Polyconvex Hyperelasticity with Neural Networks: On Invariant- and Coordinate-Based Models, Benefits and Limitations

Physics-augmented neural network (PANN) constitutive models combine the flexibility of NNs with a sound mechanical foundation. The is achieved by employing NNs for the constitutive model equations and by formulating the model to fulfil mechanical constitutive conditions. This provides models that are flexible yet physically sensible, and enables the efficient and accurate modeling of highly nonlinear and multiphysical material behavior. In this thesis, we propose several PANN constitutive models with a focus on the polyconvexity condition.

The first approach is based on different sets of polyconvex invariants, and is formulated for compressible hyperelasticity, parametrised incompressible hyperelasticity, and finite electro-elasticity. By using polyconvex invariants as inputs for NNs that are convex and monotonic, a polyconvex potential is constructed. The NN potential is complemented by additional growth and normalisation terms. Overall, this PANN modeling approach fulfils all constitutive conditions of finite (electro-) elasticity by construction, including thermodynamic consistency, polyconvexity, objectivity, material symmetry, the volumetric growth condition, and stress normalisation. Moreover, for incompressible hyperelasticity, we propose the use of monotonic (but not necessarily convex) invariant-based NN potentials. Compared to polyconvex PANN models, this approach remains more flexibility, while still including polyconvexity in a relaxed fashion.

In the second approach, we introduce polyconvex PANN models based on tensor coordinates, which we formulate for compressible anisotropic hyperelasticity. One approach is based on polyconvex combinations of the coordinates of the right Cauchy-Green tensor and its cofactor, as well as the determinant of the deformation gradient. The second approach is based on the coordinates of the deformation gradient, its cofactor, and its determinant. The respective quantities are used as inputs for NNs with monotonicity and convexity constraints to construct polyconvex potentials. Both coordinate-based models employ a group symmetrisation to include the material symmetry condition. For finite symmetry groups, this leads to an exact fulfilment of this condition. Both approaches are complemented by growth terms to ensure fulfilment of the volumetric growth condition. In addition, the model based on the right Cauchy-Green tensor employs stress normalisation terms to ensure a stress-free reference configuration. For finite symmetry groups, this model fulfils all constitutive conditions of hyperelasticity by construction. In contrast, the deformation gradient-based model does not fulfil objectivity and stress normalisation by construction, but learns to approximate these conditions in the calibration process. For this, we employ data augmentation.

We apply the polyconvex PANN models to different datasets. This includes experimental data of soft rubber-like materials, whose properties depend on manufacturing parameters, and synthetic homogenisation data of both mechanical and electro-mechanical metamaterials. In a wide range of scenarios, polyconvex PANN models show an excellent performance. We demonstrate how including monotonicity and convexity constraints can improve the generalisation and material stability of PANN models. However, for some materials, polyconvex PANN models show a moderate to bad performance. This is caused by the structural constraints inherent to polyconvex constitutive models, on which we elaborate both from a theoretical and a practical perspective.

Konstitutivmodelle basierend auf Physik-Augmentierten Neuronalen Netzen (PANNs) vereinen die Flexibilität von NNs mit einer soliden mechanischen Grundlage. Dies wird durch den Einsatz neuronaler Netze für die Modellgleichungen erreicht, sowie die Berücksichtigung von Konstitutivbedingungen in der Modellformulierung. Dadurch entstehen Modelle, die sowohl flexibel als auch physikalisch konsistent sind und eine effiziente sowie präzise Modellierung hochgradig nichtlinearer und multiphysikalischer Materialverhalten ermöglichen. In dieser Arbeit formulieren wir mehrere PANN Materialmodelle, wobei der Fokus auf Polykonvexität liegt.

Der erste Ansatz, formuliert für kompressible Hyperelastizität, parametrisierte inkompressible Hyperelastizität und finite Elektro-Elastizität basiert auf verschiedenen Sätzen polykonvexer Invarianten. Durch die Verwendung dieser Invarianten als Eingaben für NNs, welche konvex und monoton sind, werden polykonvexe Potentiale konstruiert. Diese NN Potentiale werden durch zusätzliche Wachstums- und Normalisierungsterme ergänzt. Insgesamt erfüllt dieser PANN-Ansatz alle Konstitutivbedingungen der finiten (Elektro-) Elastizität per Konstruktion. Dazu zählen thermodynamische Konsistenz, Polykonvexität, Objektivit, materielle Symmetrie, die volumetrische Wachstumsbedingung sowie Spannungsnormalisierung. Darüber hinaus präsentieren wir einen Ansatz für inkompressible Hyperelastizität, bei der monotone (aber nicht konvexe) NN Potentiale verwendet werden. Dadurch wird Polykonvexität in abgeschwächter Form berücksichtigt, und im Vergleich zu polykonvexen PANN-Modellen ist dieser Ansatz flexibler.

Weiterhin formulieren wir polykonvexe PANN-Modelle für kompressible Hyperelastizität auf Basis von Tensorkoordinaten. Ein Ansatz basiert auf polykonvexen Kombinationen der Koordinaten des rechten Cauchy-Green-Tensors, seines Kofaktors sowie der Determinante des Deformationsgradienten. Der zweite Ansatz basiert auf den Koordinaten des Deformationsgradienten, seines Kofaktors und seiner Determinante. Die jeweiligen Größen dienen als Eingaben für NNs mit Monotonie- und Konvexitätsbedingungen, wodurch polykonvexe Potentiale konstruiert werden. Diese Modelle nutzen eine Gruppensymmetrisierung, um die materielle Symmetriebedingung zu erfüllen. Für endliche Symmetriegruppen führt dies zu einer exakten Erfüllung dieser Bedingung. Beide Ansätze werden durch einen volumetrischen Wachstumsterm ergänzt. Zusätzlich verwendet das auf dem rechten Cauchy-Green Tensor basierende Modell Spannungsnormalisierungsterme. Für endliche Symmetriegruppen erfüllt dieses Modell alle Konstitutivbedingungen per Konstruktion. Im Gegensatz dazu erfüllt das auf dem Deformationsgradienten basierende Modell weder Objektivität noch Spannungsnormalisierung per Konstruktion. Diese Bedingungen lernt das Modell im Kalibrierungsprozess mithilfe von Data Augmentation.

Wir wenden die Modelle auf experimentelle Daten parametrisierter gummiartiger Materialien an, sowie auf synthetische Homogenisierungsdaten von mechanischen und elektro-mechanischen Metamaterialien. In einer Vielzahl von Anwendungen zeigen polykonvexe PANN-Modelle eine hervorragende Leistung. Insbesondere können Monotonie- und Konvexitätsbedingungen die Generalisierungsfähigkeit und materielle Stabilität von PANN-Modellen verbessern. Für einige Materialien zeigen polykonvexe PANN-Modelle jedoch eine moderate bis schlechte Leistung, was auf die strukturellen Einschränkungen zurückzuführen ist, welche diesen Modellen inhärent sind. Dies wird sowohl aus theoretischer als auch aus praktischer Perspektive diskutiert.