Instability and wave scattering of a compressible shear layer

In this thesis, the evolution of acoustic perturbations in a compressible hyperbolic tangent shear flow is studied and a framework is established to deal with the occurring singularities in the underlying differential equation. Basically, two sub-classes of problems are considered: Unstable perturbations on the one hand and neutral perturbations leading to acoustic waves in the far fields on the other hand. Both are derived as solutions of the linearized Euler equations, which, under the assumption of normal mode behavior, lead to an eigenvalue problem, in the isothermal case based on the Pridmore-Brown equation. For the non-isothermal problem under the assumption of a simplified temperature-velocity relation as well as for the consideration of 3D evolving perturbations, we find equivalence transformations to map these problems to the 2D isothermal problem. To solve this eigenvalue problem, a Frobenius power series matching algorithm is developed, which exactly takes into account the singularities arising from the inviscid consideration. All spurious modes are avoided and spectral convergence is achieved.

With this algorithm, a close connection between temporal instabilities and far-field radiating neutral waves is established. We find that the far-field radiation of sound emerges as large wavenumber neutral limit of the slow and fast mode instabilities. In addition to solving these eigenvalue problems, we extend the consideration to the scattering of far-field incident waves, thus answering the question of reflection and transmission of waves by the shear layer. We find a central connection between wave scattering and sound radiation. Waves with frequencies equal to the radiating eigenmodes are resonantly over-reflected, giving an infinite reflection coefficient, thus revealing acoustic resonance. We further observe the inverse phenomenon of so called absorbed modes which, when incident on the shear layer, lead to no reflected wave and are therefore fully absorbed by the shear layer. Again, a close link to instabilities is established, thus indicating that instability can be triggered by incident wave absorption since also absorbed modes emerge as another neutral limit of instabilities. We generally observe that the introduction of a temperature gradient within the current simplification shifts effects to lower Mach number compared to the isothermal case.

The results obtained for the shear layer are further extended to a plane-parallel jet with constant core flow constructed by two opposing shear layers. Here, the focus is on neutral far-field radiating waves, and we find two classes of modes. First, pure shear layer radiating modes arise from the radiating modes of each single shear layer. These are subsonic with respect to the core flow but supersonic with respect to the free stream and are therefore radiating. The second class of modes we describe is called leaking trapped waves. They are supersonic with respect to both the core and the free stream. The radiation is determined by a system of reflected waves trapped in the core, which partially leak into the far field and therefore give rise to noise there.

Finally, we extend the stability considerations from the purely temporal growth of a single mode to the spatial growth or decay of localized perturbations. Following Briggs' method, convective and absolute instabilities are introduced and preliminary results are shown, which serve as a preview of the applicability of the power series matching algorithm to fully determine the character of an unstable response to a pulse source excitation.

In der vorliegenden Arbeit wird die Ausbreitung akustischer Wellen in einer kompressiblen Scherströmung, modelliert durch ein Tangens hyperbolicus-Profil, untersucht. Hierfür wird ein Algorithmus für den Umgang mit Singularitäten der Differentialgleichung präsentiert. Damit werden zwei Unterklassen von Problemen betrachtet: Instabile Störungen sowie neutrale Störungen, die zu akustischen Druckwellen in den Fernfeldern führen. Beide sind Lösungen der linearisierten Euler-Gleichungen, die für eine isotherme Grundströmung unter der Annahme von Normalmoden auf die Pridmore-Brown-Gleichung reduziert werden. Diese stellt mit den zugehörigen Randbedingungen ein Eigenwertproblem dar. Für das nicht-isotherme Problem unter der Annahme einer vereinfachten Temperatur-Geschwindigkeits-Relation sowie für 3D-Störungen werden Äquivalenztransformationen hergeleitet, die diese Probleme auf das isotherme 2D-Problem abbilden. Zur Lösung des Eigenwertproblems wird ein Algorithmus basierend auf dem Matching von Frobeniusreihen entwickelt. Hierbei werden Singularitäten, die sich aus der reibungsfreien Betrachtung ergeben, berücksichtigt. Unphysikalische Lösungen werden so vermieden und exponentielle Konvergenz wird erreicht.

Als Ergebnis wird ein Zusammenhang zwischen sich zeitlich entwickelnden Instabilitäten und Druckwellen im Fernfeld hergestellt. Es zeigt sich, dass die Emission von Schall als neutraler Grenzwert von Instabilitäten auftritt. Neben der Lösung dieser beiden Eigenwertprobleme betrachten wir die Streuung von einfallenden Schallwellen an der Scherschicht und damit die Reflexion und Transmission solcher Wellen. Es gibt einen zentralen Zusammenhang zwischen Wellenstreuung und Schallemission. Wellen mit Frequenzen gleich den Eigenfrequenzen der emittierten Schallwellen werden akustisch resonant mit unendlicher Amplitude überreflektiert. Außerdem beobachten wir das umgekehrte Phänomen: Absorbierte Moden, die, wenn sie auf die Scherschicht treffen, zu keiner reflektierten Welle führen und daher vollständig von der Scherschicht absorbiert werden. Auch hier lässt sich eine Verbindung zu Instabilitäten herstellen, die darauf hindeutet, dass Instabilität durch die Absorption von Wellen angeregt werden kann: Absorbierte Moden sind eine weitere neutrale Grenze von Instabilitäten. Es zeigt sich, dass ein Temperaturgradient im Rahmen der genutzten Vereinfachung die Effekte im Vergleich zum isothermen Fall hin zu niedrigeren Machzahlen verschiebt.

Die für die Scherschicht gewonnenen Erkenntnisse werden auf einen planparallelen Freistrahl mit konstanter Kernströmung übertragen, der aus zwei gegenüberliegenden Scherschichten besteht. Hier liegt der Schwerpunkt auf zwei Klassen von neutralen in das Fernfeld emittierten Wellen. Erstens entstehen reine "pure shear radiating modes" aus den in das Fernfeld emittierten Wellen jeder einzelnen Scherschicht. Deren Phasengeschwindigkeit ist relativ zur Kernströmung Unterschall, in Bezug auf das Fernfeld jedoch Überschall, weswegen diese Wellen in das Fernfeld emittiert werden. Die zweite Klasse von Moden sind "leaking trapped waves", die relativ zur Kernströmung und zur Umgebung Überschall sind. Es entsteht ein System von im Kern der Freistrahlströmung zwischen den Scherschichten hin- und herreflektierten Wellen, die dann durch die beiden Scherschichten in das Fernfeld emittiert werden.

Schließlich werden die Stabilitätsüberlegungen vom rein zeitlichen Wachstum einer einzelnen Mode auf das räumliche Wachstum oder Abklingen lokalisierter Störungen erweitert. Gemäß der Briggs-Methode werden konvektive und absolute Instabilitäten eingeführt und vorläufige Ergebnisse gezeigt, die als Vorschau dienen, wie der in dieser Arbeit entwickelte Algorithmus zur Bestimmung solcher absoluter und konvektiver Instabilitäten genutzt werden kann.