Ein neues Bifurkationsszenario

Ein neues Bifurkationsszenario: Die kombinierte Sattel-Knoten/Soft-Mode Bifurkation. In dieser Arbeit wird die raum-zeitliche Strukturbildung in der Umgebung der kombinierten Sattel-Knoten/Soft-Mode Bifurkation untersucht. Dieses Szenario kommt dadurch zustande, dass die homogene Fixpunktlösung eines räumlich ausgedehnten Systems einerseits eine Instabilität gegenüber inhomogenen Störungen aufweist (eine sogenannte Soft-Mode oder Turing-Instabilität), andererseits selbst bei einem bestimmten Parameterwert durch eine Sattel-Knoten Bifurkation vernichtet wird. Im ersten Teil werden die Bedingungen, die zur Verschmelzung der beiden elementaren Bifurkationen führen, anhand einer allgemeinen (1+1)-dimensionalen partiellen Differentialgleichung aufgestellt und auf eine geometrische Weise interpretiert. Im Anschluss daran wird ein Modellsystem vorgeschlagen, das die entartete Bifurkation im Sinne einer Normalform repräsentiert. Numerische Simulationen in der Nähe des Entartungspunktes zeigen ein interessantes Wechselspiel zwischen lokalisierten (solitären) und periodischen Lösungen: Im subkritischen Bereich werden bereits unterhalb der Soft-Mode Schwelle solitäre Lösungen geboren, die stabil mit dem homogenen Zustand koexistieren können. Sie bilden den Keim für daraus zusammengesetzte kompliziertere Muster. An der Soft-Mode Bifurkationslinie erfolgt dann die Kristallisation eines periodischen Gitters mit endlicher Amplitude, welches man auch als dichteste Packung der Einzelpulse auffassen kann. Die verbleibenden Abschnitte der Arbeit sind dem theoretischen Verständnis der gefundenen Phänomene gewidmet. Das System lässt sich durch eine verallgemeinerte Swift-Hohenberg Gleichung beschreiben und besitzt im stationären Fall Hamiltonschen Charakter. Darauf aufbauend werden analytische Methoden entwickelt, die es gestatten, die Form der solitären Lösungen sowie deren Existenzgebiet im Parameterraum zu berechnen. Außerdem wird der Übergang zum konventionellen Verhalten fern des Entartungspunktes diskutiert.

A new Scenario in Bifurcation Theory: The combined Saddle-Node/Soft-Mode Bifurcation. In this thesis spatio-temporal pattern formation in the vicinity of the combined saddle-node/soft-mode bifurcation is investigated. This scenario occurs when one homogenous fixed point solution of a spatially extended system becomes unstable with respect to inhomogeneous perturbations (soft-mode or Turing instability), while simultaneously the fixed point itself is destroyed at certain parameter values by a saddle-node bifurcation. In the first part the conditions leading to a coalescence of the two well known bifurcations are discussed. Following the abstract treatment of a general (1+1)-PDE, a particular model is proposed which turns out to represent a normal form for the degenerate bifurcation. Numerical simulations near the point of degeneration indicate an interesting interrelation between localized (solitary) and periodic solutions. In the subcritical regime, solitary solutions can be found below the threshold for soft-mode instability, coexisting stably with the homogenous state. More complex patterns can be assembled from these elementary nonlinear excitations. At the soft-mode bifurcation line one observes the formation of finite-amplitude periodic states. Since they can be thought of as densest packets of many single pulses one can also speak of a crystallization phenomenon happening at this line. The remaining parts of this thesis aim at a theoretical understanding of the phenomena found. The system can be described by a generalized Swift-Hohenberg equation. In the stationary case it is of Hamiltonian type. Based on this fact, analytical methods are developed in order to calculate the shape of solitary solutions and the region of their existence in parameter space. The transition to conventional behavior far from the codimension-two point is discussed as well.