Numerical analysis of parabolic optimal control problems with restrictions on the state and its first derivative

The aim of this thesis is the numerical analysis of optimal control problems governed by parabolic PDEs and subject to constraints on the state variable and its first derivative. The control is acting distributed in time only while the state constraints are considered point-wise in time and global in space; this setting generates an optimization problem of semi-infinite type. The consideration of a space-time discretization of the problem requires the analysis of the convergence of the discretized solution toward the continuous one, as temporal and space mesh size tend to zero. This is based, at any level of discretization, on a priori error estimates for the solution of the parabolic differential equation which are obtained within this thesis. One of the main challenge for state-constrained problem consists in the presence of a Lagrange multiplier appearing as a Borel measure in the system of first-order optimality conditions. In particular, such measure enters the optimality system as data in the adjoint equation affecting the regularity of the adjoint variable itself. Therefore, in the derivation of the convergence rates the use of adjoint information has to be avoided. When considering non-convex problems, the presence of local solutions and the need for second-order optimality conditions require a different strategy compared to the convex case, making the analysis more involved. In particular, the convergence of the discretized solution toward the continuous one is based on a so-called quadratic growth-condition, which arises from the second-order optimality conditions. The a priori error estimates for the PDEs are verified numerically.

Ziel der vorliegenden Dissertation ist die numerische Analysis von Optimalsteuerungsproblemen mit parabolischen Differentialgleichungen sowie Zustands-und Gradientenschranken als Nebenbedingungen. Während die Steuerung lediglich zeitabhängig ist, werden die Zustandsschranken punktweise in der Zeit und global im Ort vorgeschrieben. Es handelt sich somit um ein semi-infinites Optimierungsproblem. Die Diskretisierung des Problems in Ort und Zeit erfordert eine Konvergenzanalyse, d.h. eine Betrachtung des Verhaltens der Lösungen der diskretisierten Probleme bezüglich der Lösung des kontinuierlichen Problems, wenn die Gitterweite der Diskretisierung gegen Null strebt. Diese Konvergenzanalyse basiert bei beliebigem Diskretisierungsgrad auf a-priori-Fehlerschätzern für die parabolischen Differentialgleichungen, welche in der vorliegenden Dissertation hergeleitet werden. Eine der groß en Herausforderungen bei Problemen mit Zustandsschranken besteht darin, dass es sich bei den Lagrange-Multiplikatoren in den Optimalitätsbedingungen erster Ordnung um Borelmaße handelt. Insbesondere treten diese Maße als Daten in der Adjungiertengleichung auf,wodurch sie die Regularität des adjungierten zustands direkt beeinflussen. Folglich muss in der Herleitung der Konvergenzraten auf Informationen aus der Adjungiertengleichung verzichtet werden. Das Auftreten lokaler Optima und die Verwendung von Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung bei der Untersuchung nicht-konvexer Probleme erfordert die Wahl einer anderen Strategie als im konvexen Fall, sodass die Komplexität des vorliegenden Problems erheblich zunimmt. Insbesondere basiert die Konvergenzanalyse
auf einer quadratischen Wachstumsbedingung, welche aus den Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung hervorgeht. Die A-priori-Fehlerschätzer für die partiellen Differentialgleichungen werden anhand numerischer Beispiele verifiziert, wobei die Konvergenzraten des Optimalsteuerungsproblems den entsprechenden Fehler in der Differentialgleichung erwartungsgemäß widerspiegeln.