Mathematische Homogenisierung in der Kontinuumsmechanik

In dieser Arbeit wird für Materialien, welche über eine feine hyperelastische inhomogene periodische Mikrostruktur verfügen, ein homogenisiertes Ersatzproblem für den Fall großer Deformationen hergeleitet. Ausgehend vom mathematischen Begriff der Zweiskalenkonvergenz werden die Gleichungen der Hyperelastizität einem Grenzwertprozeß unterworfen, welcher unter geeigneten Annahmen zu einem mikroskopischen und einem makroskopischen Problem führt. Diese beiden Probleme stellen gemeinsam das homogenisierte Problem dar. Mit denselben Techniken werden die Gleichungen der linearen isotropen mikropolaren Elastizität homogenisiert. Finite-Elemente-Simulationen zeigen für ein nichtlineares isotropes kompressibles hyperelastisches Zweischichtenmaterial, daß das homogenisierte Problem im Rahmen von Scher-, Zug- und Torsionsversuchen hinreichend genaue Ergebnisse liefert. Bei diesen Rechnungen wurden die homogenisierten Ergebnisse mit denjenigen klassischer einskaliger, fein-vernetzter Referenzrechnungen verglichen.

This work is about a homogenization technique for nonlinear hyperelasticity that is based on the mathematical theory of the so-called two-scale convergence. The proposed method is valid for materials that contain a fine periodic inhomogeneous microstructure. Starting from the equations of nonlinear hyperelasticity, the use of the two-scale convergence leads – via a limiting process and under proper assumptions – to a microscopic and a macroscopic problem. These two problems represent the desired homogenized material. In the same way, the equations of linear isotropic micropolar elasticity are homogenized. Considering a nonlinear isotropic compressible hyperelastic two-layered material, finite element computations are presented for shearing, tension and torsion deformations. The numerical results of the homogenized problem are in good agreement with the results of a classical one-scale computation that serves as a reference.