Generating systems for modular forms for the Weil representation and Hecke operators for orthogonal modular forms

The transformation behaviour of the vector-valued theta function of a positive-definite even lattice under the metaplectic group Mp2(Z) is described by the Weil representation. In the first part of this thesis we study modular forms for the Weil representation. This is divided into three projects:

For an isotropic subgroup H of a discriminant form D there exists a lift from modular forms for the Weil representation of the discriminant form H^⊥/H to modular forms for the Weil representation of D. We determine a set of discriminant forms such that all modular forms for any discriminant form are induced from the discriminant forms in this set. Furthermore, for any discriminant form in this set there exist modular forms that are not induced from smaller discriminant forms.

Next we investigate the invariants of the Weil representation. In particular, we show that they are induced from 5 fundamental invariants.

In the third project we show that the space of cusp forms for the Weil representation is generated by theta series. This gives a positive answer to Eichler's basis problem in this case. As application we derive Waldspurger's result on the basis problem for scalar-valued modular forms.

The second part of this thesis is about orthogonal modular forms. First, we give a new proof of the surjectivity of the multiplicative Borcherds lift based on the analysis of local Picard groups that follows immediately from the basis problem. Then we study orthogonal Hecke operators, in particular, we compute the Hecke eigenvalues of Borcherds' Phi12.

Das Transformationsverhalten der vektorwertigen Thetafunktion eines positiv-definiten geraden Gitters unter der metaplektischen Gruppe Mp2(Z) wird durch die Weil-Darstellung beschrieben. Im ersten Teil dieser Arbeit untersuchen wir Modulformen zur Weil-Darstellung. Dies ist in drei Projekte unterteilt:

Für eine isotrope Untergruppe H einer Diskriminantenform D existiert eine Anhebung von Modulformen für die Weil-Darstellung der Diskriminantenform H^⊥/H zu Modulformen für die Weil-Darstellung von D. Wir bestimmen eine Menge von Diskriminantenformen, sodass alle Modulformen für jede Diskriminantenform von den Diskriminantenformen in dieser Menge induziert sind. Außerdem existieren für jede Diskriminantenform in dieser Menge Modulformen, die nicht von kleineren Diskriminantenformen induziert sind.

Als nächstes untersuchen wir die Invarianten der Weil-Darstellung. Insbesondere zeigen wir, dass diese von 5 fundamentalen Invarianten induziert sind.

Im dritten Projekt zeigen wir, dass der Raum der Spitzenformen für die Weil-Darstellung durch Thetareihen erzeugt wird. Dies gibt eine positive Antwort auf Eichlers Basisproblem in diesem Fall. Als Anwendung leiten wir Waldspurgers Ergebnis zum Basisproblem für skalare Modulformen her.

Der zweite Teil dieser Arbeit befasst sich mit orthogonalen Modulformen. Zunächst geben wir einen neuen Beweis der Surjektivität des multiplikativen Borcherds-Lift, der auf der Analyse der lokalen Picard-Gruppen basiert und sich unmittelbar aus dem Basisproblem ergibt. Dann untersuchen wir orthogonale Hecke-Operatoren, insbesondere berechnen wir die Hecke-Eigenwerte von Borcherds Phi12.