The Role of Condensed Mathematics in Homotopy Theory

We investigate the role of condensed mathematics in the context of homotopy theory of topological spaces and schemes. In particular, we first revise the notion of pro-homotopy types of condensed anima. We present different ways to define this invariant and show its connection to the notion of shapes for topological spaces. This allows us to extend the comparison between condensed cohomology and sheaf cohomology to a larger class of topological spaces. In the second part, we define the condensed shape of a scheme as an object in the ∞-topos of condensed anima. We prove that it represents a refinement of both the étale homotopy type and the pro-étale fundamental group of a scheme. More precisely, we show that the pro-homotopy type of the condensed shape recovers the étale homotopy type of the scheme and that the pro-étale fundamental group of the scheme is related to the condensed fundamental group of the condensed shape. Our studies include a classification of schemes whose condensed shape is trivial. For this purpose, we use a different approach to define the condensed shape, which results from the work of Barwick, Glasman, Haine and Wolf.

Wir untersuchen, welche Rolle verdichtete Mathematik im Kontext von Homotopietheorie für topologische Räume und Schemata spielt. Zunächst rekapitulieren wir den Begriff des Pro-Homotopietyps eines verdichteten Anima. Wir stellen verschiedene Möglichkeiten vor, diese Invariante zu definieren und zeigen ihre Verbindung zum Begriff der Gestalt topologischer Räume auf. Dadurch können wir die Übereinstimmung von verdichteter Kohomologie und Garbenkohomologie auf eine größere Klasse von topologischen Räumen ausweiten. Im zweiten Teil dieser Arbeit definieren wir die verdichtete Gestalt eines Schemas als ein Objekt in dem ∞-Topos verdichteter Anima. Wir beweisen, dass die verdichtete Gestalt sowohl den étalen Homotopietyp als auch die pro-étale Fundamentalgruppe eines Schemas verfeinert. Insbesondere zeigen wir, dass der Pro-Homotopietyp der verdichteten Gestalt mit dem étalen Homotopietyp des entsprechenden Schemas korrespondiert und, dass die pro-étale Fundamentalgruppe des Schemas mit der verdichteten Fundamentalgruppe der verdichteten Gestalt zusammenhängt. Weiterhin klassifizieren wir Schemata, deren verdichtete Gestalt trivial ist. Dafür nutzen wir einen alternativen Definitionsansatz für die verdichtete Gestalt, welcher aus der Arbeit von Barwick, Glasman, Haine und Wolf resultiert.