Surfaces in Homogeneous Manifolds Generated by Schwarz Reflection

Given a Jordan curve on the edge set of a total geodesic polytope in Euclidean, spherical, or hyperbolic n-space, we inscribe an embedded surface with boundary of the given curve which lies in the interior of the polytope. By Schwarz reflection, we can extend this surface patch to a complete surfaces. This main result of the thesis gives a necessary and sufficient condition if the resulting surface is embedded or has self-intersections. This problem is a generalisation of the classical construction of the Schwarz D surface and Lawsons surfaces.

Wir betrachten eine Jordankurve auf der Kantenmenge eines total geodätischen Polytops im n-dimensionalen euklidischen, sphärischen oder hyperbolischen Raums. Dazu definieren wir eine eingebettete Fläche, die im Inneren des Polytops liegt und dessen Rand die Jordankurve ist. Durch Schwarz-Spiegelung können wir das Flächenstück zu einer vollständigen Fläche fortsetzen. Das Hauptresultat gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung, ob die Gesamtfläche eingebettet ist. Das Problem ist eine Verallgemeinerung der Konstruktion der Schwarz D Fläche und den Lawson-Flächen.