Intermittent Convex Integration in Mathematical Fluid Mechanics: Applications to the Euler Equations and the Chain Rule Problem

This thesis is concerned with intermittent convex integration and its applications to some equations in fluid mechanics. This technique originated from differential geometry with the proof of the famous Nash-Kuiper theorem on isometric embeddings. It was extended by Gromov and many other authors and is by now considered a powerful tool in the construction of (anomalous) solutions to certain PDEs. One of its most striking applications in the area of fluid mechanics is the proof of the flexible part of Onsager's conjecture.

In this thesis, we consider two concrete examples of intermittent convex integration. The first one concerns the chain rule problem: given scalar functions β and ρ and a divergence-free vector field u, we ask the question whether one can express div(β(ρ)u) only in terms of β'(ρ) and div(ρu). This is clear if β is at least C^1 and u and ρ are Lipschitz continuous. We prove that in the class of Sobolev vector fields, the answer to that question is negative in general. We even show that for any distribution T which is the divergence of some L^1 function and a given β with suitable growth, there exists a divergence-free, Sobolev regular u and a ρ with div(β(ρ)u)=T and div(ρu) = 0.

The second application deals with the two-dimensional Euler equations. We prove the existence of energy dissipating weak solutions with vorticity in a real Hardy space H^p with p<1. A novel difficulty here compared to previous works in convex integration is that working in real Hardy spaces requires control of higher order moments of the solutions. An additional difficulty is that we work on the full space rather than on a periodic domain.

Diese Arbeit befasst sich mit intermittierender konvexer Integration und deren Anwendungen auf Gleichungen in der Strömungsmechanik. Konvexe Integration stammt ursprünglich aus der Differentialgeometrie und entstand mit dem Beweis des bekannten Nash-Kuiper-Theorems über isometrische Einbettungen. Es wurde von Gromov und vielen anderen Autoren weiterentwickelt und gilt mittlerweile als wichtiges Werkzeug bei der Konstruktion (anomaler) Lösungen für gewisse partielle Differentialgleichungen. Eine der markantesten Anwendungen im Bereich der Strömungsmechanik ist der Beweis des flexiblen Teils der Onsager-Vermutung.

In dieser Arbeit betrachten wir zwei konkrete Beispiele von intermittierender konvexer Integration. Das erste betrifft die Gültigkeit der Kettenregel ("chain rule problem"). Gegeben seien skalarwertige Funktionen β, ρ und ein divergenzfreies Vektorfeld u. Wir untersuchen die Frage, ob div(β(ρ)u) nur durch β'(ρ) und div(ρu) dargestellt werden kann. Dies ist klar, wenn β mindestens in C^1 ist und u und ρ Lipschitz-stetig sind. Wir beweisen, dass dies für Vektorfelder mit Sobolevregularität im Allgemeinen nicht gilt. Wir zeigen sogar, dass es für jede Distribution T, die als Divergenz einer L^1-Funktion dargestellt werden kann, und eines gegebenen β mit geeigneten Wachstumsschranken ein divergenzfreies Sobolev-Vektorfeld u und ein ρ mit div(β(ρ)u)=T und div(ρu)= 0 gibt.

Die zweite Anwendung betrifft die zweidimensionalen Euler-Gleichungen. Wir beweisen die Existenz schwacher Lösungen mit Wirbelkraft in einem reellen Hardy-Raum H^p mit p<1, welche die kinetische Energie nicht erhalten. Eine neue Schwierigkeit im Vergleich zu früheren Arbeiten mit konvexer Integration besteht darin, dass die Konstruktion von Lösungen mit Ableitungen in reellen Hardy-Räumen die Kontrolle von Momenten höherer Ordnung erfordert. Eine zusätzliche Herausforderung ist, dass wir mit Lösungen auf dem Ganzraum anstelle von periodischen Lösungen arbeiten.