Multivariate Splineapproximation auf Gebieten

Die Splineapproximation mit uniformen Tensorprodukt-B-Splines besitzt über Quadern beziehungsweise dem gesamten d-dimensionalen Euklidischen Raum sehr gute Eigenschaften. Die Basis ist stabil und für Funktionen aus anisotropen Sobolevräumen ist eine optimale Approximationsordnung erreichbar. Die Fehlerabschätzungen hierbei spiegeln die Anisotropien der zu Grunde liegenden Räume wider. Allerdings ist weder die Stabilität noch die optimale Approximationsordnung gewährleistet, sobald allgemeine beschränkte Gebiete betrachtet werden. Bei der Fehlerabschätzung tritt hierbei eine unerwünschte Abhängigkeit der Konstanten von den Knotenabständen des Tensorprodukt-Gitters auf. Das Problem der Instabilität durch eine schlechte Lage der Knoten wurde durch das Verfahren der weB-Splines oder normierten B-Splines gelöst. Allerdings existieren bisher keine Methoden, welche die unerwünschte Abhängigkeit in der Fehlerabschätzung beheben. In dieser Arbeit steht daher vor allem die anisotrope Fehlerabschätzung im Fokus. Zum einen wird untersucht, ob die guten Approximationseigenschaften über dem gesamten d-dimensionalen Euklidischen Raum ausgenutzt werden können, um den Fehler über allgemeinen Teilgebieten abzuschätzen. Zum anderen wird ein neues bivariates Verfahren vorgestellt, welches auf den Tensorprodukt-B-Splines basiert und über Lipschitzgraph-Gebieten eine stabile Basis erzeugt. Die resultierenden Splineapproximanten erreichen eine optimale Approximationsordnung und es wird gezeigt, dass hier eine Fehlerabschätzung möglich ist, deren Konstanten die unerwünschte Abhängigkeit von dem Tensorprodukt-Gitter nicht aufweist.

Spline approximation with uniform tensor product B-splines on boxes or all of d-dimensional Euclidean space has very good properties. They build a stable basis and it is possible to approximate functions in anisotropic Sobolev spaces with optimal approximation order. The error estimation reflects the anisotropy of the function spaces. However, when considering general bounded domains, neither the stability nor the optimal approximation order is guaranteed. In this case the error estimates show an unwanted dependency on the distance between the vertices of the tensor product grid. The problem of instability in the case of a bad position of the knots was resolved by the concept of weB-splines or normalized B-splines. But so far no known methods resolve the problem of the unwanted dependence in the error estimation. Therefore, the anisotropic error estimation is the main topic of this work. On the one hand it is investigated whether the good approximation properties on all of d-dimensional Euclidean space can be used to estimate the error on general domains. On the other hand a new bivariate method is introduced which is based on tensor product B-splines. This method produces a stable basis on Lipschitz graph domains, the resulting spline approximants have optimal approximation order, and it is shown that it is possible to obtain error estimates with a constant independent of the tensor product grid.