Finiteness Properties of Chevalley Groups over the Ring of (Laurent) Polynomials over a Finite Field

A group G is of type F_n if there is a K(G,1) complex that has finite n-skeleton. The property F_1 is equivalent to being finitely generated and the property F_2 is equivalent to being finitely presented. The finiteness length of G is the maximal n for which G is of type F_n if it exists and is infinite otherwise. A rich source of groups with finite finiteness length consists of S-arithmetic groups in positive characteristic, that is, groups of the form H(O_S) where H is an algebraic group defined over a global function field k and O_S is the ring of S-integers for a finite set S of places of k. In this thesis we determine the finiteness length of the groups H(O_S) where H is an F_q-isotropic, connected, noncommutative, almost simple F_q-group and O_S is one of F_q[t], F_q[t^{-1}], and F_q[t,t^{-1}]. That is, k = F_q(t) and S contains one or both of the places s_0 and s_∞ corresponding to the polynomial p(t) = t respectively to the point at infinity. The statement is that the finiteness length of H(O_S) is n-1 if S contains one of the two places and is 2n-1 if it contains both places, where n is the F_q-rank of H. For example, the group SL_3(F_q[t,t^{-1}]) is of type F_3 but not of type F_4, a fact that was previously unknown.

Eine Gruppe G ist vom Typ F_n wenn es einen K(G,1)-Komplex mit endlichem n-Gerüst gibt. Die Eigenschaft F_1 ist äquivalent zu endlicher Erzeugtheit, die Eigenschaft F_2 zu endlicher Präsentiertheit. Die Endlichkeitslänge von G ist das maximale n für das die Gruppe vom Typ F_n ist falls ein solches existiert und andernfalls unendlich. Einen großen Vorrat an Beispielen von Gruppen mit endlicher Endlichkeitslänge stellen S-arithmetische Gruppen in positiver Charakteristik dar, d.h. Gruppen von der Form H(O_S) wobei H eine algebraische Gruppe ist, die über einem globalen Funktionenkörper k definiert ist, und O_S der Ring der S-ganzen Zahlen für eine endliche Menge S von Stellen von k. In dieser Dissertation bestimmen wir die Endlichkeitslänge der Gruppen H(O_S), wobei H eine F_q-isotrope, zusammenhängende, nicht-kommutative, fast einfache F_q-Gruppe ist, und O_S einer der Ringe F_q[t], F_q[t^{-1}] und F_q[t,t^{-1}]. Das heißt k = F_q(t) und S enthält eine oder beide der Stellen s_0 und s_∞ die zu dem Polynom p(t) = t respektive dem Punkt im Unendlichen gehören. Das Ergebnis ist, dass H(O_S) Endlichkeitslänge n-1 hat falls S eine der beiden Stellen enthält, und Endlichkeitslänge 2n-1 falls S beide Stellen enthält, wobei n der F_q-Rang von H ist. Zum Beispiel ist die Gruppe SL_3(F_q[t,t^{-1}]) vom Typ F_3 aber nicht vom Typ F_4, was bisher nicht bekannt war.