Pattern Formation in Spatially Extended Systems: Interplay of Variability and Noise

Many spatially extended systems show a complex long-range dynamics and one can observe coherent pattern formation. For a fundamental understanding of the systems one has to know the pattern forming mechanisms. However the spatiotemporal dynamics of biological systems is even more complicated, because the omnipresent stochasticity may play an important role. Biological systems are exposed to large fluctuations and have to be adapted to noise. A second omnipresent source of stochasticity is the variability, which denotes static stochastic differences between otherwise equal elements of a system. It means that e.g. in a colony of bacteria the single cells are slightly different from each other. In this thesis the influence of variability and noise on spatially extended systems is investigated in detail. The model systems are oscillatory and excitable nets of FitzHugh-Nagumo, Hodgkin-Huxley and reduced Hodgkin-Huxley elements, respectively. It is shown that the interplay of variability and noise may be essential for pattern formation mechanisms, stochastic resonance effects and synchronisation. Multiplicative stochastic terms have in addition a systematic influence on the system dynamics, which may cause a wide range of interesting phenomena, like variability and/or noise induced transitions between different regimes.

Viele räumlich ausgedehnte Systemen zeigen eine komplexe langreichweitige Dynamik und es kann kohärente Strukturbildung beobachtet werden. Für ein grundlegendes Verständnis dieser Systeme muss man die Mechanismen der Strukturbildung kennen. Die raumzeitliche Dynamik in biologischen Systemen ist noch komplizierter, da die allgegenwärtige Stochastizität eine wichtige Rolle spielen kann. Biologische Systeme sind starken Fluktuationen ausgesetzt und müssen daher an das Rauschen angepasst sein. Eine zweite allgegenwärtige Quelle von Stochastizität ist die Variabilität, welche die statischen stochastischen Unterschiede zwischen ansonsten gleichen Elementen eines Systems bezeichnet. Die einzelnen Zellen in einer Kolonie von Bakterie unterscheiden sich zum Beispiel leicht von einader. In dieser Doktorarbeit wird der Einfluss von Variabilität und Rauschen auf räumlich ausgedehnte Systeme im Detail studiert. Die Modellsysteme sind oszillatorische und exzitatorische Netze, bestehend aus FitzHugh-Nagumo, Hodgkin-Huxley beziehungsweise reduzierten Hodgkin-Huxley Elementen. Es wird gezeigt, dass das Zusammenspiel von Variabilität und Rauschen eine wichtige Rolle bei Strukturbildungsprozessen, stochastischer Resonanz und Synchronisation spielen kann. Multiplikative stochastische Terme haben zusätzlich einen systematischen Einfluss auf die Systemdynamik, welcher eine Reihe von interessanten Phänomen, wie variabilitäts- bzw. rauschinduzierte Übergänge zwischen unterschiedlichen Regimen, verursachen kann.