Observer-based data assimilation and asymptotic-preserving discretization for hyperbolic balance laws on networks

The transport of hydrogen or natural gas through pipeline networks can be modeled by hyperbolic balance laws on networks. In this thesis we model the gas flow through the pipes by the one-dimensional barotropic Euler equations or simplifications thereof. At the pipe junctions, the equations have to be complemented by suitable coupling conditions. This thesis contributes to two important aspects, namely the numerical discretization of the equations and the state estimation from partial measurements.

In the first part of this thesis, we study the numerical discretization of the barotropic Euler equations by a mixed finite element method in space and an implicit Euler scheme for time discretization. Since the practically relevant setting is long pipes, small velocities and large friction, we introduce a scaling parameter that accounts for scaling to the low Mach number/large friction limit. Under the assumption that the exact system admits a smooth, subsonic solution that is bounded away from vacuum, we provide an asymptotic-preserving convergence analysis. In particular, we show optimal order convergence with error bounds that are uniform with respect to the scaling parameter, i.e., the scheme is also a valid discretization scheme for the parabolic limit problem arising in the low Mach number/large friction limit. The proof is based on relative energy estimates and the fact that the scheme is constructed in such a way that the Hamiltonian structure of the equations is preserved on the discrete level. Using energy-conserving coupling conditions at the pipe junctions allows us to extend the convergence result to networks.

In parts two and three, we investigate the estimation of the current state in the network from partial measurements by observer-based data assimilation. This is relevant for instance for solving control problems that are needed for an efficient gas transport through the network. Since it is not possible to measure the complete state, i.e. the value of two independent state variables such as velocity and density, at every point in the network, we construct an observer system. This is a system that is similar to the original system, but contains additional source terms or boundary conditions which account for the measurements. The main goal is to show convergence of the state of the observer system towards the original system state in the long time limit.

First, we consider observer-based data assimilation using distributed measurements of one state variable. For instance, we assume that we have measurements of the velocity everywhere in the pipe and from this we want to reconstruct the complete system state, in particular, also the value of the density. We model the gas flow by the barotropic Euler equations and construct an observer-system of Luenberger type. Under suitable smallness and compatibility conditions we show existence of Lipschitz-continuous semi-global solutions of the observer system and of the original system for a single pipe and for general networks. In addition, based on an extension of the relative energy method,we prove exponential convergence of the state of the observer system towards the original system state in the long time limit for a single pipe and for star-shaped networks.

Second, we study data assimilation for the case that measurements of the density and the velocity are given at the boundary nodes and at a small set of discrete points within the network. Here, we describe the gas flow by a semilinear model that is derived as a simplification of the barotropic Euler equations. Assuming that measurements at all boundary nodes are given, we identify the minimal number and location of additional measurement points within the pipes of the network that are needed in order to guarantee synchronization, i.e., convergence of the state of the observer system towards the original system state. For tree-shaped networks, we show that boundary measurements suffice to prove exponential synchronization. For networks that contain cycles, we need additional measurement points within the network to guarantee synchronization. More precisely, we can prove convergence of the observer state towards the original system state if and only if additional measurement points are placed in the pipes that are contained in the cycles in such a way that the network becomes tree-shaped if it is cut at these additional measurement points.

Der Transport von Wasserstoff oder Erdgas durch Rohrleitungsnetze kann durch hyperbolische Bilanzgleichungen auf Graphen modelliert werden. In der vorliegenden Dissertation modellieren wir den Gasfluss durch die Rohrleitungen durch die eindimensionalen barotropen Eulergleichungen oder Vereinfachungen dieser. An den Knoten des Netzwerks müssen die Gleichungen durch geeignete Kopplungsbedingungen ergänzt werden. Diese Arbeit leistet einen Beitrag zu zwei wichtigen Aspekten, nämlich zur numerischen Diskretisierung der Gleichungen und zur Schätzung des Systemzustands aus unvollständigen Messungen.

Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir die numerische Diskretisierung der barotropen Eulergleichungen durch eine gemischte Finite-Elemente-Methode im Ort und ein implizites Eulerschema für die Zeitdiskretisierung. Da die typischen Bedingungen in der Praxis lange Rohre, kleine Geschwindigkeiten und eine hohe Reibung an den Rohrwänden sind, führen wir einen Parameter zur Skalierung der Gleichungen in den Bereich kleiner Machzahlen und großer Reibung ein. Unter der Annahme, dass das exakte System eine glatte, subsonische Lösung besitzt, deren Dichte durch eine positive Konstante nach unten beschränkt ist, liefern wir eine Konvergenzabschätzung optimaler Ordnung mit Fehlerschranken, die uniform im Skalierunsgparamter sind. Insbesondere ist die numerische Methode auch ein sinnvolles Diskretisierungsschema für das parabolische Grenzproblem, das im Grenzfall kleiner Machzahlen und großer Reibung auftritt. Der Beweis dieses Konvergenzresultats basiert auf der Methode der relativen Energie und darauf, dass das Schema so konstruiert ist, dass die Hamiltonsche Struktur der Gleichungen in der Diskretisierung erhalten bleibt. Die Verwendung energieerhaltender Kopplungsbedingungen an den inneren Knoten erlaubt die Erweiterung des Resultats von einem einzelnen Rohr auf Netzwerke.

In Teil zwei und drei untersuchen wir die Schätzung des aktuellen Systemszustands aus unvollständigen Messungen mithilfe beobachterbasierter Datenassimilation. Dies ist relevant für das Lösen von Steuerungsproblemen, die für einen effizienten Gastransport durch das Gasnetz erforderlich sind. Da es nicht möglich ist, den kompletten Systemzustand, d.h. den Wert zweier unabhängiger Zustandsvariablen wie z.B. Dichte und Geschwindigkeit, an jedem Punkt des Netzes zu messen, konstruieren wir ein Beobachtersystem, das dem ursprünglichen System ähnlich ist, aber zusätzliche Quellterme oder Randbedingungen enthält, die von den Messwerten abhängen. Unser Hauptziel ist es, die Konvergenz des Zustands des Beobachtersystems gegen den Zustand des ursprünglichen Systems zu zeigen.

Zuerst betrachten wir beobachterbasierte Datenassimilation für verteilte Messungen einer Zustandsvariablen. Zum Beispiel nehmen wir an, dass Messungen der Geschwindigkeit an allen Punkten im Rohr vorliegen. Daraus wollen wir den kompletten Systemzustand rekonstruieren, d.h. insbesondere auch den Wert der Dichte. Hierbei modellieren wir den Gasfluss durch die barotropen Eulergleichungen und konstruieren ein Luenberger-Beobachtersystem. Unter geeigneten Kleinheits- und Kompatibilitätsannahmen zeigen wir die Existenz von Lipschitz-stetigen semiglobalen Lösungen des Beobachtersystems und des ursprünglichen Systems für ein einzelnes Rohr und für allgemeine Netzwerke. Außerdem zeigen wir exponentielle Konvergenz des Zustands des Beobachtersystems gegen den ursprünglichen Systemzustand im Grenzfall langer Zeiten für ein einzelnes Rohr und für sternförmige Netzwerke, wobei der Beweis auf einer Erweiterung der Methode der relativen Energie beruht.

Anschließend untersuchen wir Datenassimilation für den Fall, dass Messungen der Dichte und der Geschwindigkeit des Gases an den Randknoten des Netzwerks und an einer kleinen Anzahl diskreter Messpunkte innerhalb des Netzes vorliegen. In diesem Fall modellieren wir den Gasfluss durch ein semilineares Modell, das eine Vereinfachung der barotropen Eulergleichungen ist. Unter der Annahme, dass Messungen an allen Randknoten vorliegen, ermitteln wir die minimale Anzahl und mögliche Platzierung zusätzlicher Messpunkte innerhalb der Rohre des Netzes, die benötigt werden, um Synchronisierung, d.h., Konvergenz des Zustands des Beobachtersystems zum ursprünglichen Systemzustand, zu garantieren. Für baumförmige Netzwerke zeigen wir, dass Randmessungen ausreichen, um exponentielle Synchronisierung zu beweisen. Für Netzwerke, die Kreise enthalten, benötigen wir zusätzliche Messpunkte innerhalb des Netzwerks, um Synchronisierung zu garantieren. Genauer gesagt können wir Konvergenz des Zustands des Beobachtersystems gegen den Zustand des ursprünglichen Systems zeigen, wenn zusätzliche Messpunkte so im Netzwerk platziert werden, dass das Netz baumförmig wird, wenn es an den zusätzlichen Messpunkten durchtrennt wird.