Adapted unitary cocycles and quantum Markov processes : a cohomological approach

This paper deals with the question to what extent for von Neumann algebras with separable predual, equipped with a faithful normal state and an automorphism group that leaves this state invariant, inner adapted cocycles already induce unitary adapted cocycles. For this purpose, a group cohomology theory is developed that works with non-commutative groups on the one hand and the structure of a given filtration on the other hand. Furthermore, results concerning stochastic integration in the sense of the Hudson-Parthasarathy calculus are used to find another class of processes for which all inner adapted cocycles are already induced by unitary adapted cocycles. In the last chapter, the perspective of product systems of Hilbert-modules is introduced. This serves as an alternative perspective on unitary adapted cocycles and it is shown how non-commutative Bernoulli shifts lead to such product systems.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, inwiefern für von Neumann Algebren mit separablem Prädual, ausgestattet mit einem treuen normalen Zustand und einer Automorphismengruppe, die diesen invariant lässt, innere adaptierte Kozykeln bereits unitäre adaptierte Kozykeln induzieren. Hierzu wird eine Gruppenkohomologietheorie entwickelt, die zum einen mit nicht-kommutativen Gruppen arbeitet und zum zweiten die Struktur einer vorgegebenen Filtration berücksichtigt. Weiter verwenden wir Resultate bzgl. stochastischer Integration im Sinne des Hudson-Parthasarathy Kalküls, um eine weitere Klasse von Prozessen zu finden, für die alle inneren adaptierten Kozykeln bereits durch unitäre adaptierte Kozykeln induziert werden. Im letzten inhaltlichen Kapitel wird die Perspektive der Produktsysteme von Hilbert Moduln eingeführt. Diese dient zum einen als alternative Perspektive auf unitäre adaptierte Kozykeln und es wird gezeigt, wie nicht-kommutative Bernoulli Shifts zu solchen Produktsystemen führen.