Magnetic Field Simulation with Error Control using Neural Networks

In this work, we consider neural networks as ansatz functions for solving problems related to magnetoquasistatic Maxwell’s equations. On the one hand, we consider neural networks as numerical solvers for magnetostatic field problems, in which we extend the physics-informed framework to non-trivial geometries. Building on principles from finite element analysis, particularly isogeometric analysis and domain decomposition methods, we present an approach which strongly applies the Dirichlet boundary conditions on non-trivial geometries, enforces correct regularities across material boundaries as well as scale invariance with respect to the geometry. We successfully apply the methodology on magnetostatic quadrupole models of varying geometrical complexity. On the other hand, we consider neural networks as surrogate models of systematic errors in multi-fidelity, eddy-current simulations. Therein, we use a neural network to approximate the discrepancy between the low- and high-fidelity model over time, based on a sparse, high-fidelity trajectory data set. The construction of the hybrid model involves a basis representation in space, where the time-dependent degrees of freedom are approximated by long-short term memory neural networks. To overcome sparsity of the high-fidelity data, we propose an upsampling scheme which regularises the interpolation behaviour as well as prevents the overfitting phenomenon. We use the resulting model to calculate a bias-corrected magnetic vector potential and estimate three-dimensional fringe field effects within a two-dimensional approximation. These results serve to validate the applicability of the two-dimensional model.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Verwendung von tiefen Neuronalen Netzen als Ansatzfunktionen für Probleme in der Magnetoquasistatik. Zum einen betrachten wir Neuronale Netze als numerische Löser in der Magnetostatik und erweitern das physikalisch informierte Framework auf komplexe Geometrien. Wir erreichen dies, indem wir etablierte Prinzipien aus der Analyse Finiter Elemente, im engeren Sinne aus der Isogeometrischen Analyse, sowie Gebietszerlegungsmethoden auf Neuronale Netze anwenden. Dies ermöglicht es, Dirichlet Randbedingungen auf nicht-trivialen Geometrien stark zu erzwingen, die korrekten Regularitäten an Materialgrenzen zu erzielen, sowie eine Skalierungsinvarianz bezüglich der Modellgeometrie zu erreichen. Wir wenden die Methodik erfolgreich auf magnetostatische Simulationen einer Reihe von Quadrupolmodellen an, welche in ihrer geometrischen Komplexität variieren. Zum anderen betrachten wir Neuronale Netwerke um systematische Fehler in Multi- Fidelity Simulationen von Wirbelstromeffekten zu approximieren. Wir nutzen Neuronale Netzwerke um die Diskrepanz zwischen einer grob aufgelösten Simulation, dem soge- nannten Low-Fidelity Modells, und einer hoch aufgelösten Simulation, dem High-Fidelity Modell über die Zeit zu approximieren. Darin liegt die High-Fidelity Trajektorie nur in Form eines dünn besetzten Datensatzes vor. Um das Modell zu konstruieren welches die Diskrepanzfunktion approximiert, nutzen wir eine räumliche Basis und approximieren die zeitlich abhängigen Koeffizienten mittels Long-Short-Term Memory Netzen. Um die dünne Besetzung der High-Fidelity Daten zu überwinden, nutzen wir ein Schema um die vorhandenen Daten hochzuskalieren, welche das Interpolationsverhalten des Modells reguliert und das Überanpassungsphänomen verhindert. Wir nutzen das resultierende Modell, um einen Korrekturoperator für das magnetische Vektorpotenzial zu berechnen und dreidimensionale Randeffekte in einer zweidimensionalen Approximation zu approximieren. Diese Resultate nutzen wir um eine Verwendung des zweidimensionalen Modells zu validieren.