From Hot to Cold, from Dense to Dilute – Renormalization Group Studies of Strongly-Interacting Matter –

We study the nature of strongly-interacting fermion matter by employing functional Renormalization Group (RG) techniques. In the first part of this thesis, we examine relativistic hot and dense quark matter focusing on the mechanism of spontaneous symmetry breaking in Quantum Chromodynamics (QCD) with two massless quark flavors. To this end, we consider Nambu–Jona-Lasinio-type (NJL) models serving as effective low-energy descriptions of QCD. We highlight the significance of Fierz completeness in such studies, analyze the fixed-point structure, study the RG flows of the four-fermion couplings, and explore the phase structure at finite temperature and quark chemical potential where we investigate the influence of different truncations. Using a Fierz-complete four-quark basis, we then study the impact of gauge degrees of freedom on the thermal phase boundary and explore the phase structure of chiral two-flavor QCD. We find that the phase boundary is significantly altered when Fierz-incomplete ansätze are considered. Moreover, our Fierz-complete studies suggest that the dynamics at low quark chemical potential is predominantly controlled by a non-Gaussian fixed point, ensuring that the low-energy physics is governed by chiral degrees of freedom. For the regime at large quark chemical potential, we find strong indications for the formation of a chiral diquark condensate. In the second part, we study bound-state properties of non-relativistic few-fermion systems at zero temperature using a functional Renormalization Group approach to Density Functional Theory (DFT-RG). We give a short introduction to DFT and the famous Kohn-Sham (KS) equations, discuss the derivation of the DFT-RG flow equation, and study a one-dimensional nuclear model as an introductory example. To improve the precision of the truncated DFT-RG equations, we propose an improvement based on the KS equations optimizing the starting point of the RG flow. As a feasibility study for this new development, we consider a system of quasi-one-dimensional dipolar fermions confined in a harmonic trap. For up to N = 5 particles, we compute ground-state energies for various interaction strengths and let different truncations compete against each other. Within our approximation, our KS-optimized DFT-RG method performs best for attractive interaction strengths but appears to be less suited in the repulsive regime of our benchmark system. Compared to exact results, we observe that the relative deviation decreases for higher particle numbers.

Wir untersuchen stark-wechselwirkende fermionische Materie unter Verwendung funktionaler Renormierungsgruppentechniken (RG). Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir relativistische, heiße und dichte Quarkmaterie, wobei wir uns auf den Mechanismus der spontanen Symmetriebrechung in der Quantenchromodynamik (QCD) mit zwei masselosen Quark-Flavours konzentrieren. Zu diesem Zweck betrachten wir zunächst Nambu– Jona-Lasinio-artige Modelle, die als effektive Niederenergiebeschreibung der QCD dienen. Wir arbeiten die Bedeutung der Fierz-Vollständigkeit in diesen Studien heraus, analysieren die Fixpunktstruktur, studieren die RG-Flüsse der Vier-Fermionen-Kopplungen und bestimmen die Phasenstruktur bei endlicher Temperatur und quarkchemischem Potenzial, wobei der Einfluss verschiedener Trunkierungen untersucht wird. Mit Hilfe einer Fierz-vollständigen Vier-Quark-Basis studieren wir anschließend die Auswirkung von Eichfreiheitsgraden auf die thermische Phasengrenze und erforschen die Phasenstruktur von QCD mit zwei masselosen Quark-Flavours. Wir stellen fest, dass sich die Phasengrenze signifikant verändert, sobald Fierz-unvollständige Ansätze verwendet werden. Darüber hinaus deuten unsere Fierz-vollständigen Studien darauf hin, dass die Dynamik bei niedrigem quarkchemischem Potenzial vorwiegend durch einen nicht-Gaußschen Fixpunkt kontrolliert wird, wodurch sichergestellt wird, dass die Niederenergiephysik von chiralen Freiheitsgraden dominiert wird. Im Bereich großer quarkchemischer Potenziale finden wir darüber hinaus starke Hinweise für die Entstehung eines chiralen Diquark-Kondensats. Im zweiten Teil untersuchen wir Bindungseigenschaften nicht-relativistischer fermionischer Systeme mit wenigen Teilchen am Temperaturnullpunkt unter Verwendung eines funktionalen Renormierungsgruppenzuganges zur Dichtefunktionaltheorie (DFT-RG). Wir geben eine kurze Einführung zur DFT und den bekannten Kohn-Sham-Gleichungen (KS), diskutieren die Herleitung der DFT-RG-Flussgleichung und betrachten ein eindimensionales Kernmodell als Beispiel. Mit dem Ziel die Genauigkeit der trunkierten DFT-RG-Gleichungen zu verbessern, stellen wir eine Optimierung des Startpunktes des RG-Flusses auf Grundlage der KS-Gleichungen vor. Die Anwendbarkeit des neu entwickelten Ansatzes studieren wir mittels Systeme quasi-eindimensionaler, dipolarer Fermionen, die in einer harmonischen Falle konfiniert sind. Für bis zu fünf Teilchen berechnen wir Grundzustandsenergien für verschiedene Wechselwirkungsstärken und testen dabei die jeweilige Leistungsfähigkeit unterschiedlichster Trunkierungen. In niedrigster Ordnung stellen wir fest, dass unser neuer Ansatz für attraktive Wechselwirkungen am besten abschneidet. Repulsive Wechselwirkungen sind damit aber nur eingeschränkt zugänglich. Wir beobachten weiterhin, dass die relative Abweichung zum exakten Resultat mit zunehmender Teilchenzahl kleiner wird.