The BoSSS Discontinuous Galerkin solver for incompressible fluid dynamics and an extension to singular equations.

This PhD thesis contains three major aspects: (1) the BoSSS software framework (or simply BoSSS code) itself, (2) an incompressible Navier-Stokes solver that is based on the BoSSS framework and finally (3) the development of the Extended Discontinuous Galerkin (XDG) method.

One major result is the BoSSS software framework (or simply BoSSS code) itself. Its core aspects are discussed form both, software engineering and mathematical point of view. The software design itself features some novel aspects. Up to our knowledge, it is the first time someone implemented a large-scale, MPI-parallel CFD-application in the C# -language.

The implemented BoSSS software library is a general tool for for the discretization of a systems of balance equations by means of the Discontinuous Galerkin (DG) method.

On the foundation of this software library, a solver for incompressible single-phase problems, based on the projection method, was developed.

Since the solution of the Poisson equation proofed to be the dominating operation in the incompressible Navier-Stokes solver, the Conjugate Gradient solver was ported to GPU (Graphics processing Unit), yielding an acceleration factor in the range of 5 to 20 in comparison to CPU.

By the XDG method, it becomes possible to treat equations with singularities, i.e. jumps and kinks in the the solution, without regularizing these singularities (i.e. without ``smearing them'' out). The final aim of the XDG method is the treatment of immiscible multiphase flows. Since in single-phase settings it is commonly accepted that fractional-step - approaches like the Projection method offer better performance than `overall'-schemes, which assemble a large nonlinear, differential-algebraic system from the Navier-Stokes equations, it seems beneficial to extend these ideas to multiphase flows. Therefor, solvers for singular scalar equations were developed: for the Poisson equation with jump, as a proptotype for elliptic steady-state problems and for the instationary Heat equation as an example for a time-dependent equation with moving interface.

Die vorliegende Arbeit hat drei wesentliche Schwerpunkte: zum ersten das BoSSS software framework (auch als BoSSS-code'' bezeichnet) selbst, zum zweiten einen Löser für die inkompressible Navier-Stokes Gleichung, welcher auf BoSSS aufbaut und drittens die Entwicklung der Erweiterten Diskontinuierlichen Galerkin Methode (Extended Discontinuous Galerkin, XDG). Ein zentrales Resultat der Arbeit ist der BoSSS-code selbst; ausgewählte Aspekte werden vom Standpunkt des Software Engineering als auch vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet. Das Sofwaredesign selbst ist in vielerlei Hinsicht neuartig: soweit uns bekannt, wurde zum ersten Male ein MPI-paralleler CFD-Löser mittels der C#-Sprache implementiert. Das implementierte BoSSS software framework ist ein allgemeines Werkzeug zur Diskretisierung allgemeiner Systeme von Bilanzgleichungen mithilfe der Diskontinuierlichen Galerkin (DG) Methode. Auf Basis dieser Softwarebibliothek wurde ein Löser für einphasige inkompressible Probleme formuliert, welcher auf der Projektionsmethode basiert. Da sich bei einphasigen inkompressiblen Problemen die Lösung der Poissongleichung als dominierende Operation hinsichtlich der Laufzeit dargestellt hat, wurde eine Portierung des Konjugierten-Gradienten Lösers auf GPU's (Graphics Processing Unit) durchgeführt. Im Vergleich zur CPU-Implementierung ergibt sich dabei eine Beschleunigung um den Faktor 5 bis 20. Sinn und Zweck der XDG Methode ist die Numerische Abbildung singulärer partieller Differentialgleichungen, d.h. von Gleichungen mit Sprüngen und Knicken in der Lösung, ohne diese zu Regularisieren d.h. zu verschmieren''. Letztendlich soll die XDG Methode zur numerischen Abbildung mehrphasiger Strömungsprobleme benutzt werden. Im Kontext einphasiger Löser werden Fractional Step - Verfahren wie die Projektionsmethode als effizienter im Gegensatz zu integralen Schemata, welche die gesamte Navier-Stokes Gleichung in ein großes nichtlineares differentiell-algebraisches System diskretisieren, angesehen. Es scheint daher vielversprechen, diese Ideen auf Mehrphasensysteme auszudehnen. Zu diesem Zwecke wurden Löser für skalare singuläre Probleme implementiert: zum einen, als Prototyp für ein stationäres elliptisches Problem die Poissongleichung mit Sprung; zum zweiten, als Beispiel für ein transientes Problem die Wärmeleitungsgleichung mit bewegter Trennfläche.