G-Zips, Displays, Perverse Sheaves and Deligne-Lusztig Varieties

We discuss topics around the theory of (G)-zips. We explain how to compute simple perverse sheaves on the stack of (G)-zips and do these computations in several examples.

Given a reductive group, we construct a stratification of the scheme of parabolic subgroups of a fixed type by pullback of the Ekedahl-Oort stratification of (G)-zips. We show that this stratification is finer than the usual stratification by Deligne-Lusztig varieties, and that the strata are themselves again Deligne-Lusztig varieties, which satisfy additional symmetry conditions.

The stack of (G)-displays can be seen as a generalization of (G)-zips, and we show that the stack of (\GL_n)-displays can be expressed in terms of vector bundles on a certain Rees-stack.

The topological space of the stack of (G)-zips can be computed using a refinement process. We extend this refinement process to a more general framework and show that in many situations this process can be used to compute the equivalence classes of a certain equivalence relation, which in the case of (G)-zips is precisely the topological space.

Wir diskutieren Themen rund um die Theorie der (G)-Zips. Wir erklären, wie man einfache perverse Garben auf dem Stack der (G)-Zips berechnet, und führen diese Berechnungen für mehrere Beispiele durch.

Für eine reduktive Gruppe konstruieren wir eine Stratifikation des Schemas der parabolischen Untergruppen eines festen Typs, indem wir die Ekedahl-Oort-Stratifikation der (G)-Zips auf dieses Schema zurückziehen. Wir zeigen, dass diese Stratifikation feiner ist als die übliche Stratifikation durch Deligne-Lusztig-Varietäten und dass die Strata selbst wieder Deligne-Lusztig-Varietäten sind, die zusätzliche Symmetriebedingungen erfüllen.

Der Stack der (G)-Displays kann als Verallgemeinerung der (G)-Zips angesehen werden, und wir zeigen, dass der Stack der (\GL_n)-Displays durch Vektorbündel auf einem bestimmten Rees-Stack ausgedrückt werden kann.

Der topologische Raum des Stacks der (G)-Zips kann mittels eines Verfeinerungsprozesses berechnet werden. Wir erweitern diesen Verfeinerungsprozess auf eine allgemeinere Situation und zeigen, dass dieser Prozess in vielen Situationen verwendet werden kann, um die Äquivalenzklassen einer bestimmten Äquivalenzrelation zu berechnen, die im Fall der (G)-Zips genau dem topologischen Raum entspricht.