Implicit Discontinuous Galerkin Shock Tracking Methods for Compressible Flows with Shocks

Computational fluid dynamics (CFD) play an essential role in both industry and research for analyzing compressible flows dominated by shocks, enhancing experimental and theoretical studies. Achieving accurate and robust simulations of these shock-dominated flows, such as those encountered around airplanes, poses a significant challenge for contemporary CFD techniques. High-order numerical methods, such as DG methods, have received considerable attention because: they introduce minimal numerical dissipation, are highly accurate per degree of freedom, provide geometric flexibility, and exhibit excellent parallel scalability. However, these methods often struggle with robustness in scenarios involving shocks and contact discontinuities, as the high-order approximation of shocks and discontinuities can induce spurious oscillations, leading to the failure of numerical solvers.

In recent years, a novel category of numerical methods, termed implicit shock tracking (IST) methods, has been developed, utilizing numerical optimization to achieve high-order DG approximations of shock-dominated flow solutions while aligning the computational mesh with non-smooth features. These methods represent these features accurately through inter-element jumps and allow high-order basis functions to approximate smooth areas of the flow without requiring nonlinear stabilization. As a consequence, IST methods achieve accurate approximations of shock-dominated flows even on traditionally coarse meshes. This dissertation introduces two significant advancements for IST.

First, we integrate ideas from IST with extended DG (XDG) methods, introducing the XDGIST method. This innovative method utilizes a level set function to define discontinuity interfaces, which segment but do not deform the computational grid, thereby circumventing cumbersome mesh operations used in conventional IST methods. The approximation space is enriched by XDG basis functions, discontinuous at the interfaces, and the latter are aligned accurately with shocks using IST methodologies. We successfully apply the method to various test scenarios, including steady 2D and unsteady 1D inviscid flow problems. We show that the XDGIST method is more accurate and the only method maintaining high-order convergence properties for 1D shock-acoustic-wave interaction problems, when compared to a traditional DG method employing artificial viscosity.

Second, aiming at extending the use of IST to large-scale problems, we present a family of preconditioners tailored for the saddle point linear systems that define the progression towards optimality in each iteration of the optimization solver. These preconditioners merge traditional constrained optimization techniques with widely-used methods for DG discretizations, including block Jacobi, block incomplete LU factorizations and P-multigrid. Comprehensive evaluations are conducted using two 2D inviscid compressible flow scenarios to assess the effectiveness of each preconditioner within this family, and their responsiveness to key IST parameters, singling out the best preconditioner in terms of performance.

Numerische Strömungssimulationen (engl. CFD) spielen in Industrie und Forschung eine wesentliche und ergänzende Rolle bei der Analyse kompressibler und von Verdichtungsstößen dominierter Strömungen. Genaue und robuste Simulationen solcher Strömungen, wie sie zum Beispiel in der Umgebung von Flugzeugen vorkommen, stellen eine große Herausforderung für die heutigen CFD-Verfahren dar. Numerische Methoden höherer Ordnung, wie diskontinuierliche Galerkin-Methoden (DG), liegen im Fokus der Forschung, da sie unter anderem eine hohe Genauigkeit pro Freiheitsgrad und exzellente parallele Skalierbarkeit aufweisen. Typischerweise sind diese Methoden jedoch nicht robust genug für Stöße und Kontaktdiskontinuitäten, da deren geringe numerische Dissipation zu unerwünschten Oszillationen und letzlich zum Abbruch der Simulation führen kann.

In den letzten Jahren wurde eine vielversprechende neue Kategorie robuster DG-Methoden entwickelt, sogenannte implizite Stoßanpassungsmethoden (engl. IST methods}). Diese berechnen mittels numerischer Optimierung DG-Approximationen hoher Ordnung an stoßdominierte Strömungen, indem sie das Rechengitter an die Stöße anpassen. Die Stöße können durch Diskontinuitäten zwischen den angepassten Gitterelementen exakt dargestellt werden und ermöglichen es Basisfunktionen hoher Ordnung glatte Bereiche der Strömung hochgenau zu approximieren. Infolgedessen können auch auf groben Gittern genaue Approximationen berechnet werden. In dieser Arbeit werden zwei bedeutende Fortschritte in der Entwicklung von IST-Methoden vorgestellt.

Erstens, wird ein neues numerisches Verfahren durch die Integration von IST und erweiterter DG-Methoden (XDG) entwickelt. Anders als bei herkömmlichen IST-Methoden, entfallen hierbei aufwendige und teure Gitteroperationen. Diese neuartige implizite XDG-Stoßanpassungsmethode (XDG-IST) verwendet eine Level-Set-Funktion um Diskontinuitätsschnittstellen zu definieren, entlang derer Sprünge in den XDG-Basisfunktionen zugelassen sind. Die Schnittstellen werden mittels IST an die Stöße angepasst, sodass letztere exakt dargestellt werden können. Die Robustheit und Genauigkeit der XDG-IST-Methode für stationäre 2D und instationäre 1D Strömungen wird gezeigt und sie wird mit einer DG-Methode verglichen, die künstliche Viskosität zur Stabilisierung verwendet. Der Vergleich zeigt, dass die XDG-IST-Methode eine höhere Genauigkeit aufweist und für akustische 1D Wellen, die mit Stößen interagieren, als einzige Methode Konvergenz hoher Ordnung aufzeigt.

Zweitens, um IST auf großskalige Probleme anwenden zu können, wird eine Familie von Vorkonditionierern entwickelt. Diese sind speziell für das effiziente Lösen der linearen Systeme ausgelegt, welche in IST-Methoden vorkommen. Die entwickelten Vorkonditionierer kombinieren etablierte Techniken aus der restringierten Optimierung zum Lösen linearer Systeme mit bewährten Methoden innerhalb von DG-Verfahren. Die wirksamsten Vorkonditionierer werden anhand numerischer Studien ausgewählt, welche die Reaktion auf kritische IST-Parameter messen.