Range Corrections in Pionless Three-Particle Systems - A Non-Perturbative Method for Spurious Poles in Infinite and Finite Volume

Effective range corrections contribute to pionless effective field theory at next-to-leading order. In a three-particle system described in the particle-dimer picture they enter in the dimer propagator. They can be included perturbatively or non-perturbatively. In a finite volume the perturbative method can lead to singular behavior close to physical bound states. The non-perturbative or resummized method exhibits a spurious pole.

In this thesis, we investigate the problems caused by this spurious pole in infinite volume. We develop a non-perturbative method to avoid these problems. This is accomplished by expanding the contribution of the spurious pole, while treating the contribution of the physical pole exactly. We show that this method leads to a change of the renormalization prescription of the three-body forces. This new method is tested for several model potentials and different observables, including the particle-dimer phase shift and three-body bound states. We observe good convergence and prove that the method preserves the internal consistency of the pionless effective field theory.

In the second part of the thesis, we investigate the effect of the spurious poles on the three-body quantization condition in a finite volume and show that it leads to a spurious series of scattering states and an un-physical merging of energy levels in the energy spectrum. We extend the new non-perturbative method, developed in infinite volume, to finite volume. Finally, we use the method to calculate the energy spectrum and show that we can reproduce the spectrum of a Yamaguchi model very accurately. Moreover, the description of the model improves order by order of the effective filed theory.

Die effektive Reichweite trägt in pionenloser effektiver Feldtheorie in erster Korrektur zur führenden Ordnung bei. Ein Drei-Teilchen System kann im Teilchen-Dimer Bild beschrieben werden. Dabei treten die Korrekturen durch die effektive Reichweite im Dimer-Propagator auf. Sie können störungstheoretisch oder nicht störungstheoretisch betrachtet werden. Bei Rechnungen im endlichen Volumen kann die störungstheoretische Betrachtung zu singulärem Verhalten nahe physikalischer Bindungszustände führen. Die nicht störungstheoretische bzw. resummierte Betrachtung enthält einen unphysikalischen Pol.

In dieser Dissertation werden die Probleme, die dieser unphysikalische Pol im unendlichen Volumen verursacht, untersucht. Es wird eine nicht störungstheoretische Methode entwickelt, um diese Probleme zu umgehen. Dies wird erreicht, indem der Beitrag des unphysikalischen Pols für kleine Energien entwickelt wird. Gleichzeitig betrachten wir den Beitrag des physikalischen Pols exakt. Es wird gezeigt, dass diese Methode zu einer Änderung der Renomierungsvorschriften der Drei-Teilchen Kräfte führt. Die neue Methode wird an verschiedenen Modellen und für verschiedene Observablen getestet. Diese Observablen beinhalten die Partikel-Dimer Phasenverschiebung und gebundene Drei-Teilchen Zustände. Es werden gute Übereinstimmungen erzielt. Außerdem wird gezeigt, dass die Methode die interne Konsistenz der pionlosen effektiven Feldtheorie erhält.

Im zweiten Teil der Dissertation werden die Probleme untersucht, die der unphysikalische Pol in der Quantisierungsbedingung im endlichen Volumen verursacht. Der Pol führt zu einer Reihe von unphysikalischen Streuzuständen im Energiespektrum und unphysikalischen Verschmelzungen zwischen verschiedenen Energieleveln. Die nicht störungstheoretische Methode, die im unendlichen Volumen entwickelt wurde, wird auf das endliche Volumen erweitert. Abschließend wird die Methode verwendet um das Energiespektrum zu berechnen. Es wird gezeigt, dass damit das Spektrum eines Yamaguchi-Modells akkurat reproduziert werden kann. Die Beschreibung des Models verbessert sich Ordnung für Ordnung der effektiven Feldtheorie.