Abbildung 2.12c). Metamaterialien mit negativen Parametern verfügen in auslegbaren Frequenzbereichen über negative Eigenschaften hinsichtlich ihrer Masse und/oder ihrer Steifigkeit, was zu einer verminderten Ausbreitung von Wellen innerhalb dieser Frequenzbereiche führt. Der Frequenzbereich in dem es zu diesem Verhalten kommt, wird Stoppband genannt. Die Funktionsweise basiert auf regelmäßigen Arrays aus verteilten mechanischen Resonatoren. Ein erstes in diesem Kontext aufgebautes Metamaterial ist in Abbildung 2.12e zu sehen. Dieses besteht aus einem Array aus mit Gummi umhüllten Stahlkugeln in einer Kunstharzmatrix [56]. Werden beide Effekte, die der negativen Masse und der negativen Steifigkeit kombiniert, so spricht man von einem doppelt negativen Metamaterial. Eine weitere Klasse mechanischer Metamaterialien orientiert sich an dem Verhalten von Fluiden. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie einen verschwindend kleinen Schubmodul besitzen, aber zumeist inkompressibel sind. Dieses Verhalten ahmen Pentamode-Metamaterialien nach [57]. Der Präfix Penta, zu Deutsch Fünf, meint in diesem Kontext das Vorhandensein von lediglich einem, von Null abweichenden und fünf verschwindenden Eigenwerten des Elastizitätstensors [57]. Eine exemplarische, bildliche Darstellung ist Abbildung 2.12a zu entnehmen. Der Aufbau von Origami-Metamaterialien ist inspiriert von der gleichnamigen Kunst des Papierfaltens (Origami). Solche Metamaterialien (Abbildung 2.12b) besitzen eine Abhängigkeit des Elastizitätsmoduls, der Dichte und der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit von ihrer Verformung beziehungsweise Kompression. Dies macht Origami-Metamaterialien zu einer Art einstellbarem Material. Werden bistabile Zustände integriert, so kann ein Origami-Metamaterial programmiert werden, das heißt, es können Zustände eingenommen werden, ohne dass diese durch externe Stimuli gehalten werden müssen [54]. (a) (b) (c) (d) (e) Abbildung 2.12.: a) Pentamode-, b) Origami-, c) light-weight- und d) auxetisches Metamaterial sowie e) Metamaterial mit negativen Parametern. Quellen: a) [58], b) [59], c) [55], d) [60], e) [56]. 2.2. Vibroakustische Metamaterialien 17 Im Rahmen der vorliegenden Arbeit sind insbesondere solche Metamaterialien von Interesse, welche die Ausbreitung von Wellen beeinflussen, da hiermit Schwingungen und in Folge der abgestrahlte Schall von Strukturen reduziert werden können. Dies sind mechanische Metamaterialien mit negativen Parametern basierend auf lokalen Resonanzen. Im internationalen wissenschaftlichen Sprachgebrauch werden diese Metamaterialien auch als akustische Metamaterialien (englisch: acoustic metamaterial) bezeichnet. Gemeint sind hiermit Metamaterialien, die Wellen in Fluiden (zum Beispiel Schall in Luft) oder in Festkörpern (Kör- perschall) beeinflussen. Eine weitere gängige Bezeichnung, die hier eine Abgrenzung zwischen Luftschall (allgemeiner: Wellen in Fluiden) und Körperschall versucht, besteht in der Begrifflichkeit der vibroakustischen Metamaterialien. Dies sind mechanische Metamaterialien mit lokalen Resonanzen, die den Körperschall, also das strukturdynamische beziehungsweise mechanische Verhalten beeinflussen. Daher wird im Folgenden die Begrifflichkeit vibroakustisches Metamaterial verwendet, wenn es sich um ein Metamaterial zur Beeinflussung des strukturdynamischen Verhaltens von Festkörpern handelt. In Verbindung mit akustischen und vibroakustischen Metamaterialien werden oft auch Phononic Crystals genannt. Hierbei ist die Wissenschaft uneins, ob diese unter die Definition von Metamaterialien fallen [47] oder eine eigene Klasse [61] abseits der Metamaterialien bilden. Valipour et al. [46] bezeichnen Phononic Crystals als eine ältere Klasse von Metamaterialien. Sie sind das strukturmechanische Analogon zu Photonic Crystals, welche durch ihren gitterartigen Aufbau die Ausbreitung von Photonen durch Interferenzen beeinflussen und hiermit Stoppbänder erzeugen können. Die Funktionsweise von Phononic und Photonic Crystals basiert auf der Bragg-Streuung [61]. Der Stoppbandfrequenzbereich ist folglich gekoppelt an die Abstände zwischen periodisch angeordneten Inhomogenitäten, die das Gitter bilden. Hierin liegt auch der wesentliche Unterschied zu lokalresonanten vibroakustischen Metamaterialien, bei denen die Abstände zwischen den Einheitszellen kleiner als die halbe Wellenlänge sein können beziehungsweise müssen. Dies hat den praktischen Vorteil, dass mit lokalresonanten VAMM auch tieffrequente Schwingungen beeinflusst werden können, die Wellenlängen aufweisen, die beispielsweise größer sind als die Abmessungen des Bauteils, dessen schwingungstechnische Eigenschaften beeinflusst werden sollen. Als klassisches Beispiel eines Phononic Crystals für Schwingungen in Luft wird eine Skulptur von Eusebio Sempere angeführt, welche aus einer periodischen Anordnung von Stahlrohren besteht (Abbildung 2.13). Martínez-Sala et al. untersuchten die Struktur und konnten ein Bragg-Stoppband feststellen [62]. Übertragen auf die Strukturdynamik, kann ein Phononic Crystal durch periodische Inhomogenitäten realisiert werden. Die Inhomogenitäten stellen Impedanzsprünge dar, die zu einer Reflexion von Wellen führen und destruktive Interferenzen entstehen lassen. Abbildung 2.13.: Skulptur aus Stahlrohren von EUSEBIO SEMPERE. Quelle: [62]. 2.2.2. Funktionsweise Ein beispielhaftes, zweidimensional ausgedehntes VAMM mit lokalen Resonanzen, das eine negative effektive Masse hervorruft, ist in Abbildung 2.14 dargestellt. Die aus Abbildung 2.12e bekannten Resonatoren sind 18 2. Stand der Wissenschaft und Technik zur besseren Veranschaulichung als Feder-Masse-Systeme dargestellt, die auf einer plattenartigen Struktur angebracht sind, deren Schwingungen reduziert werden sollen. VAMM mit lokalen Resonanzen zeichnen sich durch eine negative effektive Masse und/oder Steifigkeit in auslegbaren Frequenzbereichen aus. Innerhalb dieser Frequenzbereiche können sich in dem Metamaterial keine freien Wellen ausbilden, was zu einer hohen Reduktion von Vibrationen und in der Folge des abgestrahlten Schalls einer Struktur führt. Da die Funktionsweise eines VAMM auf der Gestaltung der sich periodisch wiederholenden Einheitszellen beruht (siehe Abbildung 2.14b), genügt die Betrachtung einer Einheitszelle um die Entstehung von Stoppbändern zu erläutern. Die in Abbildung 2.15 dargestellten Feder-Masse-Ersatzmodelle dienen im Folgenden zur Erläuterung der beiden Effekte der negativen Masse und negativen Steifigkeit. Um die Vorstellung von VAMM nicht auf den Einsatz an plattenartigen Strukturen zu beschränken, wird an dieser Stelle eine zu Abbildung 2.14 abweichende, aber allgemeinere Darstellung in Anlehnung an [63] gewählt. Struktur Resonator Einheitszelle Massenelement Steifigkeitselement Dämpfungs- element a) b) Abbildung 2.14.: a) Vibroakustisches Metamaterial bestehend aus der zu beruhigenden Struktur und einem Resonator-Array. b) Einheitszelle. Quelle: in Anlehnung an [22], [64]–[69]. Negative Masse Die Funktionsweise des Prinzips der negativen Masse kann anhand des mechanischen Ersatzschaubildes aus Abbildung 2.15a nachvollzogen werden. Fasst man ein Material als eine Aneinanderreihung diskreter Einheitszellen bestehend aus einer Trägerstruktur mit Masse m1 und einem daran gekoppelten Resonator mit Resonatormasse m2 und Federsteifigkeit c auf, so lässt sich die effektive Masse der Einheitszelle mit der Amplitude der harmonischen Kraftanregung F̂ und der Beschleunigungsamplitude ẍ̂ wie folgt ausdrücken. meff = F̂ ẍ̂1 (2.5) Mit der Resonanzfrequenz des Resonators ω0 = √︁ 2c/m2 sowie nach Aufstellen der Differentialgleichungen für die beiden Freiheitsgrade x1 und x2: m1ẍ1 + 2c(x1 − x2) = F, (2.6) m2ẍ2 + 2c(x2 − x1) = 0, (2.7) ergibt sich die effektive Masse in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz Ω zu: meff(Ω) = m1 + m2 1− Ω2/ω0 2 . (2.8) Diese setzt sich zusammen aus der Massem1 und einem frequenzabhängigen Term (1−Ω2/ω0 2) im Nenner des Bruchs mit Vorfaktor m2 [70]. Die effektive Masse wird negativ, wenn der zweite Term in Gleichung (2.8) 2.2. Vibroakustische Metamaterialien 19 betragsmäßig größer als m1 und zugleich negativ wird. Dies ist der Fall für ein Frequenzverhältnis von der Anregungsfrequenz Ω zur Eigenfrequenz des Resonators ω0 von Ω/ω0 ∈ [1; √︁ m2/m1 + 1]. Abbildung 2.16a zeigt den Verlauf der effektiven Masse über dem Frequenzverhältnis Ω/ω0. Hierbei wurde ein Verhältnis der Massen von m1 = 2m2 angesetzt. (a) (b) x2 x1 m1 m2 F c c c1 c1c2 F F x1 x2 x3 α m Abbildung 2.15.: Mechanisches Ersatzmodell der Einheitszelle eines VAMM mit negativer Masse (a) und negativer Steifigkeit (b). Quelle: in Anlehnung an [63]. Negative Steifigkeit Die frequenzabhängige Steifigkeit wird anhand von Abbildung 2.15b hergeleitet. Drei masselose Steifigkeiten c1 und c2 sind in Reihe geschaltet wobei eine Masse m über zwei masselose, steife Stäbe mit den Steifigkeiten verbunden ist. Die Stäbe sind in einemWinkel α angebracht. Die Gelenke werden als reibungsfrei angenommen. Die effektive Steifigkeit ceff ergibt sich aus der Kraftamplitude F̂ und der Wegamplitude x̂1 wie folgt [63]: ceff = F̂ 2x̂1 . (2.9) Zur Berechnung der effektiven Steifigkeit werden die Bewegungsgleichung sowie die kinematischen Bedin- gungen des mechanischen Systems wie folgt aufgestellt: mẍ3 = 2(F − 2c2x2) tanα, F = c1(x1 − x2). (2.10) Für kleine Auslenkungen kann x2 = x3 tanα angenommen werden, womit das Gleichungssystem aufgelöst werden kann. Für die effektive Steifigkeit ergibt sich in Abhängigkeit der Anregungsfrequenz Ω in Folge: ceff(Ω) = 1 2 (mΩ2 − 4c2tan2α)c1 mΩ2 − (4c2 + 2c1)tan2α . (2.11) Auch hier lässt sich wieder ablesen für welchen Frequenzbereich der effektive Parameter ceff negative Werte annimmt. Dies ist für Ω/ω0 ∈ [ √︁ 2c2/(c1 + 2c2); 1] der Fall. Der Verlauf der effektiven Steifigkeit bezogen auf die statische Steifigkeit ist in Abbildung 2.16b für den Fall c1 = 2c2 dargestellt. Die Anregungsfrequenz ist hierbei auf die Resonanzfrequenz ω0 des Systems bezogen. Diese ergibt sich zu: ω0 = √︁ (4c2 + 2c1)tan2/m. (2.12) Anschaulich kann das System derart interpretiert werden, dass in der Resonanz des durch die Masse m gebildeten Resonators dieser eine Kraft entgegen der äußeren Kraft F ausübt [63]. 20 2. Stand der Wissenschaft und Technik 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Ω/ω0 m ef f/ m st at 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Ω/ω0 c e ff / c s ta t a) b) Abbildung 2.16.: Effektive, frequenzabhängige Masse (a) und Steifigkeit (b) bezogen auf die jeweiligen statischen Werte (mstat, cstat), aufgetragen über dem Frequenzverhältnis von Anregungsfrequenz zu Eigenfrequenz des Resonators. In Abhängigkeit des genutzten Effekts stellt sich der Bereich negativer Parameter vor (negative Steifigkeit) oder hinter (negative Masse) der Eigenfrequenz des Resonators ein. Anschaulich können beide Effekte derart interpretiert werden, dass eine anregende Kraft eine zu dieser entgegengesetzten Beschleunigung (negative Masse) oder Auslenkung (negative Steifigkeit) hervorruft. Entsprechend werden mechanischeWellen, die in ein solches System eingeleitet werden, in dem Frequenzbereich negativer Parameter in ihrer Ausbreitung gehindert. Damit es jedoch zu einer Hinderung kommt, ist es nach Claeys [61] erforderlich, dass die Kräfte zwischen den Resonatoren und der zu beruhigenden Struktur ungleich null sind. Hieraus folgt, dass die Resonatoren durch die Welle erregbar sein müssen, deren Ausbreitung sie verhindern sollen. Dies ist der Fall, wenn die Resonatoren in einem Abstand zueinander angeordnet sind, der kleiner ist als die halbe Wellenlänge (λ/2). In diesem Fall ist nämlich gewährleistet, dass immer eine gewisse Anzahl von Resonatoren existiert, welche sich nicht auf Schwingungsknoten befinden. Abbildung 2.17 zeigt anschaulich diesen Sachverhalt am Beispiel eines Balkens (eindimensional periodisches VAMM) und verdeutlicht, dass erst ab einem Resonatorabstand L kleiner der halben Wellenlänge eine ausgeprägte Interaktion der Resonatoren mit der Struktur stattfindet. L = λ L = λ/2 L = λ/4 L L L Abbildung 2.17.: Schwingender Balken mit Resonatoren in den Abständen L = λ, λ/2 und λ/4. Quelle: in Anlehnung an [70]. 2.2. Vibroakustische Metamaterialien 21 2.2.3. Einheitszellenberechnung Die Berechnung des strukturdynamischen Verhaltens eines VAMM kann für einen unendlich ausgedehnten Verbund aus Einheitszellen unter Anwendung des Bloch-Theorems [61], [71] anhand einer einzelnen Ein- heitszelle erfolgen. Die nachfolgenden Berechnungen, die sich dieses Prinzip zu Nutze machen, sowie die Erläuterungen hierzu, orientieren sich an den Arbeiten von Claeys [61] und Droste [70] und können dort detailliert nachgelesen werden. x y U U Q ξ⃗Q d⃗1 d⃗2 ξ⃗U n1d⃗1 + n2d⃗2 a) b) Abbildung 2.18.: Periodische Struktur (a) bestehend aus Einheitszellen (b). Quelle: in Anlehnung an [61]. Betrachtet man eine zweidimensional periodische Struktur entsprechend Abbildung 2.18, so kann jeder Punkt Q, der sich auf einer Einheitszelle der Struktur befindet, durch den korrespondierenden Punkt U einer anderen Einheitszelle der selben Struktur abgebildet werden [61]. Die Transformation von U nach Q kann über den Vektor ξ⃗Q ausgedrückt werden, welcher sich aus ξ⃗U und den Richtungsvektoren d⃗1 und d⃗2 multipliziert mit der Anzahl n1 und n2 der sich in den jeweiligen Richtungen zwischen U und Q liegenden Einheitszellen ergibt [61]: ξ⃗Q = ξ⃗U + n1d⃗1 + n2d⃗2 (2.13) Die Richtungsvektoren d⃗1 und d⃗2 entsprechen hierbei betragsmäßig der Länge der Einheitszelle in der jeweiligen Richtung. Das Bloch-Theorem [71] besagt, dass eine Strukturantwort eines periodischen Systems in Punkt Q durch die eines korrespondierenden Punktes U über eine Amplitudenverstärkung und eine Phasenverschiebung ausgedrückt werden kann, die eine Welle auf dem Weg von Punkt U zu Punkt Q erfährt. Bezeichnet man die von der Kreisfrequenz ω abhängige Strukturantwort als u, so lässt sich dieses Verhältnis wie folgt aufschreiben. k⃗ bezeichnet hierbei den Wellenvektor. u(ξ⃗Q, ω) = u(ξ⃗U , ω)eik⃗·(n1d⃗1+n2d⃗2) (2.14) Anschaulicher lässt sich diese Gleichung mit Hilfe des komplexen Ausbreitungsvektors µ⃗ = µ⃗Re + iµ⃗Im darstellen, dessen Komponenten mit µi = ik⃗ · d⃗i die Ausbreitung in die jeweilige Raumrichtung beschreiben: u(ξ⃗Q, ω) = u(ξ⃗U , ω)eµ1n1+µ2n2 = u(ξ⃗U , ω)eµ⃗·n⃗QU (2.15) Der Vektor n⃗QU beinhaltet hierbei die Anzahlen der Einheitszellen zwischen PunktQ und U in den jeweiligen Raumrichtungen. Anhand von Gleichung (2.15) kann nachvollzogen werden, dass bei der Ausbreitung 22 2. Stand der Wissenschaft und Technik einer Welle entlang der Richtungen d⃗1 und d⃗2 diese eine Amplitudenverstärkung von eµ⃗Re·n⃗QU und eine Phasenverschiebung von µ⃗Im · n⃗QU erfährt. Unter Zuhilfenahme von Gleichung (2.15) lässt sich nun die Einheitszelle mit der Finiten-Elemente-Methode (FEM) berechnen. Als Beispiel soll das in Abbildung 2.19 dargestellte System einer Einheitszelle eines zweidimensional ausgedehnten VAMM betrachtet werden. Mit den Freiheitsgraden q⃗ der Knoten an den Rändern lässt sich das Bewegungsgleichungssystem für harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω wie folgt aufstellen (K+ iωB− ω2M)q⃗ = F⃗ . (2.16) Das Bloch-Theorem besagt, dass die Punkte an sich gegenüberliegenden Rändern der Einheitszelle über die Amplitudenverstärkung und Phasenverschiebung von eµRe+iµIm miteinander gekoppelt sind. Entsprechend ergibt sich nach Langley [72] für die Freiheitsgrade (siehe Abbildung 2.19): q⃗R = q⃗Leµx , q⃗T = q⃗Beµy q⃗RB = q⃗LBeµx , q⃗LT = q⃗LBeµy , q⃗RT = q⃗LBeµx+µy . (2.17) Aufgrund der Kopplung entsprechend Gleichung (2.17) reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade. Dies lässt sich nach Langley mit einer Reduktionsmatrix R wie folgt ausdrücken [72]: q⃗ = Rq⃗(red). (2.18) Mit den reduzierten Freiheitsgraden lässt sich die Bewegungsgleichung (2.16) wie folgt umschreiben. Hierbei bezeichnet ∗ die komplexe Konjugation und T die Transposition der Matrix R. R∗T (K+ iωB− ω2M)Rq⃗(red) = R∗T F⃗ . (2.19) Zur Bestimmung der homogenen Lösung des Differentialgleichungssystems, wird die rechte Seite von Gleichung (2.19) Null gesetzt und durch Umschreiben der Steifigkeits-, Dämpfungs- und Massenmatrizen mit K(red) = R∗TKR, B(red) = R∗TBR und M(red) = R∗TMR (2.20) das folgende Eigenwertproblem mit den reduzierten Freiheitsgraden betrachtet: (K(red) + iωB(red) − ω2M(red))q⃗(red) = 0. (2.21) Gelöst werden kann dieses Gleichungssystem mit der inversen oder direkten Methode [61]. Bei der inversen Methode wird Dämpfungsfreiheit angenommen, sodass mit der Wellenausbreitung lediglich eine Phasen- verschiebung einhergeht. Die Dämpfungsmatrix B und der Realteil µRe des komplexen Ausbreitungsvektors können folglich zu Null gesetzt werden. Über eine Variation von µIm können dann die korrespondierenden Frequenzen ω berechnet werden. Trägt man die berechneten Frequenzen über der Phasenverschiebung µIm auf, so erhält man die Dispersionsrelation in Form einer Dispersionskurve, welche Aufschluss über die Wellen- ausbreitung liefert. Bereiche innerhalb der Dispersionskurve für welche keine Frequenzen existieren, können als Stoppbandbereich interpretiert werden. Ist eine Berücksichtigung von Dämpfung erforderlich, ist die direkte Lösungsmethode anzuwenden. Hierbei werden feste Werte für die Frequenz ω vorgegeben und der komplexe Ausbreitungsvektor µ⃗ berechnet. Dies ist jedoch nur für jeweils eine diskrete Ausbreitungsrichtung möglich. Die detaillierte Vorgehensweise bei der Berechnung nach beiden Methoden kann in [70] nachvollzogen werden. 2.2. Vibroakustische Metamaterialien 23 q⃗L q⃗R q⃗T q⃗B q⃗LT q⃗LB q⃗RT q⃗RB x y z (0, 0) (0, π) (π, π)(π, 0) 0 A B a) b) Abbildung 2.19.: a) Einheitszelle mit Freiheitsgraden q⃗. b) Brillouin-Kontur der Einheitszelle. Aufgrund der Periodizität der untersuchten Strukturen genügt eine Auswertung der Dispersionskurve auf dem Intervall von 0 bis π des Imaginärteils des komplexen Ausbreitungsvektors [61]. Dieses Intervall wird als sogenannte erste Brillouin-Kontur bezeichnet [61]. Für zweidimensionale periodische Systeme, wie sie in dieser Dissertation betrachtet werden, können Wellen in unterschiedlichen Richtungen durch die Einheitszelle propagieren. Daher ist die Auswertung der Dispersion in unterschiedlichen Raumrichtungen erforderlich. Nach Sigmund und Jensen [73] und Diaz et al. [74] finden sich die Maxima und Minima der Dispersionskurven und somit alle Informationen zur Identifikation von Pass- und Stoppbändern auf der sogenannten Brillouin-Kontur der Einheitszelle. Für eine bezüglich ihrer Diagonalen symmetrischen, quadratischen Einheitszelle, wie sie im Rahmen der Dissertation untersucht wird, ist die Brillouin-Kontur ein Dreieck entsprechend Abbildung 2.19b. Die Auswertung der Dispersionskurve erfolgt dann auf der Kontur 0,A,B,0 ↦→ (0,0),(0,π),(π,π),(0,0). Eine beispielhafte, mit der inversen Lösungsmethode berechnete Dispersionskurve, für das in Abbildung 2.19 dargestellte, ungedämpfte System, kann in Abbildung 2.20 nachvollzogen werden. Die Dispersionskurve ist hierbei auf die Eigenfrequenz des Resonators normiert. Gestrichelt eingezeichnet ist das Dispersionsverhalten der Einheitszelle ohne Resonator. Exemplarisch wurde angenommen, dass die schwingende Resonatormasse etwa 30 % der Masse der Grundstruktur beträgt. Wie zu erkennen ist, ergibt sich ein Stoppband beginnend mit der Resonanzfrequenz des Resonators, welches sich bis zu einer Frequenz von 1,14 fRes erstreckt. In- nerhalb dieses Frequenzbereichs ist eine Wellenausbreitung nicht möglich. Im Gegensatz hierzu ist für alle eingezeichneten Frequenzen eine Wellenausbreitung für die Einheitszelle ohne Resonator möglich. 0 A B 0 0 0,5 1 1,5 2 Stoppband Ausbreitungsvektor µ⃗Im ω / ω Re s EZ mit Resonator EZ ohne Resonator Abbildung 2.20.: Dispersionskurve des in Abbildung 2.19 dargestellten Systems. EZ: Einheitszelle. 24 2. Stand der Wissenschaft und Technik 2.2.4. Parametereinfluss Im Hinblick auf die Anwendung von VAMM auf plattenartige Strukturen wird im Folgenden das strukturdy- namische Verhalten unter Variation der Resonatormasse und -dämpfung am Beispiel der in Abbildung 2.21 dargestellten, nicht eingespannten Stahlplatte betrachtet. Die Abmessungen der Platte betragen 300 mm x 200 mm bei einer Dicke von 1 mm. Die Platte wird am linken Rand im orange eingefärbten Punkt angeregt. Die Transversalschwingungen werden auf der rechten Seite in neun Punkten (blau) ausgewertet. Dazwischen sind 42 gedämpfte Resonatoren (rote Punkte) angeordnet, die exemplarisch auf eine Resonanzfrequenz von 500 Hz abgestimmt sind. 0 0.1 0.2 0.3 x-Achse in m 0 0.05 0.1 0.15 0.2 y -A ch se i n m Anregungspunkt Auswertepunkte Resonatoren Abbildung 2.21.: Platte mit 42 Resonatoren ohne Einspannung. Abbildung 2.22a zeigt die mit der MATLAB® Toolbox MetaSim, entsprechend der Kirchhoffschen Plat- tentheorie, berechneten, über die Auswertepunkte gemittelten Übertragungsfunktionen (Akzeleranz) bei Variation der relativen Resonatormasse mrel. Diese ergibt sich aus dem Quotienten der schwingenden Resona- tormasse und der Masse der Grundstruktur (Dämpfungsmaß der Resonatoren: 1 %). Variiert wird die relative Resonatormasse in einem Wertebereich von 20 % bis 60 %. Gut sichtbar ist ein Stoppbandfrequenzbereich beginnend bei etwa 500 Hz, dessen Breite mit steigender relativer Resonatormasse größer wird (vergleiche Kapitel 2.2.2). Daneben kommt es mit steigender relativer Resonatormasse innerhalb des Stoppbands zu einer Zunahme der Amplitudenreduktion und damit der Wirksamkeit des VAMM. Die Reduktion der Amplituden vor und hinter dem Stoppband ist auf die Masse der Resonatoren zurückzuführen, genauso wie die Verschiebung der Resonanzen zu tieferen Frequenzen vor dem Stoppband. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −40 −20 0 20 40 60 Frequenz in Hz Am pl itu de in dB re f1 (m /s 2 ) /N Referenz VAMM mrel=20 % VAMM mrel=30 % VAMM mrel=40 % VAMM mrel=50 % VAMM mrel=60 % 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −40 −20 0 20 40 60 Frequenz in Hz Am pl itu de in dB re f1 (m /s 2 ) /N Referenz VAMM δ=1 % VAMM δ=2 % VAMM δ=3 % VAMM δ=4 % VAMM δ=5 % mrel mrel δ δ δ a) b) Abbildung 2.22.: Simulationsergebnisse als Übertragungsfunktion der Akzeleranz unter Variation der relativen Resonatormassemrel (a) und des Dämpfungsgrads δ (b). 2.2. Vibroakustische Metamaterialien 25 Variiert man den Dämpfungsgrad δ der Resonatoren von 1 % bis 5 %, bei konstanter relativer Resonator- masse von 50%, so ergibt sich nach Abbildung 2.22b, dass ein höherer Dämpfungsgrad zu einem breiteren Stoppbandfrequenzbereich bei gleichzeitig geringerer Amplitudenreduktion führt. Oberhalb des Stoppbands kommt es zu einem gedämpften Strukturverhalten, da hier die Platte entgegen der Resonatormassen schwingt. Folglich lässt sich mit gedämpften VAMM auch oberhalb des Stoppbandbereichs eine Amplitudenreduktion durch einen leistungsfähigen Dämpfungseffekt erzielen. Neben dem systematischen Einfluss von Resonatormasse und Dämpfung auf das Stoppband, wirkt sich auch eine Streuung der Resonatorabstimmung und -positionierung auf die Stoppbandbreite aus. Mit zunehmender Streubreite kommt es zunächst zu einer Zunahme der Stoppbandbreite bei gleichzeitig abnehmender Ampli- tudenreduktion [75], bevor mit weiter zunehmender Streuung die Stoppbandbreite negativ beeinflusst wird, bis es zum Verschwinden des Stoppbands kommt. 2.2.5. Einteilung nach Bauform und Integrationstiefe Bei der praktischen Realisierung von VAMM stellt sich die Frage nach der konkreten Ausgestaltung der Resonatoren und deren Applikation oder Integration auf oder in die Zielstruktur. Im Folgenden wird die Einteilung von VAMM mit lokalen Resonanzen und negativer effektiver Masse nach diesen beiden Kriterien vorgenommen. In der Literatur sind verschiedene Resonatorbauformen zur Realisierung von VAMM bekannt. Gemäß der Gestaltung des Federelements lassen sich diese in vier Grundbauformen pillar-type [76]–[81], membrane-type [82]–[89], beam-type [70], [89]–[100] und elastic-coating [56], [101], [102] gliedern [64], [68], [69]. Diese Bauformen sind in Abbildung 2.23 schematisch dargestellt. Das Massenelement ist nicht notwendigerweise als konzentriertes Massenelement auszuführen, sondern kann auch Teil des Federelements sein sowie durch eine Materialanhäufung, zum Beispiel durch einen sich verändernden Querschnitt, erzeugt werden. Masse Masse Masse Masse elastischer Körper Membran Balken elastische Hüllea) b) c) d) Abbildung 2.23.: Resonatorbauformen: a) pillar-type Resonator, b) membrane-type Resonator, c) beam-type Resonator, d) elastic-coating Resonator. Quelle: in Anlehnung an [64], [68], [69] Pillar-type Resonatoren verwenden oft ein Elastomer oder einen Schaum als Federelement. Hierbei sind Ausführungen mit und ohne diskretem Massenelement bekannt. Neben der Verwendung von Elastomeren werden als Federelement auch Spiralfedern verwendet. Eine beispielhafte reale Ausführung eines VAMM, bestehend aus pillar-type Resonatoren, ist in Abbildung 2.24a dargestellt. Membrane-type Resonatoren nut- zen eine Schwingmembran als Federelement. Diese ist üblicherweise als dünne Kunststofffolie ausgeführt, kann aber auch generativ hergestellt werden. Wegen der geringen Masse der Membran werden oft diskrete Massenelemente verwendet. Abbildung 2.24b zeigt einen exemplarischen Membranresonator. Beam-type Resonatoren verwenden einen Biegebalken als Federelement. Hergestellt werden sie häufig mit generativen Verfahren oder durch Trennen aus Kunststoff oder Blech. Oft wird hierbei das Massenelement einteilig mit dem Federelement ausgeführt (siehe Abbildung 2.24c). Die älteste Resonatorbauform stellen Resonatoren basierend auf dem Prinzip des elastic-coating dar. Hierbei wird ein Massenelement in eine elastische Matrix eingebettet. Abbildung 2.24d zeigt einen solchen Resonator sowie ein daraus aufgebautes VAMM. 26 2. Stand der Wissenschaft und Technik a) b) c) d) Abbildung 2.24.: Resonatorbauformen: a) pillar-type Resonator, b) membrane-type Resonator, c) beam-type Resonator, d) elastic-coating Resonator. Quellen: a) [81], b) [103], c) [91], d) [56]. Wie zu erkennen ist, lassen sich Resonatoren aus unterschiedlichen Materialien und Formen aufbauen. Bei den bisher gezeigten Beispielen werden Resonatoren einzeln aufgebaut und zu einem Verbund zusammen- gefügt. Dies ist die einfachste Form ein VAMM zu realisieren. Daneben existieren Ansätze, bei welchen die Resonatoren in eine Struktur integriert werden, oder bereits zusammen mit dieser hergestellt werden. Folglich lassen sich VAMM neben der Gestaltung des Resonators auch hinsichtlich ihrer Integrationstiefe klassifizieren. Tabelle 2.1 stellt schematisch die unterschiedlichen Integrationstiefen von VAMM dar. Grundsätzlich las- sen sich additive und strukturintegrierte VAMM unterscheiden. Unter additiven VAMM versteht man solche VAMM, die durch das Hinzufügen von Resonatoren in einer differenziellen Bauweise oder in Form von Reso- natorverbünden auf eine zu beruhigende Struktur aufgebracht werden. Strukturintegrierte VAMM zeichnen sich dadurch aus, dass die Resonatoren einteilig mit der Zielstruktur ausgeführt sind, beziehungsweise in diese integriert sind. Die Verbildlichungen in Tabelle 2.1 zeigen durch eine unterschiedliche Farbgebung der Bestandteile eines VAMM auf, welche Bauteile aus dem gleichen Material bestehen beziehungsweise einteilig ausgeführt sind. Additive VAMM in Verbundbauweise besitzen den Vorteil, dass ein Resonator-Array im Ganzen aufgebracht werden kann. Das Applizieren einzelner Resonatoren entfällt. Ausführungsformen von additiven VAMM mit Verbundträger sind unter anderem von Rieß et al. zur Reduktion von Schwingungen an Fahrzeugtüren [64], [104], Werkzeugmaschinen [105] und Lärmschutzwänden [106] sowie von de Melo Filho et al. zur Reduktion der Schalltransmission des Dachs von landwirtschaftlichen Maschinen [107] bekannt. Der Verbund wird in diesen Fällen durch das Herausarbeiten von Resonatoren aus einem Blec