Renormalization Group Studies of QCD-Inspired Mean-Field Models of Dense Quark Matter

Neutron stars and their mergers probe the phase structure of Quantum Chromodynamics (QCD) at baryon densities of several times nuclear saturation density and temperatures up to ∼ 100 MeV, where the equation of state (EoS) and the possible appearance of color-superconducting (CSC) quark matter remain uncertain. In the absence of first-principles calculations in this regime, effective mean-field models---mainly the Nambu--Jona-Lasinio (NJL) and Quark--Meson (QM) frameworks---are employed. However, their mean-field implementations face well-known shortcomings for CSC matter, most notably regulating the theory with a momentum cutoff introduces so-called cutoff artifacts. The primary goal achieved in this thesis is to diagnose the shortcomings of mean-field models, especially those induced by cutoff artifacts, and to provide a systematic remedy for them. With this remedy in place, we further apply the improved model to representative astrophysical problems.

We demonstrate that cutoff artifacts in regulated mean-field calculations are unavoidable. They distort thermodynamics, and compromise astrophysical predictions. We then construct a three-flavor, electrically and color-neutral NJL model with CSC that enforces renormalization-group (RG) consistency and removes these artifacts. In the resulting neutral-matter CSC phase diagram, diquark gaps ∆ and critical temperature T_c grow monotonically with chemical potential µ, squared speed of sound c_s^2 remains causal and approaches the conformal limit 1/3 from above, and color-flavor locking (CFL) phase melts in the Ginzburg--Landau--predicted so-called dSC pattern; the weak-coupling BCS ratios are recovered as µ → ∞. Another route to RG consistency is by renormalization. We construct a renormalized model of CSC matter within a two-flavor Quark--Meson--Diquark (QMD) model. In particular, we anchor our renormalized mean-field model to vacuum off-shell correlators used as input observables. We compare this renormalized formulation with the RG-consistent mean-field treatment. With a common vacuum fit across these approximations, the renormalized and RG-consistent variants yield mutually consistent thermodynamics, and a very similar quantitative behavior is realized in both approaches.

We further extend both model frameworks to include repulsive vector interactions, implemented as a four-fermion channel in NJL or as quark--vector-meson couplings in the QMD model, (giving rise to the so-called QMDV model), which produce stiff intermediate-density EoSs in order to satisfy empirical astrophysical constraints. We also clarify subtleties of vector interactions in mean-field approximation and show how incorporating higher-order vector interactions stiffen the EoS at intermediate densities, yet the speed of sound approaches the conformal limit c_s^2 →1/3 as µ → ∞.

These developments ensure correct thermodynamics and provide building blocks for studies of superconductivity and neutron stars. Using our three-flavor NJL model with diquark and vector interactions as an artifact-free description of dense matter, we explore astrophysical implications by scanning this model's parameter space. We quantify how tightly CSC EoSs can be constrained directly by empirical astrophysical constraints without any hybrid construction, and identify the CSC phases admissible in neutron-star cores. In particular, we find that the 2SC → CFL transition does not induce a mechanical instability in the stellar configurations. We then make hybrid constructions with representative hadronic EoSs to further narrow the model's allowed parameter space.

Some underlying calculations in our work and its in future applications are susceptible to numerical errors, especially for response functions such as susceptibilities, compressibility/bulk modulus, the adiabatic index, the squared sound speed c_s^2, and the heat capacity. To mitigate this, we develop a Jacobian-based symbolic framework for constrained thermodynamic derivatives. By evaluating closed-form expressions at the mean-field solution, the method avoids function evaluations at multiple points on the grid, eliminates finite-difference noise, and stabilizes higher-order pressure coefficients and derived quantities. We employ this method in selected sections throughout.

Taken together, the advances developed in this thesis reassess conventional mean-field calculations of CSC matter and by enforcing RG consistency, deliver thermodynamically correct mean-fields models that overcome many known challenges in conventional mean-field treatments, thereby enabling quantitatively reliable astrophysical calculations and charting a path toward parameter-free models of dense QCD.

Neutronensterne und ihre Verschmelzungen sondieren die Phasenstruktur der Quanten-chromo-dynamik (-Q-C-D-) bei Baryondichten von mehreren Vielfachen der Kernsättigungsdichte und Temperaturen bis zu ∼ 100 MeV, wo die Zustandsgleichung (EoS) und das mögliche Auftreten von farbüberleitendem (CSC) Quarkmateriezustand noch unsicher sind. In Abwesenheit von ab-initio-Berechnungen in diesem Bereich werden effektive Mittelfeldmodelle — hauptsächlich die Nambu--Jona-Lasinio- (NJL) und Quark--Meson- (QM) Modelle — verwendet. Ihre Mittelfeldimplementierungen weisen jedoch bekannte Schwächen für CSC-Materie auf; insbesondere führt die Regularisierung der Theorie durch einen Impulsschnitt zu sogenannten Cutoff-Artefakten. Das Hauptziel dieser Arbeit besteht darin, die Schwächen der Mittelfeldmodelle, insbesondere jene, die durch Cutoff-Artefakte hervorgerufen werden, zu diagnostizieren und ein systematisches Gegenmittel bereitzustellen. Mit diesem Gegenmittel wird das verbesserte Modell anschließend auf repräsentative astrophysikalische Probleme angewendet.

Wir zeigen, dass Cutoff-Artefakte in regularisierten Mittelfeldrechnungen unvermeidbar sind. Sie verzerren die Thermodynamik und beeinträchtigen astrophysikalische Vorhersagen. Daraufhin konstruieren wir ein dreifach-flavoriges, elektrisch und farbneutrales NJL-Modell mit CSC, das Renormierungsgruppen-(RG)-Konsistenz erzwingt und diese Artefakte beseitigt. Im resultierenden Phasendiagramm für neutrale Materie steigen die Diquarklücken ∆ und die kritische Temperatur T_c monoton mit dem chemischen Potential µ, das quadrierte Schallgeschwindigkeitsverhältnis c_s^2 bleibt kausal und nähert sich der konformen Grenze 1/3 von oben an, und die Color-Flavor-Locking-(CFL)-Phase schmilzt im von der Ginzburg--Landau-Theorie vorhergesagten sogenannten dSC-Muster; die schwach gekoppelten BCS-Verhältnisse werden für µ → ∞ wiederhergestellt.

Ein alternativer Weg zur RG-Konsistenz ist die Renormierung. Wir konstruieren ein renormiertes Modell von CSC-Materie innerhalb eines zweifach-flavorigen Quark--Meson--Diquark-(QMD)-Modells. Insbesondere verankern wir unser renormiertes Mittelfeldmodell an Vakuum-Off-Shell-Korrelatoren, die als Eingangsobservablen verwendet werden. Wir vergleichen diese renormierte Formulierung mit der RG-konsistenten Mittelfeldbehandlung. Mit einer gemeinsamen Vakuumkalibrierung über diese Näherungen hinweg liefern die renormierte und die RG-konsistente Variante konsistente Thermodynamik, und in beiden Ansätzen zeigt sich ein sehr ähnliches quantitatives Verhalten.

Wir erweitern beide Modellrahmen ferner, um repulsive Vektorwechselwirkungen einzubeziehen, implementiert als Vierfermionkanal im NJL- oder als Quark--Vektormeson-Kopplungen im QMD-Modell (was zum sogenannten QMDV-Modell führt), die bei mittleren Dichten steife EoS erzeugen, um empirische astrophysikalische Beschränkungen zu erfüllen. Außerdem klären wir Feinheiten der Vektorwechselwirkungen in der Mittelfeldnäherung und zeigen, dass die Einbeziehung höherer Ordnungen der Vektorwechselwirkung die EoS bei mittleren Dichten versteift, während sich die Schallgeschwindigkeit der konformen Grenze c_s^2 →1/3 für µ → ∞ annähert.

Diese Entwicklungen gewährleisten eine korrekte Thermodynamik und liefern Bausteine für Studien zur Supraleitung und zu Neutronensternen. Mit unserem dreifach-flavorigen NJL-Modell mit Diquark- und Vektorwechselwirkungen als artefaktfreie Beschreibung dichter Materie untersuchen wir astrophysikalische Implikationen durch einen Parameterraum-Scan dieses Modells. Wir quantifizieren, wie stark CSC-EoS direkt durch empirische astrophysikalische Beschränkungen eingegrenzt werden können, ohne eine hybride Konstruktion zu verwenden, und identifizieren die CSC-Phasen, die in Neutronensternkernen zulässig sind. Insbesondere finden wir, dass der Übergang 2SC → CFL keine mechanische Instabilität in den Sternkonfigurationen hervorruft. Anschließend führen wir hybride Konstruktionen mit repräsentativen hadronischen EoS durch, um den zulässigen Parameterraum des Modells weiter einzugrenzen.

Einige zugrunde liegende Berechnungen in unserer Arbeit und in zukünftigen Anwendungen sind anfällig für numerische Fehler, insbesondere für Antwortfunktionen wie Suszeptibilitäten, Kompressibilität/Bulkmodul, den adiabatischen Index, das quadrierte Schallgeschwindigkeitsverhältnis c_s^2 und die Wärmekapazität. Um dies zu vermeiden, entwickeln wir ein auf der Jacobi-Matrix basierendes symbolisches Rahmenwerk für konstruierte thermodynamische Ableitungen. Durch die Auswertung geschlossener Formeln an der Mittelfeldlösung vermeidet die Methode Funktionsauswertungen an mehreren Punkten des Gitters, eliminiert Differenzenrauschen und stabilisiert höhergeordnete Druckkoeffizienten und abgeleitete Größen. Diese Methode wird in ausgewählten Abschnitten angewendet.

Zusammengefasst bewerten die in dieser Arbeit entwickelten Fortschritte herkömmliche Mittelfeldrechnungen für CSC-Materie neu und liefern durch die Erzwingung von RG-Konsistenz thermodynamisch korrekte Mittelfeldmodelle, die viele bekannte Probleme konventioneller Mittelfeldbehandlungen überwinden. Damit werden quantitativ verlässliche astrophysikalische Berechnungen ermöglicht und ein Weg hin zu parameterfreien Modellen dichter QCD aufgezeigt.