Mitteilungen der Versuchsanstalt für Bodenmechanik und Grundbau der Technischen Hochschule Darmsladt Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. H. Breth Hefl 17 Die instationäre Brunnenströmung im anisotropen Grundwasserleiter mit freier Oberfläche Dr.-Ing. Thomas Klüber Nlaenber u Urheberrechtlich geschützt / In Copyright: https://rightsstatements.org/page/InC/1.0/ 44431-47-2 Reproduktion und fototechnischer Druck STUDENTENWERK DARMSTADT- Abt. Druck und Kopie Mitteilungen der Versuchsanstalt für Bodenmechanik und Grundbau der Technischen Hochschule Darmstadi erausgegeben von Prof. Dr.-Ing. H. Breth Heft 17 Die instationäre Brunnenströmung im anisotropen Grundwasserleiter mit freier Oberfläche Dr.-Ing. Thomas Klüber November 1975 Inhellsverzeichnie Formelzeichen Bildverzeichnis Tabellenverzeichnis Einleitung 1.1 Motivation und allgemeine Problemstellung 1.2 Zielsetzung und Lösungsmethode Übersicht der vorhandenen Lösungsmethoden 2.1 Stationäre Strömung 2.2 Instationäre Strömung 3. Das mathematische Modell der Brunnenströmung 3.1 Berechnungsannahmen 3.2 Dimensionsanalyse 3.3 Die Grundgleichungen der instationären Brunnen¬ strömung 3.3.1 Gleichung zur Ermittlung der Standrohr¬ spiegelhöhe 3.3.2 Randbedingungen 3.3.3 Formulierung des mathematischen Modells 3.4 Übergang der freien Oberfläche zur Sickerfläche Problemlösung mit Hilfe der Finite-Element Methode (FEM) 4.1 Die Grundlagen der FEM und ihre Anwendung auf die Grundwasserströmung 4.1.1 Theoretische Grundlage 4.1.2 Zur Wahl des Elementtyps Relte 10 11 14 23 23 25 29 30 31 31 31 32 4.1.3 Zur Lösung von Problemen ohne freie Oberfläche 4.1,4 Zur Lösung von Problemen mit freier Oberfläche 4.1.5 Zur Verformung des Elementnetzes 4.1.6 Zur Integration der Bewegungsgleichung 4.2 Programmbeschreibung 4.2.1 Anwendungsbereich und Kopplungsmöglichkeiten 4.2.2 Programmablauf Die Strömung zu einem vollkommenen Brunnen bei konstanter, plötzlich eintretender und völliger Absenkung 5.1 Erfassung des horizontal unbegrenzten Grundwasserleiters 5. 2 Ermittlung der Hangquelle 5.3 Wahl von Brunnenradius und Durchlässigkeitsverhältnis 5.4 Ergebnisse 5.4.1 Die Lage der freien Oberfläche und deren Ver¬ schiebungsgeschwindigkeit 5.4.2 Potentialverteilung, Wasserzufluß und Geschwin¬ digkeitsverteilung 5.4.3 Die Reichweite der Grundwasserabsenkung Bewertung der klassischen Verfahren 6. 1 Freie Oberfläche nach Dupuit 6. 2 Wasserzufluß nach Dupuit/Weber 6. 3 Reichweite nach Sichardt und Weber 6.4 Zum Begriff" Fassungsvermögen Betrachtung zur Gültigkeit des Darcyschen Gesetzes in Brunnennähe Die Strömung zu einem vollkommenen Brunnen bei konstanter Entnahme 8. 1 Verfahren zur Ermittlung des Brunnenwasserstandes 8.2 Wahl von Brunnenradius, Durchlässigkeitsverhältnis und Entnahme Seite 39 39 42 49 49 51 51 62 71 76 83 92 92 95 10. 8.3 Freie Oberfläche und Brunnenwasserstand in Abhängigkeit von der Zeit, dem Durchlässig¬ keitsverhältnis und der Entnahme 8.4 Vergleiche mit den Lösungen von Weber und Theis 8.4.1 Reichweite nach Weber 8.4.2 Freie Oberfläche nach Theis Zur Bestimmung von k /k und n. aus einem Pump¬ versuch bei konstanter Entnahme 9.1 Vorbemerkungen 9.2 Darlegung des Verfahrens und seiner Anwendungs¬ grenzen 9. 3 Anwendungsbeispiel 9.4 Auswertung des Beharrungszustandes nach Dupuit 9.5 Auswertung durch Vergleich mit der Standardkurve von Theis Theis Type-Curve Method") 9. 6 Auswertung nach Jacobs Geradlinienmethode ("Jacob's Straight-Line Method" 9.7 Bewertung Zusammenfassung Literaturverzeichnis Anhang: Verfahren zur Auswertung eines instationären Pumpversuchs bei konstanter Entnahme Seite 97 104 104 106 113 113 115 118 125 126 127 129 131 135 143 Bezeichnung Q Re Einheit L LT XII L MLT 3 T1 L 131 13T L - 1 - Formelzeichen Definition Maßgebender Korndurchmesser Eulersche Zahl Erdbeschleunigung Standrohrspiegelhöhe Mächtigkeit des durch den Brunnen erfaßten Grundwasserleiters mit freier Oberfläche Durchlässigkeit Mächtigkeit des Grundwasserleiters bei gespannten Strömungsverhältnis¬ sen Unter der Wirkung der Schwerkraft entwässerbares Porenvolumen Neutrale Spannung Fassungsvermögen Sekundliche Wassermenge Förderleistung der Pumpe Zylinderkoordinate in horizontaler Richtung Reichweite Reynolds-Zahl Absenkung des Wasserstandes Zeit Bezeichnung W(u) X,Y A Pw Indices r,z X,Y Kopfzeiger 2 - Einheit Definition LT Vektor der Filtergeschwindigkeit Brunnenfunktion Kartesische Koordinaten in horizonta¬ ler und vertikaler Richtung L Zylinderkoordinate in vertikaler Richtung Parameter bei der Reichweite nach Weber Böschungswinkel der Sickerfläche L Maß für die Steigung der Geraden bei Jacobs Straight-Line Method" Differenzensymbol Schrittkennzahl bei der Integration nach Runge-Kutta 121 Kinematische Viskosität des Wassers ML Massendichte des Wassers T Strömungspotential horizontal vertikal Hangquelle in Richtung der r,z-Koordinate in Richtung der x,y-Koordinate n-tes Zeitintervall auf den Brunnen bezogen Kennzeichnung für dimensionslose Größen Kennzeichnung für transformierte Koordinaten 12 14 3 - Bildverzeichnis Erläuterung des hydraulischen Systems und der Bezeich¬ nungen Randbedingungen 3 Integration nach Runge-Kutta 4 Kopplungsmöglichkeiten von FLOWA Programmablauf FLOWA - Version 5 Teilung des Grundwasserleiters in 2 Bereiche FE-Netzwerk Freie Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässig¬ keitsverhältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r*= 0,1) Vergleich der freien Oberflächen für unterschiedlich anisotrope Grundwasserleiter nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r" - 0,1 ; k. - konst.) Vergleich der freien Oberflächen für unterschiedlich anisotrope Grundwasserleiter nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r7 - 0,1 ; k, = konst.) Verformte Strukturen (r = 0,1) z-Koordinaten der Punkte 120 und 21 der freien Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsverhältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasser¬ standes (r= 0,1) z*-Koordinaten der Punkte 89 und 18 der freien Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsverhältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r- 0,1) Verschiebungsgeschwindigkeit der Punkte 120 und 21 der frei¬ en Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeits¬ verhältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r* = 0,1) Seite 11 44 47 50 52 58 60 16 17 20 22 28 4- Verschiebungsgeschwindigkeit der Punkte 89 und 18 der freien Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchläs¬ sigkeitsverhältnisses nach plötzlichem und völligem Ab¬ sinken des Brunnenwasserstandes (r* = 0,1) Potentialverteilung zum Zeitpunkt t= Onach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r*= 0,1) Potentialverteilung zum Zeitpunkt t'= 0,50 nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r*= 0,1) Potentialverteilung zum Zeitpunkt t= 0,94 nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r*- 0,1) Wasserzufluß in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeits¬ verhältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r- 0,1) Geschwindigkeitsverteilung im Grundwasserleiter zum Zeitpunkt t= 0 nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r*- 0) Geschwindigkeitsverteilung im Grundwasserleiter zum Zeit¬ punkt t' 0,94 nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r= 0,1) Größe und Verteilung der Horizontalgeschwindigkeit am Brunnenschacht zum Zeitpunkt t= 0 nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r' - 0,1) Größe und Verteilung der Horizontalgeschwindigkeit am Brunnenschacht zum Zeitpunkt t*= 0,94 nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r*= 0,1) Reichweite in Funktion der Zeit, des Durchlässigkeitsverhält¬ nisses und der tolerierten Randabsenkung nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r. = 0,1) Vergleich der freien Oberflächen nach FEM und Dupuit (r- 0,1) Vergleich des Wasserandrangs nach FEM und Dupuit/Weber (r*=0.1) Faktor a in Funktion der Zeit, des Durchlässigkeitsverhält¬ nisses und der tolerierten Randabsenkung (r*= 0,1) Angenommene Kornverteilungskurven Seite 67 69 73 74 78 82 87 29 30 34 37 38 39 42 5 - Der auf der Basis des Darcyschen Gesetzes ermittelte ortsabhängige Zustand der Strömung durch den Boden (2 (gS, fki, ms) nach plötzlichem und völligem Absinken des =0,1)Brunnenwasserstandes ( Der auf der Basis des Darcyschen Gesetzes ermittelte, ortsabhängige Zustand der Strömung durch den Boden (1) (mKi, fki, gki) nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r*= 0,1) Ablauf der Simulation bei isotropem Grundwasserleiter Ablauf der Simulation bei anisotropem Grundwasserleiter (kp/k.- 3) Freie Oberfläche in Funktion der Zeit, des Durchlässigkeits¬ verhältnisses und der Pumpenleistung (r* = 0,04) Länge der Sickerfläche in Funktion der Zeit und des Durch¬ lässigkeitsverhältnisses (r* - 0,04) Länge der Sickerfläche in Funktion der Absenkung im Brunnen, des Durchlässigkeitsverhältnisses und der Pumpenleistung (r*= 0,04) Reichweite in Funktion der Zeit, der Randabsenkung, des Durchlässigkeitsverhältnisses und der Entnahme (r*= 0,04) Faktor a zur Berechnung der Reichweite nach Weber (1928) mit R'= a.Vk, t*. Kurvenparameter sind die Randabsen¬ kung, das Durchlässigkeitsverhältnis und die Entnahme (r= 0,04) Freie Oberfläche nach Theis (1935) in Funktion der Zeit, des Durchlässigkeitsverhältnisses und der Pumpenleistung (r- 0,04) Vergleich der freien Oberflächen nach FEM und Theis (k,/k -1, Q- 0,25, r*- 0,04) Vergleich der freien Oberflächen nach FEM und Theis (k/k -1, Q- 0,45, r - 0,04) Vergleich der freien Oberflächen nach FEM und Theis (k/k - 3 , Q - 0,25, r - 0,04) Vergleich der freien Oberflächen nach FEM und Theis (k/k - 3, 0 - 0,45, r* - 0,04) Seite 89 98 100 102 102 105 105 108 109 110 111 112 6- 43 Förderleistung und Wasserstände während des Versuchs 44 Anwendungsbeispiel: Zustand der bestmöglichen Deckung von Meß- und Standardkurve bei Pegel 3 Anwendungsbeispiel: Zustand der bestmöglichen Deckung von Meß- und Standardkurve bei Pegel 2 46 Anwendungsbeispiel: Zustand der bestmöglichen Deckung von Meß- und Standardkurve bei Pegel 1 Auswertung durch Vergleich mit der Standardkurve von Theis (Theis Type-Curve Method") 48 Auswertung nach Jacobs Geradlinienmethode ("Jacob's Straight-Line Method") 49 Bezeichnungen bei der Auswertung von Pumpversuchen delle 119 122 123 124 128 128 144 10 7. Tabelle nverzeichnis Vergleich der Lage der Hangquelle bei isotropem und anisotroper Grundwasserleiter nach plôtzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r= 0,1) Vergleich des Wasserzuflusses bei isotropem und aniso¬ tropem Grundwasserleiter nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r= 0,1) Gradient und dimensionslose Geschwindigkeit im Knoten 292 in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsverhält¬ nisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brun¬ nenwasserstandes (r= 0,1) Vergleich des Wasserandrangs nach FEM und Dupuit/Weber für die zuletzt berechneten Zeitintervalle nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r*= 0,1) Maßgebende Korndurchmesser und Durchlässigkeiten der betrachteten Böden (V = 1,6 - 10-6m2/s) Maximale Reynolds-Zahlen bei der Strömung durch die Bö¬ den () und () Werte der dimensionslosen Bildparameter Zeitabhängige Absenkung des Brunnen- und Grundwasser¬ standes während des Versuchs Vergleich errechneter und gewählter Vorwerte Erforderliche Ablesewerte Vergleich der Ergebnisse aus den unterschiedlichen Aus¬ wertverfahren Belle 67 80 87 88 116 119 120 121 130 8- 1. Einleitung 1. 1 Motivation und allgemeine Problemstellung Grundwasserfassungsanlagen werden häufig mit Vertikalbrunnen ausgestat¬ tet, unabhängig von dem Ziel der Wasserfassung. Bei der Grundwasserge¬ winnung wird der maximale Wasserzufluß zum Brunnen bei minimaler Ab¬ senkung, bei der Grundwasserabsenkung dagegen die maximale Absenkung bei minimalem Zufluß angestrebt. Während bei der Grundwassergewinnung der Kenntnis der Lage der freien Oberfläche gegenüber der Kenntnis des Wasserzuflusses weniger Bedeutung zukommt, steht die Frage nach der La¬ ge der freien Oberfläche bei der Grundwasserabsenkung naturgemäß im Vordergrund. Diese Frage ist bis heute nicht zufriedenstellend gelöst. Die heute üblichen Verfahren vernachlässigen die Differenz zwischen dem Wasserstand im Brunnen und dem Austrittspunkt der freien Oberfläche am Brunnenschacht, die sogenannte Sickerfläche, und erzeugen daher eine, mit zunehmender Entfernung allerdings abklingende, Fehleinschätzung des Grundwasserstandes, Die Existenz einer Sickerfläche ist von Sichardt (1928) mit dem Überschreiten des Fassungsvermögens des Brunnens gedeutet worden. Nach seiner Auffassung wird der Sprung dadurch verursacht, daß eine der Größe nach zunächst noch unbekannte Grenzgeschwindigkeit am Brunnenschacht erreicht worden ist, die auch durch noch so große Absen¬ kung des Wasserspiegels im Brunnen nicht überschritten werden kann. Der "Höchstwert der Entnahmemenge“, das Fassungsvermögen eines Brunnens, ermittelt sich nach Sichardt (1928) zu ms 21 1 20 1) wobei 21 ro zo die benetzte Filterfläche ist und mit Vk/15 die empi¬ risch ermittelte Grenzgeschwindigkeit definiert wird. Gleichung (1) ist nicht dimensionstreu: die Längen sind in m, die Durchlässigkeit k in m's einzusetzen. Mit Hilfe des Sichardtschen Fassungsvermögens, das gleich¬ zeitig eine Schranke für die Absenkung des Brunnenwasserstandes darstellt. gelingt es, die Länge der Sickerfläche und damit den Fehler bei der Ermitt¬ lung der freien Oberfläche auf der Grundlage der Dupuit-Forchheimer An¬ - 9 - nahmen klein zu halten. Es gelingt jedoch damit nicht, den Einfluß des Brunnenwasserstandes und des Brunnenradius auf den Grundwasserstand quantitativ zu erfassen. Die bei der Grundwassergewinnung wesentliche Frage nach der Größe des Wasserzuflusses in einem quasistationären Endzustand ist durch die Glei¬ chung von Dupuit (1863) und Thiem (1870) beantwortet. Diese Gleichung ist wie an anderer Stelle bewiesen (siehe Chapman (1957), Polubarinova¬ Kochina (1962), Hantush (1962), Heinrich (1963), Hunt (1970) ) trotz der zu ihrer Ableitung erforderlichen Annahmen exakt. Das bei der Grundwas¬ serabsenkung dagegen noch weitgehend ungelöste Problem besteht darin, in Abhängigkeit von den Abmessungen des Brunnens und des Grundwasser¬ leiters, von den hydraulischen Eigenschaften des Grundwasserleiters und von der Betriebsweise des Brunnens - definierter Brunnenwasserstand oder definierte sekundliche Förderwassermenge - den allgemein instatio¬ nären Grundwasserstand als Funktion von Ort und Zeit anzugeben. 1. 2 Zielsetzung und Lösungsmethode Die Ermittlung des Grundwasserstandes in Brunnennähe ist aufgrund der nicht-linearen Randbedingung an der freien Oberfläche, der Vielfalt der Randbedingungstypen und der Vielfalt der geometrischen und physikali¬ schen Einflußgrößen ein äußerst kompliziertes Problem, so daß eine ex¬ akte, theoretische Lösung ausgeschlossen erscheint. Andererseits müs¬ sen auch bei einer Näherungslösung einschränkende Annahmen hinsicht¬ lich der Vielfalt der zu untersuchenden physikalischen und geometri¬ schen Parameter getroffen werden. Eine allgemeine, umfassende Behand¬ lung der genannten Problemstellung ist im Rahmen dieser Arbeit nicht möglich. Die hier durchgeführten Untersuchungen beschränken sich daher auf den vertikal radialsymmetrischen Fall des vollkommenen Brunnens in einem horizontal unbegrenzten, homogenen und orthotropen Grundwasserleiter mit freier Oberfläche über einem dichten Horizont, - 10 - Das Ziel der vorliegenden Arbeit gliedert sich in zwei Teile: 1. Bei einem definierten Brunnenwasserstand werden der Grundwasser¬ stand als Funktion von Ort und Zeit und der Wasserzufluß zum Brun¬ nen als Funktion der Zeit ermittelt. 2. Bei einer definierten sekundlichen Förderwassermenge wird der Grundwasserstand als Funktion von Ort und Zeit ermittelt und mit der bekannten Lösung von Theis (1935) verglichen. Da ein Großteil der natürlichen Böden wegen der Ablagerung und horizon¬ talen Ausrichtung der Körner nicht isotrop ist, soll der Einfluß der An¬ isotropie des Grundwasserleiters auf den Grundwasserstand und den Was¬ serzufluß besondere Beachtung finden. Teil zwei der Untersuchungen wird daher so aufbereitet, daß eine Auswertung des Pumpversuchs auch hin¬ sichtlich der Anisotropie des Grundwasserleiters möglich wird. Die bisher üblichen, den stationären und instationären Fall erfassenden, "klassischen" Berechnungsverfahren und der Begriff des Fassungsvermö¬ gens nach Sichardt sollen kritisch betrachtet und neu bewertet werden. Zur Lösung des komplexen Problems wird die Methode finiter Elemente herangezogen. Dieses Verfahren erlaubt eine digitale Simulation des Strö¬ mungsvorganges, wobei sich beliebige Randbedingungstypen und -formen sowie beliebige Eigenschaften des Grundwasserleiters berücksichtigen lassen. 2. Übersicht der vorhandenen Lösungsmethoden Der Zielsetzung der Arbeit entsprechend beschränkt sich der nachfolgende Überblick allein auf Methoden, die zur Lösung des Problems der Zuströ¬ mung zu einem vollkommenen Brunnen in einem Grundwasserleiter mit freier Oberfläche über einer horizontalen, undur chlässigen Sohle angewen¬ - 11 - det wurden. Obgleich die Betrachtungsweise schon sehr speziell ausgerichtet ist, er¬ hebt der Autor nicht den Anspruch, einen vollständigen Überblick über die zu diesem Thema vorhandene Literatur geben zu können. 2.1 Stationäre Strömung Da das klassische Berechnungsverfahren in einem späteren Kapitel bewer¬ tet werden soll, erscheint eine kurze Darstellung dieser auch heute noch sehr gebräuchlichen Methode angebracht. Das hydraulische System ist in Bild 1 dargestellt. Der Grundwasserleiter ist homogen und isotrop; er befindet sich über einer horizontalen, undurch¬ lässigen Sohle und wird von einem durchgehend geschlitzten, bis zur un¬ durchlässigen Sohle reichenden ("vollkommenen") Brunnen entwässert. Die Ergiebigkeit des Brunnens ermittelt sich nach Dupuit (1863) und Thiem (1870) zu 21 EES Freie Oberflache 1 2 t entwasserbares Fbrenvolumen f Sickerflache - TIH. undurchlassiger Horizont Bild 1: Erläuterung des hydraulischen Systems und der Bezeichnungen - 12 - Diese Gleichung ist, wie schon erwähnt, theoretisch exakt. Die Lage der freien Oberfläche erhält man mit den, die Lösung stark vereinfachenden, Dupuit-Forchheimer Annahmen: 1. Die Standrohrspiegelhöhe innerhalb des durchströmten Grundwasser¬ leiters ist keine Funktion der z-Koordinate. 2. Die Horizontalgeschwindigkeit in der Entfernung r ist proportional der Neigung der freien Oberfläche in dieser Entfernung. Mit diesen Vereinfachungen und bei Kenntnis der Mächtigkeit H des Grund¬ wasserleiters und bei Kenntnis der Reichweite R erhält man den Grund¬ wasserstand z in der Entfernung r zu .2 (3 Im allgemeinen ist der Grundwasserleiter horizontal nicht begrenzt, so daß die zunächst noch unbekannte Reichweite R vor der Lösung von Glei¬ chung (2) und (3) ermittelt werden muß. Dies geschieht häufig mit Hilfe der von Sichardt (1930) angegebenen Beziehung R 3000sVK inm 4) Die Gleichungen (2), (3) und (4) dienen zusammen mit Gleichung (1) zur Dimensionierung der Brunnen und zur Ermittlung der Lage der freien Oberfläche. Dem Vorteil der Einfachheit und einer auch für die Praxis leichten Hand¬ habung stehen schwerwiegende Nachteile gegenüber. Die Strömung zu ei¬ nem Brunnen in einem horizontal unendlich ausgedehnten Grundwasserlei¬ ter ist, wenn man die Grundwasserneubildung durch Versickerung von Oberflächenwasser vernachlässigt, immer zeitabhängig, so daß das klas¬ sische Berechnungsverfahren einen Zustand betrachtet, der erst nach längerer Pumpdauer näherungsweise erreicht wird. Bei langjähriger Ent¬ 13- nahme für Versorgungszwecke trifft dies relativ gut zu, nicht jedoch bei kurzfristiger Entnahme für die Grundwasserabsenkung. Die Dupuit-Forchheimer Annahmen treffen die realen Strömungsverhält¬ nisse gut bei geringer Neigung der freien Oberfläche und bei geringen Ab¬ senkungen. Diese Verhältnisse sind aber in der unmittelbaren Umgebung des Brunnens nicht gegeben, so daß hier erhebliche Fehler bei der Be¬ rechnung des Grundwasserstandes eintreten. Besonders der Sprung am Brunnenschacht, die Sickerfläche, wird bei dieser Vorgehensweise nicht erfaßt und bleibt unbekannt. Der Gültigkeitsbereich der Dupuit-Forchheimer Annahmen wird von Hantush (1964), auch bei völliger Absenkung des Brunnenwasserstandes, mitr = 1,5 H angegeben. Das klassische Berechnungsverfahren ist hinsichtlich der Ermittlung der Lage der freien Oberfläche sehr unbefriedigend. Nahrgang (1954) versuch¬ te, diese Lücke zu schließen und entwickelte eine graphische Lösungsme¬ thode, mit deren Hilfe er den Grundwasserstand und das Potential als Funktion des Ortes ohne weitergehende, einschränkende Annahmen er¬ mitteln kann. Die Methode basiert auf dem bekannten Verfahren, ein zu¬ nächst grob gezeichnetes Strömungsnetz so lange zu verbessern, bis alle Rand- und Übergangsbedingungen eingehalten werden. Dem dann bekann¬ ten Strömungsnetz können alle weiterhin interessierenden Größen, z. B. Wasserzufluß und Geschwindigkeitsverteilung entnommen werden. Das ge¬ schilderte Verfahren eignet sich zwar prinzipiell, ist jedoch in der Durch¬ führung sehr mühsam, so daß es keine weitere Verbreitung gefunden hat, Die Analogieverfahren, die analytischen und numerischen Methoden sind dagegen in sehr großem Umfang zur Lösung des Problems herangezogen worden. Da diese Lösungsmethoden aber den stationären Zustand häufig als Sonderfall des instationären Zustands beinhalten, sollen sie im folgen¬ den Kapitel behandelt werden. - 14 - 2. 2 Instationäre Strömung Die gespannte Grundwasserstrômung zu einem Brunnen wurde zuerst von Theis (1935) als instationärer Vorgang aufgefaßt. Durch systematisches Austauschen der physikalisch aequivalenten Größen in der schon bekann¬ ten Gleichung der Wärmeströmung zu einer Senke erhielt Theis eine Be¬ ziehung, die das Absinken der Druckhöhe als Funktion von Ort,Zeit und konstanter Pumpenleistung angibt: S dx 1 5 1AT. Km n mit 6 4kmt m = Mächtigkeit des Grundwasserleiters bei gespannten Strö¬ mungsverhältnissen Unter der Wirkung der Schwerkraft entwässerbares Poren¬ volumen. Die Gleichung (5) ist noch von Theis (1935) selbst fûr die Berechnung des Anstiegs der Druckhöhe beim Wiederauffüllvorgang erweitert worden. Jacob (1940) verknüpfte das Darcysche Gesetz mit der die Kompressibili¬ tät von Wasser und Korngerüst berücksichtigenden Kontinuitätsbeziehung und erhielt auf diesem theoretischen Weg die für die gespannte Brunnen¬ strömung näherungsweise gültige Differentialgleichung vom Typ der Wär¬ meleitungsgleichung, deren Lösung mit Gleichung (5) identisch ist. An¬ hand seiner Ableitung wird ersichtlich, daß Gleichung (5) zur Ermittlung des Grundwasserstandes bei ungespannter Grundwasserströmung ebenfalls gültig ist, wenn man annimmt, daß die Kompressibilität von Wasser und Korngerüst bei ungespannten Strömungsverhältnissen für alle praktischen Fälle vernachlässigt werden kann, - 15 - 2. die Dupuit-Forchheimer Annahmen gültig sind, 3. die Absenkung der freien Oberfläche relativ klein ist zur Mächtigkeit des Grundwasserleiters, 4. der Grundwasserleiter unendlich lang, homogen und isotrop ist und von einer horizontalen, undurchlässigen Sohle begrenzt ist, der Brunnenradius verschwindend klein ist. Jacob (1940) hat Gleichung (5) zur Ermittlung von Durchlässigkeit und Speichervermögen aus einem Pumpversuch weiter aufbereitet. Die Lösung von Theis (1935) und Jacob (1940) wurde in der Zwischenzeit teils in ihrer ursprünglichen, teils in einer noch weiter vereinfachten Form (für u =0,01), so umgeformt, daß die verschiedenen Betriebswei¬ sen des Brunnens berücksichtigt werden können. Jacob und Lohman (1952) ermittelten auf der Basis der Wärmeleitungsgleichung den zeitabhängigen Zufluß bei konstanter Absenkung im Brunnen, Lennox und Vanden Berg (1967) gaben eine Lösung für zyklischen Pumpenbetrieb an, wobei auf Peri¬ oden konstanter Pumpenleistung Wiederauffüllperioden folgen. Lohr (1967) formte die für u -0,01 vereinfachte Version der Lösung so um, daß sich beliebig abgestufte, bereichsweise konstante Pumpenleistungen erfassen lassen. Kaldenhoff (1971) hat die Lösungsansätze von Theis und Jacob mit neuen Vorschlägen erweitert und hat die Ergebnisse praxisgerecht aufbereitet, Boulton (1954) wandte sich von der Theisschen Vorgehensweise ab. Grund¬ lage seiner Lösung ist die Laplacesche Differentialgleichung, die das hydraulische System zusammen mit den dazugehörigen Randbedingungen exakt beschreibt. Boulton vernachlässigte die nicht-linearen Terme in der Randbedingung der freien Oberfläche, was nach seiner Meinung für s /H « 0,5 berechtigt ist. Für kleine Absenkungen der freien Oberfläche - 16- und konstante Geschwindigkeit am Brunnenschacht bei vernachlässigbar kleinem Brunnenradius erhielt er folgende Gleichung zur Ermittlung des Grundwasserstandes bei konstanter Pumpenleistung: VIp.T) 172r N1mit pnd 8)H-ng Die Funktion V (p,I stellt die Abkürzung für ein bestimmtes Integral dar und ist bei Boulton (1954) und Hantush (1964) tabelliert. Gleichung (7) wird für 1-0,5 und 1 =5,0 noch mit einem Korrekturfaktor versehen, der eben¬ falls den Veröffentlichungen von Boulton (1954) und Hantush (1964) zu ent¬ nehmen ist. Boulton hat mit dieser Lösung auf die Dupuit-Forchheimer Annahmen ver¬ zichtet und lieferte damit gegenüber der Theisschen Lösung, speziell in Brunnennähe, genauere Ergebnisse. Die Annahme kleiner Absenkungen re¬ lativ zur Mächtigkeit des Grundwasserleiters beschränkt allerdings wieder¬ um die allgemeine Anwendbarkeit. Trotz der Einschränkungen stellt aber die Lôsung von Boulton die beste theoretische und für die Praxis am wei¬ testen aufbereitete Lösung des Problems dar. Kashef (1965) verzichtete ebenfalls auf die Dupuit-Forchheimer Annahmen und leitete eine Gleichung zur Bestimmung des Grundwasserstandes als Funktion von Ort und Zeit her. Ausgehend von der Dupuit-Lösung für den stationären Zustand (Gl. (3)), die wie Kashef bewies, mit guter Näherung die Druckverteilung auf der undurchlässigen Sohle angibt, erhielt er durch eine Analyse der Kräfte innerhalb eines konzentrischen Ringes eine Aussa¬ ge über den stationären und instationären Grundwasserstand. Seiner Lö¬ sung liegen die Annahmen zugrunde, daß alle Stromlinien innerhalb eines konzentrischen Ringes strahlenförmig auf einen Punkt gerichtet sind und das Potential in Vertikalschnitten linear verteilt ist, woraus folgt, daß die Vertikalgeschwindigkeit in einem vertikalen Schnitt konstant angenommen wird. Da die Dupuit-Forchheimer Annahmen fehlen, wurde hier die am - 17- Brunnenschacht auftretende Sickerfläche berücksichtigt. Die Kenntnis der Länge der Sickerfläche aus der Lösung von Kashef (1965 machte sich Mahdaviani (1967) zunutze. Mahdaviani betrachtete, ähnlich Dracos (1962) für den ebenen Fall, die Absenkung in einem Brunnen als Wellenproblem und verfolgte die raum-zeitliche Ausdehnung dieser Störung anhand der Differentialgleichungen der Wellenfortpflanzung. Hierbei wurde in jedem vertikalen Schnitt konstante Horizontal- und Vertikalgeschwindig¬ keit vorausgesetzt. Die Lösung erfolgte mit Hilfe des Charakteristikenver¬ fahrens, wobei die bekannte Sickerfläche als Randbedingung einging. Mahdaviani verglich die theoretische Lösung mit Messungen, die an einem mit Sand gefüllten Sektormodell ausgeführt wurden und erhielt befriedigen¬ de Übereinstimmung. Die beiden zuletzt genannten Verfahren wurden allerdings nicht soweit auf¬ bereitet, daß sie unmittelbar für die Praxis verwendbar geworden wären. Die von Busch, Tiemer und Luckner (1967) angegebene Zusammenstellung der wichtigsten Lösungsmethoden der partiellen Differentialgleichungen der Grundwasserhydraulik beinhaltet Methoden für Strömungsvorgänge, die nichtstationär und eindimensional sind oder sich auf solche Vorgänge zu¬ rückführen lassen. Ihre Ausführungen lassen erkennen, daß das mathema¬ tische Modell der instationären Grundwasserströmung - wie das den Strö¬ mungsvorgang beschreibende Gleichungssystem mit den zugehörigen An¬ fangs- und Randbedingungen genannt wird - bei Anwendung analytischer Methoden nur durch zahlreiche Vereinfachungen und hierbei oft nur mit er¬ heblichem Aufwand zu lösen ist. Genauere Ergebnisse lassen sich durch Analogieversuche oder durch numerische Lösung des mathematischen Mo¬ dells erreichen. Analogieversuche wurden zunächst vorwiegend für ebene Strömungsproble¬ me angewand!. In den letzten Jahren sind jedoch auch Modelle zur Simula¬ tion der radialsymmetrischen Grundwasserströmung entwickelt worden, so daß die Modelltechniken auch hier als mögliche Lösungsmethoden angeführt - 18- werden sollen. Grundsätzliches zur Ähnlichkeitsmechanik und zu den Mo¬ dellgesetzen bei der Simulation von Grundwasserströmungsproblemen fin¬ det sich bei Busch und Luckner (1968 b) und Verma und Brutsaert (1971). In einer Artikelserie aus dem Institut für Boden- und Wasserwirtschaft der Technischen Universität Dresden wurden von Busch u. a. die verschie¬ densten Analogmodelle beschrieben und in ihrer Arbeitsweise erläutert: Ein Spaltmodell (Hele-Shaw Modell) zur Simulation der stationären und in¬ stationären Brunnenströmung wurde von Busch, Peukert und Luckner (1968 c) beschrieben. Das rotationssymmetrische Modell, dessen Spalt sei¬ ne Breite in r-Richtung nach einer Wurzelfunktion dritten Grades ändert eignet sich vor allem zur Simulation von vollkommenen und unvollkomme¬ nen Schluck- und Förderbrunnen bei gespannter und ungespannter Grund¬ wasserströmung. Da das mathematische Modell der Spaltströmung dem der Grundwasserströmung exakt entspricht, kann die Lage der freien Oberflä¬ che und damit die Länge der Sickerstrecke genau ermittelt werden, Bei der Auswertung der instationären Versuche ergeben sich allerdings Schwierig¬ keiten, weil der Zeitmaßstab von r2/ 3 abhängt und somit für jeden Punkt der freien Oberfläche ein anderer Zeitmaßstab gilt. Die Grundlagen der Simulation mittels elektrischer Kontinuumsmodelle (Papiermodelle, elektrolytischer Trog) und die Lösungsmöglichkeiten wur¬ den in zwei Artikeln von Busch, Hackeschmidt und Luckner (1968 d), (1968 e) dargelegt. Diese Modelle eigneten sich für stationâre, ebene und räumliche Probleme (siehe Franke (1964) ) und seien für instationäre Grundwasserbewegungen noch entwicklungsfähig. Bessere Anwendungsmöglichkeiten besitzen nach Busch und Luckner (1968 f) die von ihnen beschriebenen hydraulischen und elektrischen Netzwerke, de¬ ren Entwicklung aber, speziell für instationäre Probleme, noch nichtabge¬ schlossen sei. Physikalisch ähnliche Modelle (Sektormodelle aus Sand oder Glaskugeln mit Wasser oder Glyzerin als strömendem Medium) wurden, soweit es dem Ver¬ 19 fasser bekannt wurde, nur für stationäre Probleme verwendet. Siehe Ehrenberger (1928), Hall (1955), Nahrgang (1965) und Schröter (1967). Diese Untersuchungen befaßten sich hauptsächlich mit der Ermittlung der Ergiebigkeit von vollkommenen und unvollkommenen Brunnen, mit der La¬ ge der freien Oberfläche und mit der Länge der Sickerstrecke am Brunnen¬ schacht. Die Nachteile dieser Modelle bestehen darin, daß der Versuchs¬ ablauf schon bei stationärer Strömung sehr zeitintensiv ist und daß der Ein¬ fluß der Modellabmessungen r./R nur sehr schwer ausgeschaltet werden kann. Sie erscheinen zur Untersuchung von instationären Strömungen unge¬ eignet. Die stürmische Entwicklung der Elektronischen Datenverarbeitungsanlagen in den letzten Jahren eröffnete auch der Behandlung von Grundwasserströ¬ mungsproblemen neue Möglichkeiten. Numerische Lösungsverfahren des mathematischen Modells erschienen bislang aufgrund der Rechenintensität ausgeschlossen. Diese Rechnungen lassen sich nun mit Hilfe von Computern mit vertretbarem Zeitaufwand lösen. Grundlage aller numerischen Verfahren ist die Beschreibung der abhängi¬ gen Variablen durch einzelne, diskreten Stützstellen zugeordnete Werte was mathematisch der Umformung einer Differentialgleichung in ein System algebraischer Differenzengleichungen entspricht. Durch Verbin¬ dung benachbarter Stützstellen entsteht ein Netzwerk, das in seiner Form jeder Geometrie des Grundwasserleiters angepaßt werden kann. Das Differenzenverfahren ist von Schmidt (1956) schon zur Lösung der in¬ stationären Brunnenströmung unter Berücksichtigung der nicht-linearen Randbedingungen an der freien Oberfläche angewandt worden. Aufgrund der damals noch bescheidenen Rechenmöglichkeiten mußte sich Schmidt auf ein instationäres Beispiel mit geringer Absenkung (s./H = 0,2) be¬ schränken. Hierfür ermittelte er die Lage der freien Oberfläche und die Potentialverteilung in Funktion der Zeit. 20- Weitere Anwendungen des Differenzenverfahrens auf die instationäre Brun¬ nenströmung liegen von Esmaili und Scott (1968) und Streltsova und Rush¬ ton (1973) vor. Esmalli und Scott ermittelten auf der Basis der nicht-line¬ aren Boussinesq-Gleichung die Lage der freien Oberflâche und die sekund- liche Wassermenge bei Schluck- und Förderbrunnen. Die Ergebnisse sind in Form von Diagrammen für beide Brunnentypen aufbereitet. Streltsova und Rushton (1973) verwendeten die linearisierte Boussinesq-Gleichung und stellten durch eine Verknüpfung von mittlerer Standrohrspiegelhöhe und Grundwasserstand in einem vertikalen Schnitt eine neue Differentialglei¬ chung her, die mit Hilfe des Differenzenverfahrens hinsichtlich der Lage der freien Oberfläche gelöst wurde. Ein weiteres numerisches Lösungsverfahren stellt die Finite-Element Me¬ thode dar, die zuerst von Zienkiewicz, Mayer und Cheung (1966) auf ge¬ spannte, ebene Grundwasserströmungen angewandt wurde. Taylor und Brown (1967), Finn (1967) und Withum (1967) haben diese Methode hinsicht¬ lich der Behandlung von stationären Problemen mit freier Oberfläche wei¬ terentwickelt. Danach sind mit dieser Methode zahlreiche Probleme der Grundwasserhydraulik gelöst worden. Das mathematische Modell der instationären, ungespannten Grundwasser¬ strömung wurde unter Berücksichtigung der nicht-linearen Randbedingung an der freien Oberfläche von Ehlers (1971) für den ebenen Fall und von Neuman und Witherspoon (1971) für den radialsymmetrischen Fall mit Hil¬ fe der Finite-Element Methode gelöst. Wie von ihnen aufgezeigt worden ist, ermöglicht das Verfahren, den Grundwasserstand als Funktion von Ort und Zeit, die ein- bzw. ausströmenden zeitabhängigen Wassermengen, den Gradienten und die Geschwindigkeit an beliebigen Stellen und zu jeder Zeit zu ermitteln. Die geometrischen Randbedingungen und die hydraulischen Eigenschaften des Grundwasserleiters sind beliebig wählbar. 10. 21 - 3. Das mathematische Modell der Brunnenströmung 3. 1 Berechnungsannahmen Zur Ableitung der Grundgleichungen der instationären Brunnenströmung werden einschränkende Annahmen getroffen, die für alle Kapitel gültig sind und daher den Ausführungen vorangestellt werden sollen. Noraussetrungen Der Grundwasserleiter ist homogen und orthotrop, er besitzt ein star¬ res ,unverschiebliches Korngerüst, das mit Wasser vollgesättigt ist. Die Kennwerte des Grundwasserleiters - Durchlässigkeit und ent¬ wässerbares Porenvolumen - sind unabhängig von der Zeit. Das strömende Medium Wasser ist inkompressibel. Der Grundwasserleiter liegt auf einer horizontalen, undurchlässigen Schicht; seine Ausdehnung in horizontaler Richtung ist unbegrenzt. Der Grundwasserleiter besitzt eine freie Oberfläche und wird von ei¬ nem bis auf die undurchlässige Schicht reichenden, durchgehend ge¬ schlitzten Brunnen entwässert. Eine Sickerfläche kann auftreten. 6. Das Fließgesetz von Darcy ist gültig. Die Trägheitskräfte sind gegenüber der Schwerkraft und den Reibungs¬ kräften klein. Die Kapillarkräfte werden vernachlässigt, ebenso der Einfluß der teil¬ weise gesättigten Zone oberhalb der freien Oberfläche, An der freien Oberfläche herrscht Luftdruck. Es tritt keine Auffüllung durch versickerndes Niederschlagswasser auf; die dem Brunnen entnommene Wassermenge stammt allein aus dem Grundwasserleiter. - 22 11. Die Brunnenachse ist vertikal und gleichzeitig Symmetrieachse. 12. Das hydraulische System ist vertikal radialsymmetrisch. 13. Die Brunnenwandungen üben keinen zusätzlichen Widerstand auf die Grundwasserbewegung aus. 3.2 Dimensionsanalyse Mit Hilfe der Dimensionsanalyse kann man die Beziehungen zwischen n dimensionsbehafteten Variablen, deren Dimensionen sich auf r Grunddi¬ mensionen zurückführen lassen, in eine Beziehung zwischen (n- r) dimen¬ sionslosen Variablen überführen. Dadurch wird also in einer funktionalen Beziehung die Zahl der unabhängigen Variablen um r reduziert. Voraus¬ setzung ist, daß jeder funktionale Zusammenhang eines physikalischen Vor¬ gangs vom verwendeten Maßsystem unabhängig, also dimensionsgerecht ist, Die Dimensionsanalyse soll auch auf das Problem der Grundwasserströmung zu einem Brunnen angewandt werden. Die prinzipielle Vorgehensweise bei der Anwendung der Dimensionsanalyse wird von Kobus (1974) beschrieben. Der Grundwasserstand z wird als abhängige Variable definiert, die Ein¬ flußgrößen als unabhängige Variablen. Unter Berücksichtigung der Berech¬ hungsannahmen (Kap. 3.1) und der Bezeichnungsvereinbarung (Bild 1) kann man schreiben: fitft.H.nkky 9 Die Grunddimensionen - in der Mechanik i. a. 3, nämlich Masse, Länge, Zeit - sind hier Länge und Zeit, somit ist r = 2. Bein = 8 dimensionsbe¬ hafteten Einflußgrößen läßt sich daher die Anzahl der unabhängigen Varia¬ blen auf 6 reduzieren. Durch Anwendung der Methode von Rayleigh (siehe Kobus (1974)) erhält man somit folgende mögliche Kombination der di¬ mensionsbehafteten Einflußgrößen: kH kyH.OE 102.) 23 - Weitere Kombinationen sind denkbar, aber physikalisch weniger sinnvoll. Die Zahl der unabhängigen Variablen in Gleichung (10) läßt sich durch ent¬ sprechende Umformung auf 5 reduzieren. Man erhält: kyt 1111 Eine weitere Vereinfachung ist ohne zusätzliche einschränkende Annahmen (z. B. Isotropie) nicht möglich. Die Variablenkombination der Gleichung (11) dient nun zur Definition von dimensionslosen Einflußgrößen, die zur Unterscheidung von dimensionsbehafteten Größen mit dem Kopfzeiger versehen werden. Es wird definiert: 2"- (12 kyt 1 H:ns Gleichung (11) schreibt sich somit einfacher: z* (13 Die in Gleichung (13) angeschriebenen, sechs dimensionslosen Einflu߬ größen beschreiben das Strömungssystem, unter Berücksichtigung der ge¬ nannten Berechnungsannahmen, eindeutig 3.3 Die Grundgleichungen der instationären Brunnenströmung Die Ableitung der maßgebenden Gleichungen findet sich in jedem Lehrbuch der Grundwasserhydraulik (z. B. Polubarinova-Kochina (1962), De Wiest (1969)); es kann daher nicht der Sinn des Kapitels sein, diese Ableitung in aller Ausführlichkeit zu wiederholen. Absicht der kurzgefaßten Zusam¬ menstellung ist es, dem Leser die Voraussetzungen für die Ableitung der Grundgleichungen und die Gleichungen selbst mit den hier eingeführten di¬ mensionslosen Größen vor Augen zu führen. Die Ableitung erfolgt aller- dings noch in dem gewohnten dimensionsbehafteten System. 3.3.1 Gleichung zur Ermittlung der Standrohrspiegelhöhe Es werden die dem Problem angepaßten Zylinderkoordinaten r,0, z einge¬ führt; wegen Voraussetzung 12. in Kapitel 3. 1 ist das Verhalten der Strö¬ 24- mung in jeder von der z-Achse ausgehenden Halbebene (= konst,) gleich, so daß die Koordinaten r,z zur eindeutigen Beschreibung aus¬ reichen. Wir definieren daher ein rechtshändiges, orthogonales Koordi¬ natensystem r,z wobei die z-Achse, der Schwerkraft entgegengesetzt, ver¬ tikal nach oben zeigt. Die Summe aus Druckhöhe und geodätischer Höhe wird als Standrohrspiegelhöhe bezeichnet: * 141 Wählt man die Hauptachsen des laut Voraussetzung 1. ortsunabhängigen Durchlässigkeitstensors so, daß sie mit dem definierten Koordinatensy¬ stem r.z identisch sind, so erhâlt man das Darcysche Gesetz in folgen¬ der, allgemeiner Form: v. kp 01 15)10 k.V. 8 Gleichung (15) stellt als Bewegungsgesetz der Grundwasserhydraulik eine theoretische Grundlagenformel dar. Die Kontinuitätsbedingung lautet unter Berücksichtigung der Annahmen (Nr. 1., 3. „ 12.) Sv.1. = ( 16 Dr Oz Setzt man die Bewegungsgleichung (15) in die Kontinuitätsbedingung (16) ein und berücksichtigt man, daß die Durchlässigkeiten k, und k. laut Vor¬ aussetzung 1. unabhängig von r bzw. z sind, so lassen sich die Komponen¬ ten der Filtergeschwindigkeit eliminieren und man erhält mit 8 17 25- eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zur Bestimmung der Standrohr¬ spiegelhöhe. Setzt man isotropen Boden voraus, d.h. k, = k, = k, und definiert man das Geschwindigkeitspotential # =-k. h, so erhält man aus Gleichung (17) die bekannte Laplacesche Differentialgleichung der Poten¬ tialtheorie (in Zylinderkoordinaten unter Ausnutzung der Radialsymme¬ trie): dod'130 18 r 2 Da die Zeit t in den Gleichungen (17) und (18) nicht explizit erscheint, gelten diese Gleichungen sowohl für stationäre als auch für instationäre Grundwasserströmungen. Wie von der Potentialtheorie bewiesen, ist die Verteilung des Potentials innerhalb eines Feldes nur dann eindeutig bestimmbar, wenn auf allen Rän¬ dern entweder das Potential oder die partielle Ableitung des Potentials in Normalenrichtung gegeben sind. Dies gilt auch für anisotrope Grundwas¬ serleiter, bei denen sich die Komponenten der Filtergeschwindigkeit nicht unmittelbar aus einem Potential ableiten lassen. Um also im allgemeinen Fall die Verteilung der Standrohrspiegelhöhe zu einer bestimmten Zeit er¬ mitteln zu können, ist die Kenntnis der Verteilung der Standrohrspiegel¬ höhe an dem freien Rand und damit die Kenntnis der Lage der freien Ober¬ fläche zu dieser Zeit erforderlich. Die Zeit t hat somit in den Gleichun¬ gen (17) und (18) ausschließlich die Funktion eines Parameters. Diese Tat¬ sache ermöglicht die Behandlung instationärer Grundwasserströmungen als eine Folge von stationären Zwischenzuständen, wobei die Zeit t das hydraulische System nur über die Lage des freien Randes beeinflußt. 3.3.2 Randbedingungen 1. Benetzter Teil der Brunnenwandung (Linie AB in Bild 2) Bei Annahme hydrostatischer Druckverteilung ist die Linie AB zu jeder 26- Zeit eine Potentiallinie. Die Größe des Potentials wird bestimmt von dem zeitabhängigen Wasserstand im Brunnen. Die Standrohrspiegelhöhe ergibt sich zu 191 wenn man den Luftdruck, wie üblich, zu Null setzt. 2. Undurchlässige Sohle des Grundwasserleiters (Linie BC in Bild 2) Das Wasser kann nur parallel zur Linie BC strômen und nicht durch diese Berandung hindurch. Der Vektor der Filtergeschwindigkeit in Normalen¬ richtung wird daher Null (hier wegen Annahme 4. und der Definition des Koordinatensystems ist die Normalenrichtung gleich der z-Richtung), d. h. 0 und damit Ohtr,0,t) 0 mit 201 O2 a Potentlime LE Freie Oberlleche Stromlne ESickertlache Potentallme Bild 2: Randbedingungen 27 - 3. Vertikale Begrenzung des Grundwasserleiters (Linie CD in Bild 2) In der Entfernung R, die theoretisch unendlich groß ist, erreicht die freie Oberfläche den ungestörten Grundwasserstand. Die gedachte Linie CD wird somit zur Potentiallinie, es gilt 2Hhio,z, t) 4. Freie Oberfläche des Grundwasserleiters (Linie DE in Bild 2) An der freien Oberfläche wirkt gemäß Annahme 9. der zu Null angenomme¬ ne Luftdruck. Es gilt somit auf der gesamten Linie DE und zu jedem Zeit¬ punkt 222hir.z,t1 oder (23hir,z,t )-z = 0 Da die freie Oberfläche eine Grenzfläche zwischen flüssiger und gasförmi¬ ger Phase ist und da gemäß dem Lagrangeschen Theorem für Grenzflä¬ chen die Grenzfläche einer Flüssigkeit stets aus denselben Flüssigkeits¬ teilchen gebildet wird, lautet ihre kinematische Bedingung: z,t)-z) = 0 1 241 Das Differential D/Dt stellt die substantielle Ableitung dar; die Differenti¬ ation folgt der Bewegung der Teilchen an der freien Oberfläche. Mit F. folgt aus Gleichung (24): Oh v 0h.V (251 tn. r n. 02 - 28 wobei und die Komponenten der wahren Fließgeschwindig¬ keit der Teilchen an der freien Oberfläche darstellen. Eliminiert manv und v mit Hilfe von Gleichung (15), so erhält man die Randbedingung der freien Oberfläche: 26akr 22/ Gleichung (26) stellt die bekannte, nicht-lineare Differentialgleichung dar, die die Verschiebungsgeschwindigkeit der freien Oberfläche in Funktion der Zeit beschreibt. Da Gleichung (22) entlang der gesamten Oberfläche gilt, nüssen auch die Änderungen der beiden Funktionen längs der freien Oberfläche gleich sein. Es gilt: h! Os 27 Durch die Umformung 28 und Multiplikation der Gleichung (28) mit erhält man 22 (1 29 Gleichung (29) in Gleichung (26) eingesetzt, ergibt mit (2 130( eine nicht-lineare Differentialgleichung, die unmittelbar die Veränderung der z-Koordinate der freien Oberfläche über die Zeit angibt. Die partiel¬ len Ableitungen der Standrohrspiegelhöhe auf der rechten Seite der Glei¬ chung (30) sind entlang der freien Oberfläche zu bilden. 29 - 5. Sickerfläche am Brunnenrand (Linie EA in Bild 2) In der Sickerfläche herrscht, ebenso wie entlang der freien Oberfläche, der zu Null angenommene Luftdruck. Es gilt somit: 311hlz,t) mit z z2 1 3.3.3 Formulierung des mathematischen Modells Das in Bild 1 dargestellte hydraulische System der Strômung zu einem Brunnen wird, unter Berücksichtigung der in Kapitel 3. 1 getroffenen An¬ nahmen, durch ein Gleichungssystem beschrieben, welches hier als "mathe¬ matisches Modell" bezeichnet wird. Die Differentialgleichungen und die Randbedingungen sind in den vorausgegangenen Kapiteln 3.3.1 und 3.3.2 hergeleitet worden. Da die Lösung zur Reduzierung der Zahl der unabhängigen Variablen mit dimensionslosen Größen durchgeführt wird, soll die Gleichungsgruppe mit dimensionslosen Parametern nochmals angeschrieben werden. Ergänzend zu Gleichung (12) werden folgende dimensionslose Größen definiert: D5 32- Das mathematische Modell lautet in dimensionsloser Schreibweise; (33 (r) . 24 )(8) 8 S)tgltigfur 36gultig für zzh'l,z,)21 Or0 gultig für 37) 32 h*l, z*, t")1 B1 - 30 - 39 Gleichung (39) wurde neu hinzugefügt und stellt eine Anfangsbedingung zur Lösung von Gleichung (34) dar. Die Gleichungen (33) bis (39) sind, bis auf die in Kapitel 3. 1 genannten Annahmen, frei von Näherungen, so daß die bisher vielfach auftretende Beschränkung der Lösung entfällt. Eine ge¬ schlossene, theoretische Lösung der Gleichungsgruppe existiert bisher nicht. 3.4 Übergang der freien Oberfläche zur Sickerfläche Dieser Übergang ist im Fall der stationären Strömung schon von Nahrgang (1954) näher untersucht worden. Nahrgang beweist, daß eine Sickerfläche in jedem Fall einer Absenkung des Brunnenwasserspiegels existiert und daß die freie Oberfläche, die bei stationärer Strömung eine Stromlinie dar¬ stellt, tangential in die Sickerfläche einmündet. Es war daher zunächst zu prüfen, ob die von Nahrgang für den stationären Fall bewiesenen Behauptun¬ gen auch für die instationäre Strömung zutreffen. Dracos (1962) hat für den ebenen, instationären Fall die Existenz der Sik¬ kerfläche bewiesen und gezeigt, daß auch im instationären Fall die freie Oberfläche zu jeder Zeit tangential in die Sickerfläche einmündet. Der Vek¬ tor der Filtergeschwindigkeit in dem Schnittpunkt von freier Oberfläche und Sickerfläche, von nun "Hangquelle“ genannt, ist demnach zu jeder Zeit parallel zur Tangente an die freie Oberfläche in diesem Punkt und somit parallel zur Sickerfläche gerichtet und besitzt die Größe v=-k. sin ß Die maximale Verschiebungsgeschwindigkeit der Hangquelle beträgt daher sin B. Die Hangquelle stellt sowohl einen Bestandteil der freien Oberfläche als auch der Sickerfläche dar. Die Randbedingung der Sickerfläche (siehe Ka¬ pitel 3.3.2, Punkt 5.) gilt somit auch für die Hangquelle. Demnach wird 31- =0.1 undin der Hangquelle bei vertikaler Sickerfläche Die Verschiebungsgeschwindigkeit dieses Punktes ist wegen der dann ein¬ tretenden Divisionmit der Randbedingung der freien Oberfläche, der nicht-linearen Differentialgleichung (30), nicht mehr zu ermitteln. Das Absinken der Hangquelle bewirkt also lediglich eine Störung des Gleichge¬ wichts und nur die zeitabhängige Verschiebungsgeschwindigkeit entlang der freien Oberfläche infolge dieser Störung wird durch die Bewegungsglei¬ chung beschrieben. Der anisotrope Grundwasserleiter ist durch eine Verzerrung des Koordi¬ natensystems in einen isotropen Grundwasserleiter transformierbar. Da¬ her mündet die freie Oberfläche auch bei Anisotropie des Grundwasserlei¬ ters tangential in die Sickerfläche ein. Die von Dracos für den ebenen Fall bewiesenen Zusammenhänge sind wegen des kontinuierlich erfolgenden Grenzübergangs von ebener zu radialer Strömung auch im vorliegenden radialsymmetrischen Fall zutreffend. 4. Problemlösung mit Hilfe der Finite-Element Methode (FEM) 4.1 Die Grundlagen der FEM und ihre Anwendung auf die Grundwasserströ¬ mung 4.1.1 Theoretische Grundlage Die Laplacesche Differentialgleichung Gleichung (33) zu lösen ist mathe¬ matisch gleichbedeutend damit, eine Funktion h" zu finden, die das folgen¬ de Integral J (40 zu einem Minimum macht. Der Integrationsbereich erstreckt sich hierbei über das gesamte durchströmte Gebiet, 32 Die Aquivalenz der Problemstellung läßt sich mit Hilfe der Prinzipien der Variationsrechnung beweisen. Es ist eine notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes des Integrals J, daß die gesuchte Funktion h re, z der sogenannten Eulerschen Differentialgleichung genü¬ gen muß. Die Laplacesche Differentialgleichung (33) ist aber mit der Eu¬ lerschen Differentialgleichung des Variationsproblems Gleichung (40) iden¬ tisch. Bei Anwendung der Finite-Element Methode zur Lösung des Varia¬ tionsproblems Gleichung (40) wird der durchströmte Bereich in willkürlich gewählte und willkürlich geformte, endlich kleine Elemente eingeteilt. Wenn die unbekannten Werte der gesuchten Funktion h* in den Knotenpunk¬ ten den Verlauf der Funktion innerhalb des eingeschlossenen Gebietes ein¬ deutig beschreiben, erhält man durch Differentiation des Integrals J nach den h'-Werten in den Knotenpunkten und durch das zu Null setzen ein Glei¬ chungssystem, das, nach Einarbeitung der Randbedingungen, nach den un¬ bekannten Werten der Funktion h" in den Knoten aufgelöst werden kann, Be¬ züglich der Aufstellung und Lösung des Gleichungssystems wird auf die Literatur (z. B. Zienkiewicz (1967), (1971)) verwiesen. 4.1.2 Zur Wahl des Elementtyps Die zunächst einfachste geometrische Form der endlich kleinen Elemente stellt im ebenen Fall das Dreieck dar. Das Dreieckselement mit einem li¬ nearen Ansatz der Standrohrspiegelhöhe A.S.YC 41 innerhalb des Elementes und somit konstanter Geschwindigkeitsverteilung im Element bietet den Vorteil einer guten Konvergenz der Potentialfunktion bei relativ geringem Berechnungsaufwand, besitzt aber den Nachteil einer relativ schlechten Näherung für die Geschwindigkeitsverteilung (siehe Meißner (1973)). Die zu entwickelnden Programme werden aber bei Ver¬ wendung von Dreieckselementen mit linearem Ansatz der Standrohrspiegel¬ höhe relativ einfach und leicht überschaubar, so daß zunâchst nur diese Elemente verwendet werden sollen. - 33- Bedingt durch das radialsymmetrische Strömungssystem werden aus den ebenen Dreiecks-Elementen räumliche Torus-Elemente mit dreieckförmi¬ gem Meridianschnitt. Der Ansatz für die Standrohrspiegelhöhe lautet ana¬ log Gleichung (41) hABIC 42 Zienkiewicz, Mayer und Cheung (1966) ziehen zur Lösung Dreieckselemen¬ te mit drei Knoten und linearem Ansatz für die Standrohrspiegelhöhe heran, während Neuman und Witherspoon (1971) und Desai (1972) isoparametri¬ sche Elemente mit vier Knoten verwenden. Meißner (1973) entwickelte für Dreieckselemente mit drei und sechs Kno¬ ten gemischte Ansatzfunktionen, die neben der Standrohrspiegelhöhe auch die Filtergeschwindigkeit oder auch die Stromfunktion enthalten. 4.1.3 Zur Lösung von Problemen ohne freie Oberfläche Bei Strömungsproblemen ohne freie Oberfläche sind die geometrische Form der Ränder, ihre Lage und die geltenden Randbedingungen bekannt. Das Gleichungssystem ist also hinsichtlich der unbekannten Werte der Standrohrspiegelhöhe in den Knoten lösbar. Alle anderen interessierenden Größen, Druckverteilung, Geschwindigkeitsverteilung und Wassermenge, lassen sich aus der Potentialverteilung ableiten. 4.1.4 Zur Lösung von Problemen mit freier Oberfläche Die Lage der freien Oberfläche ist zu Beginn der Rechnung noch unbekannt, ihre Ermittlung also Bestandteil der Rechnung selbst. Bei stationärer Strömung ist die freie Oberfläche eine Randstromlinie. Man wählt eine sinnvolle Lage der Randstromlinie, löst das Gleichungs¬ system und prüft, ob die Bedingung der freien Oberfläche hlr.z,t) 2 22 - 34. in allen Knotenpunkten der freien Oberfläche eingehalten ist. Bei Abwei¬ chungen ist das Netz entsprechend zu korrigieren und das System ist neu zu rechnen, Die Autoren (z. B. Finn (1967) , Withum (1967) ) unterschei¬ den sich allein in der Durchführung der Korrektur. Es ist weiterhin möglich, das stationäre Problem wie ein instationäres Problem zu behandeln. Die Rechnung wird zunächst mit einer für den stationären Zustand geschätzten Oberfläche begonnen. Ergibt sich eine mit Hilfe der Bewegungsgleichung (34) zu ermittelnde Verschiebungsge¬ schwindigkeit in den Knoten der freien Oberfläche, so wird das Netz ana¬ log der Vorgehensweise bei instationärer Strömung verformt. Dieses Ver¬ fahren wird solange wiederholt, bis die Verschiebungsgeschwindigkeit der Randknoten hinreichend klein ist. Bei instationärer Strömung wird die Verschiebungsgeschwindigkeit der freien Oberfläche von der nicht-linearen Differentialgleichung (34) beschrie¬ ben. Die eigentliche Problematik besteht also in der Integration der Bewe¬ gungsgleichung, wobei die Geschwindigkeit in den betrachteten Knotenpunk¬ ten an der freien Oberfläche bekannt sein muß. Der zeitliche Verlauf der instationären Strömung wird, aufbauend auf dem Grundgedanken von Heinrich und Desoyer (1955), durch schrittweise Be¬ rechnung mit endlichen Zeitintervallen approximiert: Das durch eine Anfangsbedingung gegebene hydraulische System wird zum Zeitpunktt* = 0 durch eine plötzliche Veränderung der Randbedingungen im Gleichgewicht gestört. In diesem Zustand ermittelt man, z. B. mit Hil¬ fe der Finite-Element Methode, die Potentialverteilung und daraus die Ge¬ schwindigkeiten in allen auf der freien Oberfläche liegenden Knotenpunkten. Bei dieser Betrachtungsweise werden die während der Anlaufzeit auftreten¬ den Beschleunigungen vernachlässigt. Dracos (1962) hat bewiesen, daß die Phase nicht vernachlässigbarer Beschleunigungen äußerst kurz ist, so daß die Anlaufzeit im Vergleich mit der Dauer des Strömungsvorgangs vernach¬ lässigt werden kann. Es ist daher berechtigt, zur Zeit t" = 0 bereits die 35 - Geschwindigkeitsverteilung der quasistationären Strömung in die Rechnung einzuführen. Aus der Bewegungsgleichung (34) erhält man die Verschiebungsgeschwin¬ digkeiten der Oberflächenpunkte und damit ihre neue Lage am Ende eines beliebig gewählten Zeitintervalls. Das Verfahren wird anschließend wie¬ derholt, wobei das bekannte hydraulische System als Ausgangszustand für ein neues Zeitintervall aufgefaßt wird. 4.1.5 Zur Verformung des Elementnetzes Bei der instationären Strömung wird der durchströmte Bereich, über den das Integral in Gleichung (40) zu erstrecken ist, aufgrund der Bewegung der freien Oberfläche ständig verändert. Das Elementnetz muß daher in ir¬ gendeiner Form auf diese Veränderungen Rücksicht nehmen. In allen neue¬ ren Veröffentlichungen (Ehlers (1971), Neuman und Witherspoon (1971), Desai (1972)) wird das Elementnetz so verformt, daß die Randknoten stets auf dem Rand bleiben. Die Knoten der freien Oberfläche werden zunächst um das aus der Bewegungsgleichung ermittelte Maß verschoben, dann wer- den die übrigen Knoten den veränderten geometrischen Randbedingungen an¬ gepaßt. Die genannten Verfasser haben hierzu unterschiedliche Verfahren entwickelt. Da das Verfahren von Ehlers (1971) für das eigene Programm verwendet wurde, soll es hier in seinem Prinzip erläutert werden: Das durchstromte Gebiet wird als elastisches Kontinuum betrachtet und sei¬ ne Verformung wird nach den Gesetzen der Elastizitätstheorie ermittelt. Um für jeden Knoten analog zur Grundwasserströmung nur einen Freiwert zu bekommen, werden die Netzpunkte in ihrem Grundriß festgehalten und nur in vertikaler Richtung verschoben. Mit Hilfe der FEM werden nun, un¬ ter Berücksichtigung der Randverschiebungen, die Vertikalverschiebung der übrigen Knoten und somit die neuen Koordinaten der Knotenpunkte er¬ mittelt. Da nur Randverschiebungen vorgegeben werden und keine äußeren Kräfte, und da das Kontinuum hinsichtlich seiner elastischen Eigenschaften 36- als homogen vorausgesetzt wird, ist die absolute Größe der elastischen Parameter belanglos. Sie können daher mit den Durchlässigkeiten des Grundwasserleiters zahlenmäßig gleichgesetzt werden. Bei der Ermittlung der Netzverformung kann somit die gleiche Koeffizientenmatrix verwendet werden, wie sie bei der Ermittlung der Standrohrspiegelhöhe aufgebaut wurde, Dieses Verfahren ist leicht in den Programmablauf integrierbar; es hat aber den erheblichen Nachteil, daß der sehr rechenzeitintensive Algorith¬ mus zur Auflösung des Gleichungssystems nochmals durchlaufen werden muß und man die nur geringen Verformungen unterliegenden Teile des Kontinuums nicht aus dem Lôsungsalgorithmus ausblenden kann. 4.1.6 Zur Integration der Bewegungsgleichung Die Integrationsverfahren unterscheiden sich darin, für wielange und in welchem Umfang sie die nur zu Beginn des Zeitintervalls gültigen Geschwin¬ digkeiten in den Knoten der freien Oberfläche als maßgebend erachten. Ehlers (1971) hat sich mit drei möglichen Integrationsmethoden befaßt und die Verfahren hinsichtlich ihrer Genauigkeit und ihres Rechenzeitbedarfs miteinander verglichen. Die Integration nach Runge-Kutta war bierbei hin¬ sichtlich der Genauigkeit den Verfahren nach Euler-Chauchy und nach der Trapezregel überlegen, benötigte aber auch den größten Rechenaufwand. Die Anwendbarkeit der Integrationsmethoden für gewöhnliche Differential¬ gleichungen auf die im Ursprung partielle Differentialgleichung ist auf ei¬ ne Diskretisierung der Bewegungsgleichung zurückzuführen. Der Grundwasserleiter wird bei Anwendung der FEM in endlich kleine Ele¬ mente zerlegt und der gesuchte Wert der Lösungsfunktion h (re,z, t) wird nur in diskreten Punkten, den Knotenpunkten des Netzes, erhalten. Die Lösung der Bewegungsgleichung der freien Oberfläche wird daher eben¬ falls nur für die auf der freien Oberfläche liegenden Netzpunkte gesucht, deren Grundrißkoordinaten r. sich, gemäß Vereinbarung, während der 37- Verschiebungen nicht ändern. Betrachtet man nun einen Punkt i der frei¬ en Oberfläche, so gibt die Bewegungsgleichung die Abhängigkeit der Ver¬ schiebungsgeschwindigkeit dieses Knotens von der Zeit an f(z, t*) 43 die Variable r' entfällt. Die partielle Differentialgleichung (34) zerfällt somit in ein entkoppeltes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen mit nur einer unabhängigen Variablen z?. Die Funktion f (z., t*) ist nicht analytisch gegeben; es können jedoch einzelne Funktionswerte zu be¬ stimmten Zeitpunkten in den Knoten der freien Oberfläche aus der zugehö¬ rigen Potentialverteilung ermittelt werden. Die Verschiebungen ergeben sich dann durch Multiplikation des maßgebenden Funktionswertes mit der gewählten Länge des Zeitintervalls At Das Verfahren von Runge-Kutta ist in der einschlägigen mathematischen Literatur, z. B. Zurmühl (1965), und in seiner Anwendung auf die Integra¬ tion der Bewegungsgleichung der freien Oberfläche bei Ehlers (1971) be¬ schrieben und wird daher im Rahmen der vorliegenden Arbeit nur kurz er¬ läutert. Das Prinzip der Methode (siehe auch Bild 3) besteht darin, aus vier, nach Vorschrift der Differentialgleichung fz, t), vorläufig (d2 ermittelten Steigungswerten der Lösungskurve einen Mittelwert derart zu bilden, daß der damit errechnete endgültige Näherungswert mit der wahren LsungeTaylor- Entwicklung vom Anfangswert t aus in möglichst vielen t-Potenzen über¬ einstimmt. Dieser Mittelwert lautet: 24 2.(x)n( und damit das endgültige Ergebnis t"15. At 45 A das als Ausgangszustand der nächsten analogen Schrittrechnung dient. - 38 - ..t 1 1 Potential«, Patentiale nPoientialo Wasserabflus Q, Wasserabfluß Q.Masserabntun 8 Randverschiebunger RandverschlebungenRandverschiebungen (4 un Nelzverformung Netzverformung Retzverlormung Mittiere Verschlebungsgeschwindigkeit (8 48) 1(). 2(8r)() Endgültige Randverschiebungen a e A NN Leraber en k Endgültige Netzverformung, neue z-Koordinaten zum Zeitpunkt11 At Endgultige sekundliche Wassermengt 20O O System zum Zeitpunkt t * + At dient als neues Crundsystern fûr nächstes Zeitinterval Bild 3: Integration nach Runge-Kutta nen . Potential Waserabflué G,y Randverschiebungen 39 - Das Verfahren schließt den Taylor-Abgleich bis zum Glied t einschlie߬ lich ein, der Fehler ist also von der Ordnung t. Das bedeutet, daß der Fehler bei Schrittverkleinerung sehr rasch mit t abnimmt, bei Schritt¬ vergrößerung aber auch entsprechend stark zunimmt. Der Schrittbemes¬ sung kommt also bei dieser numerischen Integration eine entscheiden de Bedeutung zu. Zur Abschätzung der Rechengenauigkeit wird daher die "Schrittkennzahlw " eingeführt (siehe Zurmühl (1965), S. 423) . N* 2 46 (E). (X.). die für mittlere Genauigkeitsansprüche nach Zurmühl (1965) im Bereich 0,1 0,2 liegen soll. Die Größe der Schrittkennzahl dient als Kri¬ terium zur Beurteilung, ob die Länge des betreffenden Zeitintervalls zu klein oder zu groß gewählt wurde. 4.2 Programmbeschreibung 4.2.1 Anwendungsbereich und Kopplungsmöglichkeiten Das in FORTRAN IV geschriebene Rechenprogramm FLOWA - bestehend aus dem Hauptprogramm und ca. 25 Unterprogrammen - gestattet die Ana¬ lyse von ebenen und radialsymmetrischen, stationären und instationären Grundwasserströmungsproblemen mit und ohne freie Oberfläche. Die geo¬ metrische Form des Grundwasserleiters und seine Randbedingungen unter¬ liegen hierbei keiner Beschränkung. Die Durchlässigkeit des Grundwasser- leiters und das Durchlässigkeitsverhältnis k./k., müssen nur elementweise konstant sein, während die Hauptachsen der Durchlässigkeitstensoren im gesamten System mit den Koordinatenachsen übereinstimmen müssen. Als Fließgesetz ist momentan allein das lineare Fließgesetz nach Darcy implementiert. Die Integration der Bewegungsgleichung der freien Ober¬ fläche erfolgt nach dem Verfahren von Runge-Kutta, die Auflösung der positiv definiten, symmetrischen Bandmatrix nach dem Verfahren von Cholesky. 40- Zur Zeit stehen zwei Elementtypen zur Verfügung, das Dreieckselement für ebene und das Torus-Element mit dreieckförmigem Meridianschnitt für radialsymmetrische Probleme bei linearem Ansatz für die Standrohr¬ spiegelhöhe. Der Einbau weiterer Elementtypen ist jedoch aufgrund der Programmgliederung ohne weiteres möglich. Bei der Bearbeitung konkreter Problemstellungen wird die im Bild 4 sche¬ matisch dargestellte und nachstehend erläuterte Folge von Operatoren durchlaufen. TOPONET NIIE BEFLO FLOWA — LFIOSE. PLDET KONPAT NUBNT NEN Bild 4: Kopplungsmöglichkeiten von FLOWA Die Generierung der Netzdaten - Element-Knoten-Zuordnung und Koordina¬ ten der Knotenpunkte - erfolgt mit dem von Führing (1973) entwickelten Pro¬ gramm TOPONET. Das Programm nimmt nach der Entwicklung der Netzto¬ pologie eine Umnumerierung der Knoten dergestalt vor, daß eine optimale Bandbreite der Koeffizientenmatrix entsteht. Die Randbedingungen des hy¬ draulischen Systems zur Ermittlung von Potential und Stromfunktion und zur 41 - Ermittlung der Verformungen werden von dem Operator RABE, die für in¬ stationäre Probleme häufig benötigte Knoten-Element- Zuordnung von dem Operatoi BEFLO aufgestellt. TOPONET, RABE und BEFLO können zwar im Abschnittsmodus gestartet werden, sie sind aber speziell für den Dialogbetrieb geschrieben; dadurch kann der sich im ständigen Kontakt mit dem Rechner befindende Benutzer die gesamten Eingabedaten in relativ kurzer Zeit erstellen. Aufgrund der weitgehend automatisierten Erzeugung der Eingabedaten sind diese frei von zufälligen Übertragungsfehlern und die Fehlerdiagnose innerhalb der Programme schaltet logische Fehler bei den wenigen, vom Benutzer erstellten Eingabedaten mit hoher Wahrscheinlich¬ keit aus. Der ansonsten zeitraubende Datentest kann daher entfallen. So¬ bald die Eingabedaten erstellt sind, kann FLOWA gestartet werden. Die zur Problemkennung und zum Ablauf erforderlichen Steuerparameter werden im Gesprächsmodus von FLOWA an der Konsole erfragt und im Abschnittsmo¬ dus von der Datendatei eingelesen. Die Ergebnisse werden in langfristigen Dateien abgelegt und stehen dort zur weiteren Bearbeitung zur Verfügung. Bei der bei FE-Programmen üblichen Datenfülle ist eine sinnvolle Auswer¬ tung nur mit entsprechenden Zeichenprogrammen möglich. Czapla (1975) hat als Bestandteile des Systems zur graphischen Datenverarbeitung PLOSYS die Operatoren zum Zeichnen der Struktur PLOST, zum Zeich¬ nen der Geschwindigkeitsvektoren PLOVV und zur Ermittlung und zeichne¬ rischen Darstellung der Potentiallinien PLOTO entwickelt. Die für diese Programme erforderlichen Eingabedaten werden von KOMPAT aus den von FLOWA erzeugten Daten aussortiert und anschließend entsprechend den Konventionen von PLOSYS auf Dateien geschrieben. Der Operator PLOSPL dient zur vergleichenden Auftragung der freien Oberfläche, wodurch besonders der Einfluß der Zeit und der Variation der hydraulischen und geometrischen Parameter deutlich gemacht werden kann. 42- 4.2. 2 Programmablauf Der Programmablauf von FLOWA ist schematisch in Bild 5 dargestellt und wird nachfolgend beschrieben. Im Hauptprogramm werden zunächst die in den Unterprogrammen variab¬ len Zahlenfelder dimensioniert; es folgen Angaben zur optimalen Aus¬ nutzung der Speicherkapazität. Nach dem Einlesen der Strukturdaten, der Referenzliste, die Angaben zu den hydraulischen Eigenschaften der Ele¬ mente enthält, der Randbedingung (bei instationären Problemen zum Zeit¬ punkt t = 0) und der Steuerparameter wird das zum jeweiligen Problem ge¬ hörende Unterprogramm aufgerufen, das alsdann den weiteren Programm¬ ablauf steuert. Bei Problemen ohne freie Oberfläche (confined flow), die auch bei umfang¬ reicheren Systemen nur wenig Rechenzeit erfordern, ist eine Restart-Mög¬ lichkeit wenig sinnvoll und daher auch nicht implementiert. Das Programm beginnt sofort mit dem Aufstellen der Koeffizientenmatrix, arbeitet dann die das Problem näher beschreibenden Randbedingungen ein, wobei gleich¬ zeitig auch die rechten Seiten des Gleichungssystems ermittelt werden, und löst das Gleichungssystem hinsichtlich der Knotenpotentiale auf. Falls auch die Werte der Stromfunktion in den Knoten interessieren, werden in die ursprünglich aufgebaute und zu diesem Zweck konservierte Koeffizien¬ tenmatrix die vorgegebenen Werte der Stromfunktion auf dem Rand einge¬ arbeitet und das Gleichungssystem nochmals hinsichtlich der Stromfunk¬ tion in den Knoten gelöst. Der Wasserzufluß kann anschließend mit dem Programm bestimmt werden, Gleichzeitig besteht durch die Ermittlung von ein- und ausstrômender se- kundlicher Wassermenge die Möglichkeit, das Programm hinsichtlich der Genauigkeit bei der Geschwindigkeitsermittlung zu kontrollieren. Wie schon in Kapitel 4. 1. 2 ausgeführt,besitzt der hier verwendete Elementtyp den Nachteil einer schlechten Näherung für die Geschwindigkeit, so daß die Überprüfung der ein- und ausströmenden sekundlichen Wassermenge - ent¬ 43 - sprechend der Gleichgewichtskontrolle in der Statik bei Verwendung der Formänderungsgrößenmethode - als echte Kontrolle zweckmäßig ist. Die Genauigkeit kann durch eine Elementverdichtung in Bereichen großer Gradienten und durch die absolute Zahl der Elemente selbst beeinflußt werden. Bei der Untersuchung des hydraulischen Grundbruchs oder bei der Frage der Erosionssicherheit ist die Kenntnis von Gradient oder Geschwindigkeit in bestimmten Bereichen erforderlich. Daher wird dem Benutzer über Steuerparameter die Möglichkeit gegeben, sich in beliebig ausgewählten und in beliebig vielen Elementen und/oder Knoten Gradient und/oder Ge¬ schwindigkeit nach Größe und Richtung zu ermitteln. Bei Problemen mit freier Oberfläche (unconfined flow) ist, bedingt durch die Vielzahl der Iterationsschritte, eine Restart-Möglichkeit unbedingt er¬ forderlich. Das problemspezifische Steuerprogramm entscheidet daher zu¬ nächst anhand der logischen Variablen RESTAR, ob Restart-Version vor¬ liegt und wenn ja, anhand der Variablen NIT, bei welchem Iterationsschritt wieder aufgesetzt werden soll. Wenn Restart-Version vorliegt, werden die im Hauptprogramm eingelesenen und bei instationären Problemen nur zum Zeitpunkt t = 0 gültigen Strukturdaten mit den aus dem letzten Iterations¬ schritt stammenden und auf Dateien gesicherten Daten überschrieben. An¬ hand dieser neuen Strukturdaten werden dann die Randbedingungen entspre¬ chend korrigiert. Nach dieser nur bei Restart-Version erforderlichen Auf¬ bereitung der Daten beginnt der Algorithmus zur Integration der Bewegungs¬ gleichung nach Runge-Kutta. Das Gleichungssystem wird hier in jedem der vier Zwischenschritte zweimal gelöst, zunächst hinsichtlich der Potentiale in den Knoten, dann - nach der Ermittlung der Randverschiebungen an der freien Oberfläche - hinsichtlich der Vertikalverschiebungen der Knoten. Liegt die Genauigkeit der Integration in bestimmten, vorgegebenen Schran¬ ken, so braucht die Rechnung nicht mit korrigierter Intervallänge wieder¬ holt zu werden. Die Ergebnisse dieses Iterationsschrittes werden alsdann auf langfristigen Dateien gesichert und auf der Liste ausgedruckt. Wenn die vorgegebene Zeitschranke noch nicht erreicht ist, wird der momenta¬ 44- - 45- ne Zustand als Ausgangszustand für das nächste Zeitintervall betrachtet und die Rechnung mit neuen Daten wiederholt. Somit erhält man die Lage der freien Oberfläche als Funktion der Zeit. Die Randbedingungen sind hier¬ bei zwar während der Zwischenschritte konstant aber zwischen den Itera¬ tionsschritten beliebig veränderbar, so daß jede Betriebsweise - definierte, konstante, oder zeitabhängige Potentialdifferenz oder definierte sekundli¬ che Förderwassermenge - simuliert werden kann. Die für ein bestimmtes Zeitintervall maßgebende sekundlich ausströmende Wassermenge wird aus dem Mittelwert der sekundlich ausströmenden Was¬ sermengen in jedem der vier Zwischenschritte bestimmt. Die Bildung des Mittelwertes für den Wasserabfluß erfolgt hierbei analog der Mittelung der Verschiebungsgeschwindigkeit. Auf den Vergleich von Zu- und Abfluß wird während der Routinerechnungen verzichtet, da dies bei instationären Pro¬ blemen eine nicht unwesentliche Rechenarbeit erfordert. Die Eignung des Elementnetzes kann durch Voruntersuchungen, bei denen Zu- und Abfluß im zum Zeitpunkt t = 0 gültigen Netz verglichen werden, getestet werden. Es wird damit angenommen, daß in den Folgerechnungen die Differenz zwi¬ schen Zu- und Abfluß sich nur unwesentlich andert und daß der Abfluß aus dem Grundwasserleiter die maßgebende sekundliche Wassermenge darstellt. Sofern auch bei der instationären Grundwasserströmung Gradient und Ge¬ schwindigkeit in beliebig gewählten Knoten oder Elementen interessieren, können diese Informationen durch das Nachlauf-Programm KOMPAT (siehe Bild 4) aus den in jedem Iterationsschritt gesicherten Daten errech¬ net werden, Um die Genauigkeit der Integration beurteilen zu können, wird die in Glei¬ chung (46) definierte Schrittkennzahl * ermittelt. Die Genauigkeit ist aus¬ reichend, wenn eine noch zu wählende Schranke nicht überschritten wird. Um häufige Wiederholungsrechnungen zu vermeiden, werden in FLOWA die untere und obere Schranke gegenüber der Empfehlung von Zurmühl (siehe Kapitel 4.1. 6) verschoben. Die Integration wird als ausreichend ge¬ nau angesehen, wenn die Schrittkennzahl im Bereich 0,04 2 N = 0,25 liegt. 46 - Das Steuerprogramm reagiert auf Werte außerhalb dieses Bereiches wie folgt: Kalls NI—2004 falls 0,25 * N O,50 A22 falls O50A und Wiederholen des Rechenvorgangs (siehe Bild 3). Die Schrittkennzahl wird außerdem zur automatischen Schrittsteuerung, d.h. zu einer vom Steuerprogramm selbst gewählten Länge des folgenden Zeitintervalls At, benutzt. 5. Die Strömung zu einem vollkommenen Brunnen bei konstanter,plötz¬ lich eintretender und völliger Absenkung 5.1 Erfassung des horizontal unbegrenzten Grundwasserleiters Grundwasserfassungsanlagen werden normalerweise in horizontal ausge¬ dehnten Grundwasserleitern installiert. Um die durch eine willkürliche Be¬ grenzung des durchströmten Gebietes möglicherweise auftretenden Randein¬ flüsse auszuschalten und um die realen Verhältnisse ohne übertriebenen Aufwand möglichst naturgetreu zu simulieren, wird folgende Vorgehens¬ weise gewählt: Der unendlich ausgedehnte Grundwasserleiter wird fiktiv in zwei Bereiche aufgeteilt (siehe Bild 6) und nur der dem Brunnen unmittelbar benachbarte Bereich mit rer: R wird durch ein FE-Netzwerk repräsentiert. Die Verformungen innerhalb dieses Bereiches werden, wie in Kapitel 4.1.5 beschrieben, mit Hilfe der FEM ermittelt, In dem daran anschließenden äußeren Bereich mit Rerc wird die Näherungslösung von Theis (1935) als gültig angesehen; die Verformungen der freien Oberfläche erge¬ ben sich dann unmittelbar durch Auswertung der von Theis angegebenen Gleichung (siehe Gl. (5) ). Im Fall des Brunnens mit konstanter Absenkung 47 - wird näherungsweise die im vorhergehenden Zwischenschritt ermittelte, sekundlich ausfließende Wassermenge mit der in die Theissche Lösung einzuführenden, konstanten Förderwassermenge gleichgesetzt. Diese Vor¬ gehensweise erscheint in Anbetracht der geringen Verformungen berech¬ tigt. THEIS — 00FEM -R Bild 6: Teilung des Grundwasserleiters in 2 Bereiche Weiterhin wird angenommen, daß die Potentiallinien in der Entfernung r = R bei geringer Neigung der freien Oberfläche vertikal verlaufen. Allen auf dem Vertikalschnitt r = R liegenden Netzpunkten wird daher das Potential des Oberflächenpunktes als Randbedingung zugewiesen. Da¬ durch kann ein Potentialabbau auch außerhalb des von dem Netzwerk er¬ faßten Bereiches erfolgen, der Grundwasserleiter ist nicht auf den Bereich rRbeschränkt. Die Netzwerkabmessungen werden so gewählt, daß das Seitenverhältnis (R-lH=3 ergibt. Die Reichweite des Netzwerkes beträgt somit R = 3H +r, oder R e 3H. In dieser Entfernung sind die Voraussetzungen, die der Theisschen Lösung zugrunde liegen (siehe Kapitel 2. 2), zutreffend. Beschränkt man die Untersuchungen auf einen isotropen Grundwasserlei¬ ter, so könnte man in Anlehnung an die von Hantush (1964) angegebene Gûl - 48 - tigkeitsgrenze der Dupuit-Forchheimer Annahmen die Netzlänge auf R = 1,5H verkürzen. Da aber auch bei anisotropen Grundwasserleitern, die man sich durch die Koordinatentransformation 2 47) in isotrope Grundwasserleiter überführt denken kann, die Verformungen des entferntesten Netzpunktes der freien Oberfläche mit der Gleichung von Theis ermittelt werden sollen, sollte auch das so verzerrte (i. a. verkürzte) System nicht kürzer als R = 1,5H =. 3 - H sein. Dies entspricht einem Durchlässigkeitsverhältnis von k./k. = 4, das zu untersuchen unter diesen Voraussetzungen noch möglich wäre. Der somit mögliche Schwankungsbe¬ reich des Durchlässigkeitsverhältnisses k,/k. von 1 bis 4 überdeckt die meisten praktischen Fälle, so daß die Netzwerklänge R= 3H für diese Bandbreite ausreichend dimensioniert ist. Da aber eine mit geringen Feh¬ lern behaftete Verformung des entferntesten Knotens keinen wesentlichen Einfluß auf das Verhalten des durchströmten Systems hat und da der durch eine Netzverlängerung erreichbare Genauigkeitszuwachs in keinem Verhält¬ nis zum erforderlichen Rechenaufwand steht, wird mit dem R= 3H langen Netzwerk auch ein Grundwasserleiter mit dem extremen Durchlässigkeits¬ verhältnis k,/k. = 10 untersucht. Das verzerrte System hat somit die Län¬ ge R-. 3H - 0,95H, was außerhalb der Gültigkeitsgrenze der Dupuit¬ Forchheimer Annahmen liegt. Die bei den Genauigkeitsanforderungen R2 1,5H erforderliche Netzlänge betrüge R 2 V10- 1,5H - 4,75H. Das mit TOPONET entwickelte Elementnetz ist in Bild 7 dargestellt; es enthält 500 Elemente und 294 Knoten. Das Maß der Elementverdichtung im brunnennahen Bereich richtet sich nach dem erwarteten Potentialabbau und ist dem Generierungsprogramm neben der maximalen Elementzahl vorge¬ schrieben worden. Die von TOPONET optimierte maximale Knotenzahl¬ differenz beträgt 24. - 49 - 5.2 Ermittlung der Hangquelle Die Hangquelle stellt für die Bewegungsgleichung der freien Oberfläche - wie in Kapitel 3. 4 erläutert - einen singulären Punkt dar, dessen Verschie¬ bungsgeschwindigkeit nicht mit der Bewegungsgleichung zu ermitteln ist. Der Übergang von der freien Oberfläche zur Sickerfläche muß in jedem Zeitpunkt tangential erfolgen; darauf wird unter der weiteren Annahme, daß sich die freie Oberfläche für kurze Kurvenstücke durch eine quadrati¬ sche Parabel annähern läßt, folgende Näherungslösung aufgebaut. Durch die der Hangquelle unmittelbar benachbarten Knoten der freien Oberfläche deren Verschiebungen mit der Bewegungsgleichung ermittelt werden, wird eine quadratische Parabel so extrapoliert, daß sie am Brunnenrand tangen¬ tial einmündet. Der Scheitelpunkt der Parabel ist dann mit der gesuchten Hangquelle identisch. Die Entfernungen dieser zur Extrapolation herange¬ zogenen Knoten vom Brunnenrand werden zur Minimierung des Fehlers be¬ wußt klein gewählt. In Anbetracht der übrigen Näherungen erscheint diese vereinfachende Vorgehensweise berechtigt. 5.3 Wahl von Brunnenradius und Durchlässigkeitsverhältnis Durch die dimensionslose Betrachtungsweise sind mit einer Rechnung für ein konstantes Durchlässigkeitsverhältnis k./k und ein konstantes Verhält¬ nis r /H alle möglichen Abmessungen und Durchlässigkeiten des Grundwas¬ serträgers erfaßt. Das Strömungsverhalten wird daher exemplarisch an ei¬ nem System mit dem Brunnenradius r H, entsprechend r = 0,1 auf¬ gezeigt. Der Grundwasserleiter wird zunächst als isotrop und dann als orthotrop mit den Durchlässigkeitsverhältnissen k,/k. = 3 und k,/k - 10 angesehen. Durch die Betrachtung des isotropen und des mit k,/k = 10 ex¬ trem anisotropen Grundwasserleiters wird der mögliche Schwankungsbe¬ reich der Ergebnisse abgeschätzt, während mit dem zwischen diesen Grenz¬ werten liegenden, realistischen Durchlässigkeitsverhältnis k,/k. = 3 der Verlauf der Änderungen aufgezeigt werden soll. 50- S41182 189 74 49 Ne1S30 51- 5.4 Ergebnisse Dem Zielder Arbeit entsprechend sinddie Ergebnisse so gegenübergestellt, daß außer dem zeitlichen Ablauf der instationären Strömung der Einfluß der Anisotropie auf das Strömungsverhalten, besondersaufdas Verhalten der freien Oberfläche, qualitativ und quantitativdeutlich werden kann. Die Ergeb¬ nisse stammen aus drei Programmläufen mit den oben erwähnten unterschied¬ lichen Durchlässigkeitsverhältnissen und beziehen sich aufden radialsymmetri¬ schen Falldes vollkommenen Brunnens mit plötzlicher Absenkung des Brunnen¬ wasserstandes auf z= 0. Der Brunnenradius bei allen Beispielen ist konstant r-0,1. Aufgrund der nur in begrenztem Umfang verfügbaren Mittel für Rechen¬ zeit ist nur der Falldesisotropen Grundwasserleiters bis zu einem nahezu statio¬ nären Zustand (t=2,36) verfolgt worden. Die Rechnungen für das Durchlässigkeits¬ verhältnis k./k.=3 sind zum Zeitpunkt t'= 1,56 und für k,/k. =10 bei t =0,94 abgebrochen worden, so daß sich Vergleiche der Ergebnisse für alle drei Durch¬ lässigkeitsverhältnisse auf den Zeitraum bis t=0,94 beschränken müssen. Zuden mit Hilfe von Zeichenprogrammen erstellten Bildernist zubemerken, daß der angegebene Maßstab für die geometrische Darstellung nur für die Ori¬ ginalgröße der Plotte zutrifft. Der aus der Verkleinerung der Bilder resul¬ tierende Maßstab läßt sich aber trotzdem ermitteln, da die Mächtigkeit H des Grundwasserleiters aufgrund der dimensionslosen Betrachtungsweise gleich 1 gesetzt wurde. Der betrachtete Zeitpunkt und das zugehörige Durchlässigkeitsverhältnis sind auf der Plotte vermerkt, 5.4.1 Die Lage der freien Oberfläche und deren Verschiebungsgeschwin¬ digkeit Der zeitliche Ablauf der instationären Strömung für die drei gewählten Durch¬ lässigkeitsverhältnisse gehtaus den Bildern 8 bis 15 hervor. In Bild 8 sind zu willkürlich gewählten Zeitpunktent die dem Grundwasserleiter mit dem Durch¬ lässigkeitsverhältnis k,/k. zugehörigen freien Oberflächen dargestellt. Zum unmittelbaren Vergleich der Ergebnisse sind die zur gleichen Zeitt mit unter¬ schiedlichem Durchlässigkeitsverhältnis ermittelten freien Oberflächen in Bild 9 und 10 nebeneinander aufgezeichnet. Einen Eindruck von den Verformun¬ gen des Elementnetzes und vonder dadurch bedingten weiteren Verdichtung des Bild 8: 52 - ELAELNNASSTRE 1I6 E /1f.30 3 IN Khk TAIE ANOUNEN A4 TUIIST AEN LIT u TUn uar ALMCMSITES IIM L1 112. 5011 3kyLeL LE u Maue ea vunue us uit uus vun uau - 8. A L k L e d voru ae vur uutn ar 1. e Freie Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsver¬ hältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnen¬ wasserstandes (r - 0,1) Bild 9: 53 1211 C EI PaIC SAENLNCEE A5 TutIes OIS iCi1 Isce ToN LREMÉMNRSSTES LIM CNI LP. 30000 n 1 T e 3 C 11 or 1 LHENCLNÉIOE IIR CM 1712.50000 IEI a n uu aurnee aa tos 11 28 100 Vergleich der freien Oberflächen für unterschiedlich anisotrope Grundwasserleiter nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r - 0,1; k., - konst.) 54 - M C E. 500 L N u e t 1 110 Bild 10: Vergleich der freien Oberflächen für unterschiedlich anisotrope Grundwasserleiter nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r= 0,1 ; k. = konst.) 55 - ASAB (IN CM 115. 4515 MUNUE IVOnII SMOCIUN . 11-h.At auve Maua uu en du a . MSATRE LIN CM L1S.SS230 MIURNTE - VeirENIE SIRUETUN — TerO 21 AuNeIO Bild 11: Verformte Strukturen (r - 0,1) khe Ky K3k k 56 Netzes im kritischen Bereich um den Brunnenschacht gibt Bild 11. Das Abfallen der freien Oberflächen bei dem Durchlässigkeitsverhältnis kp/k = 10 im Bereich der äußeren Begrenzung des Elementnetzes ist da¬ durch bedingt, daß die für den entferntesten Knoten des Netzes durchgeführ¬ te Verformungsberechnung nach Theis offenbar einen Wert liefert, der sich nicht harmonisch in die Verformungsberechnung der FEM eingliedert. Das FE-Netz war für dieses extreme Durchlässigkeitsverhältnis zu kurz,so daß die Theissche Lösung eine schlechte Näherung für die zu erwartende Absenkung darstellt. Der Einfluß dieses Fehlers auf das Gesamtergebnis wird jedoch als gering eingeschätzt. Bei dem in den Bildern 9 und 10 vorgenommenen Vergleich der freien Ober¬ flächen für Grundwasserleiter mit unterschiedlichem Durchlässigkeitsver¬ hältnis ist zu beachten, daß bei der hier gewählten Betriebsweise des Brun¬ nens der Einfluß der Anisotropie sich nicht allein auf die Lage der freien Oberfläche, sondern auch, und zwar, wesentlich, auf den Wasserzufluß zum Brunnen auswirkt. Ein Vergleich bei übereinstimmender, dimensions¬ behafteter Zeit t setzt gleiche dimensionslose Zeit t und gleiche Vertikal¬ durchlässigkeit voraus, so daß bei Anisotropie k,/k. 1 die Horizontal¬ durchlässigkeit und mit ihr der Wasserzufluß anwachsen müssen. Die Anisotropie des Grundwasserleiters bewirkt eine wesentlich flacher verlaufende freie Oberfläche. Die Absenkungen in Brunnennähe sind gerin¬ ger, diejenigen ab einer bestimmten Entfernung vom Brunnen größer als bei isotropem Boden, wobei die Unterschiede mit der Zeit zunehmen und erst bei quasistationärer Strömung einen Maximalwert erreichen. Die zu¬ nächst rein qualitative Betrachtung der Rechenergebnisse bestätigt somit das vorhandene Wissen. Durch die vorliegenden Untersuchungen wird nun ein quantitativer Vergleich möglich, der in den Bildern 12 bis 15 angestrebt wird. Die Bilder12 und 13 zeigen zunächst die z- Koordinaten einiger Knotenpunkte der freien Oberfläche in Funktion der Zeit mit dem Durchlässigkeitsver¬ hältnis als Parameter. Die betrachteten Knoten haben folgenden Abstand von der Brunnenachse (siehe auch Bild 7): 57 - Punkt 120: r/H r= 0,1000 (Hangquelle) r= 0,1600Punkt 89: Punkt 18: r= 0.5886 r= 1,0429Punkt 21: Die im anisotropen Fall flacher verlaufende freie Oberfläche drückt sich anschaulich durch eine Umkehr der Reihenfolge der Kurvenparameter aus. Während zum Beispiel ab einer Entfernung r - 0,58H (Punkt 18 und 21) der isotrope Grundwasserleiter die geringsten Absenkungen zeigt, ist dies unmittelbar am Brunnenschacht (Punkt 120 und 89) der mit k./k. = 10 an¬ isotrope Grundwasserleiter. Die vorgelegte Darstellung erlaubt es, den brunnennahen Grundwasser¬ stand in einem isotropen und anisotropen Grundwasserleiter bei bekannter Durchlässigkeit, bei vergleichbarem Verhältnis r./H und bei vergleichba¬ rer Betriebsweise in Abhängigkeit von Ort und Zeit zu bestimmen. Die in den Bildern 12 und 13 strichliert eingezeichnete Gerade stellt den Absenkungsverlauf eines Punktes dar, der sich mit der maximal möglichen Verschiebungsgeschwindigkeit k./n bewegt. Die Hangquelle (Punkt 120) sinkt bei plötzlicher Verringerung des Brunnenwasserstandes zunächst mit dieser Maximalgeschwindigkeit ab, so daß die strichlierte Gerade gleich¬ zeitig die Tangente an die Absenkkurve der Hangquelle zum Zeitpunkt t =0 darstellt. Der weitere zeitabhängige Verlauf der Verschiebungsgeschwindigkeiten in ausgewählten Punkten der freien Oberfläche ist bei unterschiedlichem Durchlässigkeitsverhältnis in Bild 14 und 15 dargestellt. Die dimensions¬ lose Geschwindigkeit Oz/Ot entspricht, gemäß Gleichung (32) dem Quotienten aus dimensionsbehafteter Geschwindigkeit und maximal môgli¬ cher wahrer Fließgeschwindigkeit in vertikaler Richtung: dr18 (48kulns Bild 12 Bild 13. - 58- t. PUNKT 21 ky - konst. 10 z"-Koordinaten der Punkte 120 und 21 der freien Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsverhältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r=0,1) n . kr PUNETE ky - konst. FUNKT89 a z-Koordinaten der Punkte 89 und 18 der freien Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsverhältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes r-0,1) 59- Die im Anfangszustand relativ hohe Verschiebungsgeschwindigkeit der Knoten im brunnennahen Bereich nimmt nach kurzer Zeit entscheidend ab und nähert sich dann nur sehr langsam dem Grenzwert Null. Die Geschwin¬ digkeiten der weiter entfernt liegenden Knotenpunkte sind dagegen anfäng¬ lich wesentlich geringer; sie nähern sich jedoch nach kurzer Zeit den Ver¬ schiebungsgeschwindigkeiten im brunnennahen Bereich. Der größte Teil der gesamten Absenkung tritt daher in einem kurzen Zeitraum nach der Störung des Gleichgewichtszustandes ein, während die bis zu einem quasi¬ stationären Endzustand noch verbleibende Restabsenkung sich gleichmäßig über einen großen Zeitraum erstreckt. Eine Anisotropie k,/k. * 1 des Grundwasserleiters bewirkt zusätzlich noch eine weitere Verzögerung der Verschiebungsgeschwindigkeit der brunnennahen Punkte, so daß am Brun¬ nenrand eine gegenüber dem isotropen Fall wesentlich geringere Absen¬ kung eintritt. Mit größer werdender horizontaler Durchlässigkeit, bei kon¬ stanter Vertikaldurchlässigkeit, wird ein größer werdender Bereich zum Potentialabbau herangezogen. Dies bedingt größere Gradienten und damit größere Verschiebungsgeschwindigkeiten in brunnenfernen (etwar » H) Be¬ reichen der freien Oberfläche, so daß hier gegenüber dem isotropen Fall größere Verschiebungen eintreten. In dem bei einer Grundwasserabsenkung besonders interessierenden Be¬ reich in Brunnennähe ist gemäß Bild 12 und 13 keine wesentliche Absen¬ kung der freien Oberfläche am Brunnenschacht unter den Wert z'= 0,5 bei Einzelbrunnen mit üblichem Brunnendurchmesser zu erwarten. Eine An¬ isotropie k/k 1 wirkt sich zusätzlich noch negativ auf die erreichbare Absenkung aus. Die in Bild 12 eingetragenen Absenkungskurven für den Punkt 120 (Hangquelle) bei verschiedenen Durchlässigkeitsverhältnissen werden mit zunehmender Zeit weiterhin divergieren, so daß minimal mit den dort ermittelten Unterschieden, die in Tabelle 1 für 3 Zeitpunkte zu¬ sammengestelli sind, zu rechnen ist. Die z'-Koordinate der Hangquelle im isotropen Fall wird gleich 100 gesetzt, Bild 14: Bild 15: 60- —Lalt. — — PUNKI 7 — PUNKT 120 ky = konst. Verschiebungsgeschwindigkeit der Punkte 120 und 21 der freien Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsverhält¬ nisses nach plôtzlichem und volligem Absinken des Brunnenwas¬ serstandes (r = 0,1) — r khlky --- PUNKI 18 PUNKT 89 ky - konst. a Verschiebungsgeschwindigkeit der Punkte 89 und 18 der freien Oberfläche in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsverhält¬ nisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwas¬ serstandes (r - 0,1) 61 - Tabelle 1: Vergleich der Lage der Hangquelle bei isotropem und anisotro¬ pem Grundwasserleiter nach plötzlichem und völligem Absin¬ ken des Brunnenwasserstandes (r.- 0,1) Abweichungen in k. 10k10k 3k.3k 0.120.650.50 1141070.102 0,6730,610 0.7340.94 110100 120 350 0.565 0,635 100 112,3 Die in der Anisotropie des Grundwasserleiters begründete Anhebung der freien Oberfläche in Brunnennähe reicht allerdings nach diesen Untersu¬ chungen nicht weiter als die Mächtigkeit H des Grundwasserleiters. Ab die¬ ser Entfernung von der Brunnenachse liegt die freie Oberfläche unter der¬ jenigen für isotropen Boden. Die oben genannte, für isotropen Boden gülti¬ ge Grenze der Absenkung des Wasserspiegels am Brunnenrand von s'2 0,5 ist von den Abmessungen und den hydraulischen Eigenschaften des Grund¬ wasserleiters abhängig und wird nur bei völliger Absenkung des Brunnen¬ wasserspiegels erreicht. Eine Absenkungsgrenze ist schon von Sichardt (1928) beobachtet und so gedeutet worden, daß das "Fassungsvermögen des Brunnens erreicht sei. Seine Beobachtungen bestätigen auch die Ab¬ hängigkeit dieser Grenze vom Brunnendurchmesser (siehe Zuschrift Sichardt (1933) an Kozeny (1933)). Nahrgang (1954) untersuchte die statio¬ näre Strömung zu einem Einzelbrunnen und stellte eine Absenkungsgrenze der freien Oberfläche am Brunnenschacht von s"= 0,5 fest, wobei aber die eventuel möglichen Einflüsse der Abmessungen, speziell des Brunnen¬ radius, und der hydraulischen Eigenschaften nicht untersucht worden sind. - 62 - 5.4.2 Potentialverteilung, Wasserzufluß und Geschwindigkeits¬ verteilung Der Strömungsvorgang wird durch eine plötzliche Störung des Gleichge¬ wichtszustandes ausgelöst. Zum Zeitpunkt t = 0 entspricht die freie Ober¬ fläche daher noch dem ursprünglichen Grundwasserspiegel vor der Absen¬ kung. Dies wird im mathematischen Modell durch die Anfangsbedingung Gleichung (39) ausgedrückt. Die unmittelbar nach der Störung auftretende Potentialverteilung ist für die drei gewählten Durchlässigkeitsverhältnisse in Bild 16 dargestellt. Bild 17 und Bild 18 zeigen die Änderungen in der Potentialverteilung während des Strömungsablaufs auf. Aufgrund der mit der Zeit zunehmenden Absenkung der freien Oberfläche wird ein immer größer werdender Bereich zum Potentialabbau herangezo¬ gen. Zum Zeitpunkt t = 0 werden im isotropen Fall 90 % des Potentials in einem Bereich bis ca. rx= 0,9 abgebaut, während schon zur Zeit t"= 0,94 dieser Bereich um etwa 1/3 auf ca. r*= 1,2 angewachsen ist. Mit zuneh¬ mender Zeit wird sich dieser Bereich noch weiter ausdehnen. Die Aniso¬ tropie des Grundwasserleiters bewirkt entsprechend den Einflüssen auf die freie Oberfläche einen erhöhten Potentialabbau im oberflächen- und brun¬ nennahen Bereich, aber gleichzeitig eine Ausdehnung des Einflußbereiches in den Grundwasserleiter hinein. Daher weichen die Potentiallinien mit zu¬ nehmender Anisotropie immer mehr von einem näherungsweise vertikalen Verlauf ab. Betrachtet man den Schnittpunkt der 90 % Potentiallinie mit der undurchlässigen Berandung, so besitzt dieser eine r-Koordinate, die bei k,/k. - 3 im Mittel um das 1,5-fache, bei k,/k = 10 im Mittel um das 2,0-fache größer ist als die Entfernung im isotropen Fall. Da bei isotropem Grundwasserleiter Potential- und Stromlinien senkrecht aufeinander stehen und da sich die freie Oberfläche mit zunehmender Zeit einer Stromlinie nähert, muß der Winkel zwischen Potentiallinie und frei¬ er Oberfläche einem rechten Winkel zustreben. Dies läßt sich anhand der Bilder 17 und 18 für den isotropen Fall verfolgen. - 63 - Mnamnu du dn der. sa FETENTINLIEXG.A6. MAEIHALMTAT - 105. 0bb0 KKy POIAIIAVENIELUNE MUU Iirh.00 fur. 1. . L5-2. VIAE 01 LAENGENSSSIES LIN CM 1/IE. SSES LaECG.NSSOI. HMILAVERI - 100. ODDDU n K3k PSIAINA NAICNUE SAUNE IrA.C0 MM. 3. . LA-S. VENS.N LELMTAITTAS IA CM L15.225 FIENIAEO.SSSDI. NREHELVEN * 100. 00000 K D ee PolceliAANCATEILUN BNUn 1a16.00 anal-10. . 13-2. vns. 210 Bild 16: Potentialverteilung zum Zeitpunkt t= 0 nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r* - 0,1) 64- anenue u ee dut a PaTMTIE . HATJMMINT « 10b.00000 Kky u v u uune 1. 1 nu n du en dit aen FAIEMIIM IES.RSSU IAANA ,4S Kh3ky puun u van 1. 152. u1t 40 Laraut du en du ae PIATIM LIRG. RESUI MMLEI - 1T.4671 u Dk un at aan. 11. nos t Bild 17: Potentialverteilung zum Zeitpunkt t = 0,50 nach plötzlichem und völligern Absinken des Brunnenwasserstandes (r. = 0,1) 65 Caatanens uu es dut au INS.M4S1. HREIHRLVENI « 4.13 he y an dusa nau t. 152. 190 Muesae uu dn da IEXX.N4 MAIIAYEAT « Se ZTE1 Kh= 3k u usa auur 8. 11. vona23 Cratruteste Uie du Lo. M EEU.REEI, MAIINYENT « S4. E047SPOTENTIAL KE DK g n u at 18 1. u 20 Bild 18: Potentialverteilung zum Zeitpunkt t“= 0,94 nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r= 0,1) 66 - Trotz der Ausweitung des zum Potentialabbau herangezogenen Bereichs bleibt aber auch im anisotropen Fall die Tatsache bestehen, daß der größte Teil des Potentials in unmittelbarer Brunnennähe noch vorhanden ist und über einen nur noch kurzen Fließweg verfügt. Der Gradient und die Fließgeschwindigkeit erreichen dort Werte, die die Gültigkeit des Darcy¬ schen Gesetzes in Frage stellen. Diese Problematik wird in Kapitel 7 be¬ handelt. Bei der hier gewählten Betriebsweise des Brunnens wird der Wasserzufluß erheblich von der schnellen Absenkung im Brunnen und von der Anisotropie beeinflußt. Der den Brunnen während des Absenkvorgangs erreichende, di¬ mensionslose Wasserzufluß Q, der bei konstantem Brunnenwasserstand mit der Förderleistung identisch ist, ist daher in Abhängigkeit von der Zeit und dem Durchlässigkeitsverhältnis in Bild 19 dargestellt. Bei isotropem Grundwasserleiter fließt dem Brunnen im Anfangszustand eine gegenüber dem nahezu stationären Zustand zum Zeitpunkt t= 2,36 um ca. 50 % er¬ höhte Wassermenge pro Zeiteinheit zu. Die sekundliche Wassermenge ist auch bei anisotropem Grundwasserleiter zu Beginn des Absenkungsvorgangs wesentlich größer. Hier läßt sich jedoch eine Relation nur zu dem zuletzt untersuchten Zeitpunkt herstellen, wodurch sich bei k,/k. = 3 eine Steige¬ rung von ca. 35 % und bei k,/k = 10 von ca. 20 % ergibt. Diese Werte sind jedoch nur Minimalwerte, da sie sich auf einen Zeitpunkt beziehen, bei dem der Zufluß infolge des noch instationären Charakters der Strömung noch weiter abnehmen wird. Die dimensionslose, zeitbezogene Wassermenge Qist, wie in Gleichung (12) angegeben, definiert; Bei konstanter Vertikaldurchlässigkeit k. und einer Anisotropie k, ergibt sich auch bei gleichem Q ein höherer Zufluß Q. Die Erhöhung der dimensionsbehafteten sekundlichen Wassermenge Q ist aber wegen der kon¬ 67. stanten Vertikaldurchlässigkeit geringer als die Änderung der horizontalen Durchlässigkeit, so daß sich hier rein formal eine Verringerung des Zu¬ flusses Q ergibt. In Tabelle 2 ist die Erhöhung der sekundlichen Wasser¬ menge Q bei anisotropem Grundwasserleiter eingetragen, wobei der zu dem jeweiligen Zeitpunkt gehörende Zufluß bei isotropen Verhältnissen gleich 1 gesetzt wurde. ky 2 konst —10 Wasserzufluß in Funktion der Zeit und des Durchlässigkeitsver¬ Bild 19 hältnisses nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnen¬ wasserstandes (r - 0,1) Vergleich des Wasserzuflusses bei isotropem und anisotropemTabelle 2: Grundwasserleiter nach plötzlichem und völligem Absinken des Brunnenwasserstandes (r= 0,1) Erhöhung von qk 10-k 3. k 3. k.3.k 10. 10.k 2.469,0 1,0 7,041.280,90 3.151,051,20,10 7.272.79 1,00,80 8.01,10 2,530.931,100.50 7.501,02.580,86 7,5 2.580.94 1.00 0.75 1,00 1,02,43 2,640,81 0.920.921,50 68- Um einen weiteren Eindruck von der Wirkung der Anisotropie auf das Strömungsverhalten zu bekommen, wurden zu verschiedenen Zeitpunkten die Geschwindigkeiten in den Netzknoten ermittelt und als Vektoren nach Größe und Richtung aufgetragen. Der Vektor der Geschwindigkeit gibt gleichzeitig die Richtung der durch diesen Punkt führenden Stromlinie an, In den Bildern 20 und 21 ist zunächst das gesamte durchströmte System dargestellt. Die Knoten sind durch ein Spezialsymbol gekennzeichnet ,wo¬ bei aber im Bereich r'=1,5 aus Gründen der Übersichtlichkeit ein großer Teil der Knoten ausgeblendet wurde. Der auf der Plotte durch einen Bal¬ ken gekennzeichnete Vektormaßstab ist je nach Größe der Anisotropie un¬ terschiedlich. Der Einfluß der in horizontaler Richtung größeren Durchlässigkeit macht sich in allen Phasen durch eine starke Ausrichtung der Vektoren zur Hori¬ zontalen bemerkbar. Gleichzeitig wird auch augenscheinlich, was im Prin¬ zip schon bekannt ist und auch schon aus der Potentialverteilung gefolgert werden konnte, daß nämlich die Geschwindigkeiten in Brunnennähe um ein Vielfaches größer sind als in dem übrigen durchströmten Bereich. Die bei Annahme laminarer Strömung theoretisch unendlich große Geschwindigkeit im Schnittpunkt von Brunnenwasserspiegel und Brunnenschacht kann wegen der Diskretisierung des kontinuierlichen Grundwasserleiters ebensowenig erhalten werden, wie ein exakt horizontal gerichteter Geschwindigkeits¬ vektor in diesem Knoten. Die ermittelte Größe und Richtung des Geschwin¬ digkeitsvektors ist hier weniger bedeutsam. Daher werden in Tabelle 3 f