Limit Cycles in Quantum Systems
Limit Cycles in Quantum Systems
In this thesis we investigate Limit Cycles in Quantum Systems. Limit cycles are a renormalization group (RG) topology. When degrees of freedom are integrated out, the coupling constants flow periodically in a closed curve. The presence of limit cycles is restricted by the necessary condition of discrete scale invariance. A signature of discrete scale invariance and limit cycles is log-periodic behavior. The first part of this thesis is concerned with the study of limit cycles with the similarity renormalization group (SRG). Limit cycles are mainly investigated within conventional renormalization group frameworks, where degrees of freedom, which are larger than a given cutoff, are integrated out. In contrast, in the SRG potentials are unitarily transformed and thereby obtain a band-diagonal structure. The width of the band structure can be regarded as an effective cutoff. We investigate the appearance of limit cycles in the SRG evolution. Our aim is to extract signatures as well as the scaling factor of the limit cycle. We consider the $1/R^2$-potential in a two-body system and a three-body system with large scattering lengths. Both systems display a limit cycle. Besides the frequently used kinetic energy generator we apply the exponential and the inverse generator. In the second part of this thesis, Limit Cycles at Finite Density, we examine the pole structure of the scattering amplitude for distinguishable fermions at zero temperature in the medium. Unequal masses and a filled Fermi sphere for each fermion species are considered. We focus on negative scattering lengths and the unitary limit. The properties of the three-body spectrum in the medium and implications for the phase structure of ultracold Fermi gases are discussed.
In dieser Arbeit befassen wir uns mit Grenzzyklen in Quantensystemen. Grenzzyklen sind eine Topoplogie der Renormierungsgruppe (RG). Wenn Hochenergie-Freiheitsgrade ausintegriert werden, laufen die Kopplungskonstanten periodisch in einer geschlossenen Kurve. Grenzzyklen können allerdings auch auftreten, wenn Niederenergie-Freiheitsgrade ausintegriert werden. Eine notwendige Bedingung für das Auftreten von Grenzzyklen ist diskrete Skaleninvarianz. Eine Signatur der diskreten Skaleninvarianz und von Grenzzyklen ist logarithmisch-periodisches Verhalten. Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir Grenzzyklen mit Hilfe der Ähnlichkeitsrenormierungsgruppe, im Englischen Similarity Renormalization Group (SRG) genannt. Grenzzyklen werden hauptsächlich mit Mitteln der konventionellen Renormierungsgruppe untersucht. Dabei werden Freiheitsgrade, die größer sind als ein zuvor festgelegter Cutoff, ausintegriert. Der Ansatz der SRG ist hingegen ein anderer. In der SRG werden Potentiale unitär transformiert und erhalten dabei eine banddiagonale Form. Die Breite der Bandstruktur kann dabei im Vergleich zur RG-Methode als eine andere Art von Cutoff angesehen werden. Wir untersuchen das Auftreten von Grenzzyklen in der SRG-Entwicklung. Unser Ziel ist es dabei Signaturen des Grenzzyklus aus den entwickelten Potentialen sowie den Skalenfaktor zu extrahieren. Wir betrachten das $1/R^2$-Potential im Zweiteilchen-System sowie ein Dreiteilchen-System mit großer Streulänge. Beide Systeme weisen einen Grenzzyklus auf. Wir verwenden neben dem häufig genutzten kinetischen-Energie-Generator auch zwei weitere SRG-Generatoren, den exponentiellen und inversen Generator. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit Grenzzyklen bei endlicher Dichte. Wir untersuchen dabei die Polstruktur der Streuamplitude für unterscheidbare Fermionen bei der Temperatur $T=0$ im Medium. Unterschiedliche Massen der Fermionen werden ebenso angenommen wie eine vollständig gefüllte Fermikugel für jede Fermionensorte. Dabei konzentrieren wir uns auf den Bereich negativer Streulängen und den unitären Grenzfall. Wir diskutieren wie sich die Eigenschaften des Dreiteilchenspektrums verändern, wenn man anstatt des Vakuums eine endliche Dichte annimmt. Des Weiteren nutzen wir unsere Ergebnisse um Rückschlüsse auf die Phasenstruktur ultrakalter Fermigase zu ziehen.
