Motivic Methods in the Langlands Program

This thesis explores the use of motivic six-functor formalisms in geometric representation theory and the Langlands program, building on work of Soergel–Wendt and Richarz–Scholbach. In the first part, which is joint work with Robert Cass and Jakob Scholbach, we consider split reductive groups over equicharacteristic local fields, and develop motivic refinements of the geometric Satake equivalence and Gaitsgory’s central functor with integral coefficients. The main technical contributions include proving that stratified Tate motives are preserved under the constant term functors, fusion product, and central functor. We then use these constructions to study generic Hecke algebras, and construct generic Satake and Bernstein isomorphisms. In the second part, we extend these techniques to general quasi-split reductive groups over arbitrary nonarchimedean local fields. We establish a motivic refinement of the ramified Satake equivalence, and deduce an integral version of the ramified Satake isomorphism for spherical Hecke algebras, generalizing results of Haines–Rostami and Zhu. As an application, we deduce the Eichler–Shimura congruence relations for Hodge type Shimura varieties, without restrictions on the ramification.

Diese Dissertation untersucht den Einsatz motivischer Sechs-Funktoren-Formalismen in der geometrischen Darstellungstheorie und im Langlands-Programm, basierend auf Arbeiten von Soergel–Wendt und Richarz–Scholbach. Im ersten Teil, der in Zusammenarbeit mir Robert Cass und Jakob Scholbach entstanden ist,betrachten wir spaltende reduktive Gruppen über lokale Körpern in gleicher Charakteristik. Wir entwickeln motivische Verfeinerungen der geometrischen Satake-Aquivalenz sowie von Gaitsgorys zentralem Funktor mit integralen Koeffizienten. Zu den wichtigsten technischen Beiträgen gehört der Nachweis, dass strataweise-Tate Motive under den Konstanttermfunktoren, dem Fusionsprodukt und dem zentralen Funktor erhalten bleiben. Wir verwenden diese Konstruktionen, um generische Hecke-Algebren zu untersuchen und konstruieren generische Satake- und BernsteinIsomorphismen. Im zweiten Teil erweitern wir diese Techniken auf allgemeine quasi-spaltende reduktive Gruppen über beliebigen nichtarchimedischen lokalen Körpern. Wir etablieren eine motivische Verfeinerung der verzweigten Satake-Aquivalenz und leiten eine integrale Version des verzweigten Satake-Isomorphismus für sphärische Hecke-Algebren her, wodurch wir Ergebnisse von Haines–Rostami und Zhu verallgemeinern können. Als Anwendung folgern wir die Eichler–Shimura-Kongruenzrelationen für Shimura-Varietäten vom Hodge-Typ, ohne Einschrankungen an die Verzweigung.