Partial Relaxation: A Computationally Efficient Direction-of-Arrival Estimation Framework

Direction-of-Arrival (DOA) estimation from data collected at a sensor array in the presence of noise has been a fundamental and long-established research topic of interest in sensor array processing. The application of DOA estimation does not only restrict to radar but also spans multiple additional fields of research, including radio astronomy, biomedical imaging, seismic exploration, wireless communication, among others.

Due to the wide applications of DOA estimation, various methods have been developed in the literature to increase the resolution capability, computational efficiency, and robustness of the algorithms. However, a trade-off between the estimation performance and the computational complexity is generally inevitable. This thesis addresses the challenge of developing low-complexity DOA estimators with the ability to resolve closely spaced source signals in the threshold region, i.e., low sample size or low Signal-to-Noise ratio.

Motivated by various interpretations of the conventional DOA estimators in the literature and their implied signal models, in this thesis, we introduce a novel class of DOA estimators which is referred to as the Partial Relaxation framework. In the Partial Relaxation framework, the DOA parameters are estimated from the eigenvalues of a particular modified covariance matrix at each look-direction in the Field-of-View. Simulations show that the proposed DOA estimators achieve excellent performance in the threshold region without exploiting any particular structure of the sensor array.

Theoretical and practical aspects of the DOA estimators under the proposed framework are investigated in this thesis. From the practical perspective, as the computation of selected eigenvalues is crucial for the proposed estimators, we introduce a general and efficient implementation which exploits the underlying structure of the matrix argument induced by the Partial Relaxation framework. Compared with the naive implementation, the execution time of the proposed estimators with the efficient implementation is reduced by multiple orders of magnitude. From the theoretical aspect, a closed-form expression of the lower bound for the estimation error of all unbiased estimators under the Partial Relaxation framework is derived. Consequently, implications and comparisons of the proposed lower bound with theoretical results in the literature are studied and discussed.

Einfallsrichtungsschätzung (englisch: Direction-of-Arrival, kurz DOA, estimation) aus rauschbehafteten Sensordaten ist ein fundamentales Forschungsgebiet in der Sensordatenverarbeitung. Die Anwendung der DOA-Schätzverfahren ist nicht nur auf Radarsysteme beschränkt, sondern umfasst zusätzlich verschiedene Forschungsfelder, z.B. die Radioastronomie, biomedizinische Bildgebung, Reflexionsseismik, drahtlose Kommunikation und vieles mehr.

Aufgrund des breiten Anwendungsbereiches der Einfallsrichtungsschätzung wurden unterschiedliche DOA-Schätzverfahren erforscht, um das Auflösungsvermögen, die Recheneffizienz sowie die Robustheit der Schätzverfahren zu erhöhen. Ein Kompromiss zwischen der Schätzgüte und dem Rechenaufwand ist jedoch im Allgemeinen unvermeidlich. Unter dieser Prämisse werden in der vorliegenden Arbeit neue recheneffiziente Schätzverfahren entwickelt und untersucht. Das Ziel der neuen Schätzverfahren ist es, ein hohes Auflösungsvermögen im Schwellenbereich, d.h. bei einer geringen Anzahl zeitlicher Messungen oder geringem Signal-zu-Rausch-Verhältnis, zu erreichen.

Auf Grundlage von konventionellen DOA-Schätzverfahren aus der Literatur und den zugrundeliegenden Signalmodellen führen wir in dieser Dissertation das Konzept der partiellen Relaxierung (englisch: Partial Relaxation) ein. Im Partiellen Relaxierungskonzept werden die DOA Parameter durch die Eigenwertberechnung einer modifizierten Kovarianzmatrix in jedem Testwinkel des Sichtfeldes geschätzt. Numerische Simulationen zeigen, dass die entwickelten DOA-Schätzverfahren, unabhängig von bestimmten Strukturen der Sensorgruppe, eine sehr gute Schätzgüte im Schwellenbereich erzielen.

In der vorliegenden Arbeit werden sowohl theoretische als auch praktische Aspekte der partiell relaxierten DOA-Schätzer untersucht. Unter anderem wird für den praktischen Einsatz eine generelle und effiziente Methode zur Berechnung der relevanten Eigenwerte vorgestellt, die für alle entwickelten partiell relaxierten DOA-Schätzer von großer Bedeutung ist. Zur Beschleunigung der Eigenwertberechnungen nutzt die eingeführte Methode die gemeinsame Struktur in den Kostenfunktionen der Schätzer aus. Dadurch reduziert sich der Rechenaufwand der Schätzer mit der vorgeschlagenen Methode im Vergleich zu einer direkten Implementierung signifikant. Des Weiteren wird ein geschlossener Ausdruck für die theoretische untere Grenze der Varianz des Schätzfehlers für alle erwartungstreuen partiell relaxierten DOA-Schätzern hergeleitet. Darüber hinaus wird die ermittelte untere Grenze der partiell relaxierten Schätzer mit den entsprechenden theoretischen Ergebnissen in der Literatur verglichen und die sich daraus ergebenenen Schlussfolgerungen diskutiert.