Efficient Methods for Parameterized Eigenvalue Problems in Electromagnetism

This thesis addresses the development of efficient methods for analyzing the parameterized electromagnetic eigenvalue problem (EVP). This problem describes the characteristic oscillation states of the electromagnetic field within bounded structures. In this work, we investigate the EVP in cavities. In the context of electromagnetism, the so-called Maxwell EVP provides insights into the resonant frequencies and corresponding electromagnetic field distributions (eigenmodes) of the cavities. When analyzing the resonant frequencies and eigenmodes and optimizing them in the design process, the parametric variation of the cavity geometry, in particular, poses a central challenge. Particularly when the EVP has to be solved frequently, as is the case with iterative design and optimization tasks, conventional approaches lead to considerable computational costs. This motivates the development of efficient computational methods. To understand the operating principle of cavities, desired and parasitic modes must be reliably identified. The method proposed in this thesis involves progressively deforming the cavity to a reference geometry for which an intuitive mode classification is available. Further, eigenmodes and resonant frequencies depend sensitively on shape deviations. The corresponding trajectories of the resonant frequencies may cross under such geometric changes. Therefore, their trajectories must also be taken into account during the analysis. For this purpose, the eigenmodes are tracked along the deformation using a suitable tracking algorithm. In addition, solving the EVP with many degrees of freedom (DoFs) is computationally expensive, making methods that rely on numerous evaluations increasingly inefficient. A model order reduction (MOR) is therefore developed to reduce the computational effort. This approach must be adapted to the Maxwell EVP with geometry-dependent parameters, ensuring that spurious solutions appearing in the reduced basis (RB) are reliably excluded. Also, for classical sampling-based uncertainty quantification (UQ) methods, it is essential to ensure the consistency of the eigenmodes across the parameter variations. Hence, we develop a shape UQ framework that computes statistical measures in closed-form using derivatives of resonant frequencies and eigenmodes with respect to geometric deformations. The proposed methods are demonstrated using the practically relevant TeV-Energy Superconducting Linear Accelerator (TESLA) cavity as an application example. The tracking-based classification of eigenmodes proves to be robust and allows for an intuitive and reliable eigenmode classification. By employing MOR, the efficiency of the tracking process is significantly enhanced, enabling the construction of the reduced system and subsequent tracking to outperform computations on the full system in terms of efficiency. To determine sensitivities in closed-form, derivatives are calculated based on the geometry representation in computer-aided design (CAD). This representation also enables the direct calculation of higher-order sensitivities. Notably, the application of these derivatives in UQ for small geometric deformations, such as those arising from manufacturing imperfections, shows substantial efficiency gains compared to sampling-based approaches. Thereby, a UQ analysis, which would otherwise require several hours on a server computer, can be completed in minutes on a standard laptop.

Diese Arbeit befasst sich mit effizienten Methoden zur Analyse des parametrisierten elektromagnetischen Eigenwertproblems (EWP). Dieses Problem beschreibt die charakteristischen Schwingungszustände des elektromagnetischen Feldes in begrenzten Strukturen. In dieser Arbeit wird das EWP in Hohlkörpern untersucht, sogenannte Kavitäten. Im Kontext des Elektromagnetismus liefert das EWP Informationen über die Resonanzfrequenzen und die zugehörigen Schwingungsformen der elektromagnetischen Felder (Eigenmoden) der Kavitäten. Bei der Analyse der Resonanzfrequenzen und Eigenmoden und deren Optimierung im Designprozess stellt insbesondere die parametrische Variation der Kavitätengeometrie eine zentrale Herausforderung dar. Insbesondere wenn das EWP häufig gelöst werden muss, wie es etwa bei iterativen Design- und Optimierungsaufgaben der Fall ist, führen herkömmliche Ansätze zu erheblichen Rechenkosten. Dies motiviert die Entwicklung effizienter Simulationsmethoden. Für das Verständnis des Funktionsprinzips der Kavitäten müssen gewünschte und parasitäre Eigenmoden zuverlässig identifiziert werden. Das in dieser Arbeit hierzu vorgeschlagene Verfahren basiert auf der schrittweisen Verformung der Kavität in eine Referenzform, für die eine intuitive Eigenmodenklassifizierung bekannt ist. Da Eigenmoden und Resonanzfrequenzen sensitiv für Formabweichungen sind und sich die Trajektorien der Resonanzfrequenzen bei geometrischen Änderungen kreuzen können, muss auch deren Verlauf bei der Analyse beachtet werden. Dazu werden die Eigenmoden entlang der Verformung mit einem geeigneten Tracking-Algorithmus verfolgt. Darüber hinaus ist die Lösung des EWPs bei vielen Freiheitsgraden rechenintensiv, wodurch Verfahren, die zahlreiche Auswertungen erfordern, schnell ineffizient werden. Zur Reduzierung des Rechenaufwands wird daher eine Modellordnungsreduktion (MOR) entwickelt. Diese ist speziell für das elektromagnetische EWP mit parameterabhängiger Geometrie geeignet und entfernt zuverlässig in der reduzierten Basis auftretende unphysikalische Lösungen, sogenannte Spurious Modes. Auch bei klassischen stichprobenbasierten Verfahren zur Unsicherheitsquantifizierungen (UQ) muss sichergestellt werden, dass über alle Parameterwerte hinweg die gleichen Moden verglichen werden. In dieser Arbeit wird daher ein Verfahren zur Quantifizierung geometrischer Unsicherheiten entwickelt, das statistische Größen mithilfe Ableitungen der Resonanzfrequenzen und Eigenmoden nach Geometrieverformungen in geschlossener Form bestimmt. Die entwickelten Methoden werden exemplarisch an der praxisrelevanten TeV-Energy Superconducting Linear Accelerator (TESLA)-Kavität demonstriert. Dabei zeigt sich, dass die Klassifizierung der Eigenmoden durch das Tracking eine robuste und intuitive Erkennung ermöglicht. Mithilfe der MOR kann die Effizienz des Trackings so weit gesteigert werden, dass das Erstellen des reduzierten Systems und das darauf basierende Tracking einen Effizienzvorteil gegenüber Berechnungen auf der vollen Systemgröße bietet. Für eine Bestimmung von Sensitivitäten in geschlossener Form werden Ableitungen auf Basis der Beschreibung im Computer Aided Design (CAD) berechnet. Diese Darstellung ermöglicht auch die direkte Berechnung von Sensitivitäten höherer Ordnung. Insbesondere die Anwendung dieser Ableitungen in der UQ-Analyse geringfügiger geometrischer Deformationen, wie sie beispielsweise durch Fertigungsungenauigkeiten auftreten, zeigt einen signifikanten Effizienzgewinn im Vergleich zu stichprobenbasierten Verfahren. Dadurch kann eine UQ-Analyse, die andernfalls mehrere Stunden auf einem Server-Computer erfordern würde, in wenigen Minuten auf einem Standard-Laptop durchgeführt werden.