Quasistatische Feldsimulationen auf der Basis von Finiten Elementen und Spektralmethoden in der Anwendung auf supraleitende Magnete

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Berechnung elektromagnetischer Felder in der quasistatischen Näherung. Diese ist für viele in der Praxis anzutreffende Problemstellungen zulässig. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Anwendung und Entwicklung von Verfahren auf der Basis der Methode der Finiten Elemente, insbesondere in Verbindung mit Ansätzen höherer Ordnung. Beispiele ergeben sich innerhalb der Beschleunigertechnik bei der Auslegung zur Strahlführung benötigter Magnete, in der Energietechnik im Rahmen der Bestimmung von Betriebsparametern elektrischer Maschinen sowie der Vorhersage der Hochspannungsfestigkeit von Transformatoren. Während der Design- und Entwicklungsphase derartiger Geräte bieten numerische Modelle eine komfortable Alternative zum vergleichsweise teuren Aufbau von Prototypen. Größere Skalenunterschiede in den Materialparametern, den Zeitkonstanten und den geometrischen Abmessungen führen jedoch bei klassischen Diskretisierungsansätzen zu inakzeptabel hohem Speicherbedarf oder unangemessen langen Rechenzeiten. Im Extremfall wird dadurch die Simulation und mitunter auch eine erwünschte technische Verbesserung an dem Entwurf unmöglich. Im Rahmen dieser Arbeit werden zwei Ansätze zur Erweiterung des Einsatzgebietes numerischer Simulationen auf der Basis der Methode der Finiten Elemente verfolgt. Der inhaltlich erste Teil befasst sich mit der Parallelisierung herkömmlicher Algorithmen und der zugehörigen Simulationswerkzeuge. Dadurch erschließt sich ein Anwendungsgebiet für, in Form enthaltener Freiheitsgrade, weitaus größere numerische Modelle als bisher. Dies wird anhand der Berechnung der elektromagnetischen Felder in einem supraleitenden Beschleunigermagneten, der am GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung im Rahmen des Projektes FAIR entwickelt wurde, veranschaulicht. Im zweiten Teil der Arbeit wird ein hybrides Diskretisierungsverfahren vorgestellt, welches unter besonderer Berücksichtigung geometrischer Symmetrien eine erhebliche Reduzierung des numerischen Aufwands in Form erforderlicher Freiheitsgrade verspricht. Diese Klasse problemangepasster hybrider Diskretisierungsansätze basiert auf der Modellierung in räumlich reduzierter Dimension innerhalb vorhandener Symmetriegebiete. Unter Verwendung orthogonaler Polynome zur räumlichen Approximation der elektromagnetischen Felder entlang der Symmetrierichtung in Kombination mit Finite-Elemente-Ansatzfunktionen in der dazu senkrechten Ebene entsteht ein effizientes Verfahren, mit dem eine hohe Genauigkeit erreicht werden kann. Die Verbindung zu Bereichen, welche keine Symmetrie aufweisen, erfolgt in Form einer starken Kopplung über einen Gebietszerlegungsansatz. Durch die Verwendung dieser Strategie wird für bestimmte Beispiele mit einigen hunderttausend Freiheitsgraden ein Genauigkeitsniveau erreicht, für das beim Einsatz klassischer Finite-Elemente-Verfahren mehrere Millionen Freiheitsgrade erforderlich sind. Dies wird anhand verschiedener Beispiele, wie einem zylindrischen Transformator und dem bereits erwähnten Beschleunigermagneten, aufgezeigt.

This thesis is concerned with the numerical simulation of electromagnetic fields in the quasi-static approximation which is applicable in many practical cases. Main emphasis is put on higher-order finite element methods. Quasi-static applications can be found, e.g., in accelerator physics in terms of the design of magnets required for beam guidance, in power engineering as well as in high-voltage engineering. Especially during the first design and optimization phase of respective devices, numerical models offer a cheap alternative to the often costly assembly of prototypes. However, large differences in the magnitude of the material parameters and the geometric dimensions as well as in the time-scales of the electromagnetic phenomena involved lead to an unacceptably long simulation time or to an inadequately large memory requirement. Under certain circumstances, the simulation itself and, in turn, the desired design improvement becomes even impossible. In the context of this thesis, two strategies aiming at the extension of the range of application for numerical simulations based on the finite element method are pursued. The first strategy consists in parallelizing existing methods such that the computation can be distributed over several computers or cores of a processor. As a consequence, it becomes feasible to simulate a larger range of devices featuring more degrees of freedom in the numerical model than before. This is illustrated for the calculation of the electromagnetic fields, in particular of the eddy-current losses, inside a superconducting dipole magnet developed at the GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung as a part of the FAIR project. As the second strategy to improve the efficiency of numerical simulations, a hybrid discretization scheme exploiting certain geometrical symmetries is established. Using this method, a significant reduction of the numerical effort in terms of required degrees of freedom for a given accuracy is achieved. The problem-tailored discretization approach is based on a geometrical modeling of reduced spatial dimension inside respective domains of symmetry. For the approximation of the electromagnetic fields, orthogonal polynomials along the direction of symmetry are combined with finite element shape functions at the remaining cross-section. This leads to an efficient method providing a high accuracy. The domains of symmetry are embedded into the surrounding region by means of a strong coupling at the discrete level in terms of a domain decomposition approach. Using this strategy, for certain examples a level of accuracy corresponding to numerical models featuring several millions of degrees of freedom in classical finite element methods can be achieved with only one hundred thousand unknowns. This is demonstrated for different examples, e.g., a cylindrical power transformer and the already mentioned accelerator magnet.