Vector Valued Hecke Theory

In this thesis we study vector valued modular forms with respect to certain representations. We define Hecke operators and we prove a multiplicity one theorem. This works generally for representations with a kernel that contains some principal congruence subgroup. Afterwards, we focus on the Weil representation. We study the effect of Hecke operators on vector valued Eisenstein series and theta series. Finally, we recall the concept of an isotropic oldform. We show that in certain cases, in fact, all forms are isotropic oldforms i.e. are induced by modular forms on smaller vector spaces.

In der vorgelegten Arbeit werden vektorwertige Modulformen zu Darstellungen von SL(2,Z), deren Kern eine Hauptkongruenzuntergruppe enthält, untersucht. Diese Darstellungen werden auf GL(2, Z/NZ) fortgesetzt. Damit werden Hecke Operatoren für vektorwertige Modulformen für solche Darstellungen definiert und der gemeinsame Eigenraum analysiert. Insbesondere wird gezeigt, dass der gemeinsame Eigenraum der Hecke Operatoren höchstens eindimensional ist, falls die Darstellung irreduzibel ist. Anschliessend wird der Effekt von den Hecke Operatoren auf vektorwertigen Eisensteinreihen untersucht. Wenn p ein Quadrat modulo der Stufe N eines Gitters L ist, und N ungerade ist, dann wird der Effekt des p-ten Hecke Operators auf der Thetareihe des Gitters angegeben. Als Letztes wird gezeigt, dass alle vektorwertigen Modulformen für die Weildarstellung einer Diskriminantenform D von gerader Signatur isotrope Altformen sind (d.h. durch Modulformen auf kleineren Diskriminantenformen induziert werden), falls |D| > N^9 gilt, wobei N die Stufe von D ist.