Geometry and Topology of Bipolar Minimal Surfaces in the 5-Sphere

In the theory of closed minimal surfaces in the n-dimensional sphere, geometric and topological properties are closely intertwined. A classical question is whether there exist (primarily embedded) examples of every topological type -- an issue, that particularly touches several other geometric variational problems. The current state of the art provides a rich theory and long list of examples for closed minimal surfaces in the 3-sphere. However, knowledge about representatives in the individual topological classes and higher codimensions remains sparse. To this end, the main focus of this thesis lies on a specific class of minimal surfaces in the 5-sphere, so-called bipolar surfaces, which arise from minimally immersed surfaces in the 3-sphere.

On the one hand, we will topologically classify the bipolar minimal surfaces induced by two families among the prominent closed minimal surfaces in the 3-sphere that were constructed by H. Blaine Lawson in 1970. In that context, a notable phenomenon is that, regarding topology and embeddedness, bipolar surfaces can differ significantly from the original surfaces in the 3-sphere.

On the other hand, we will consider bipolar surfaces as part of a more general class of minimal surfaces in the 5-sphere. First, this leads to a deeper understanding of their geometric data. Finally, this will in fact enable us to prove that, under certain conditions, locally any immersed surface of the aforementioned class is congruent to a bipolar surface.

In der Theorie geschlossener Minimalflächen in der n-dimensionalen Sphäre sind geometrische und topologische Eigenschaften eng miteinander verwoben. Eine klassische Fragestellung ist, ob es (in erster Linie eingebettete) Beispiele für jeden topologischen Typ gibt -- eine Frage, die insbesondere eine Vielzahl anderer geometrischer Variationsprobleme tangiert. Der gegenwärtige Stand beinhaltet eine umfassende Theorie und eine lange Liste von Beispielen für geschlossene Minimalflächen in der 3-Sphäre. Das Wissen über Repräsentanten in den einzelnen topologischen Klassen und höheren Kodimensionen bleibt jedoch spärlich. Daher liegt der Schwerpunkt dieser Arbeit auf einer speziellen Klasse von Minimalflächen in der 5-Sphäre, den sogenannten bipolaren Flächen, welche von Minimalflächen in der 3-Sphäre induziert werden.

Zum einen werden wir jene bipolaren Minimalflächen topologisch klassifizieren, die durch zwei Familien unter den weit bekannten, geschlossenen Minimalflächen in der 3-Sphäre erzeugt werden, die 1970 von H. Blaine Lawson konstruiert wurden. Ein bemerkenswertes Phänomen in diesem Zusammenhang ist, dass sich bipolare Flächen in Bezug auf Topologie und Eingebettetheit erheblich von den ursprünglichen Flächen in der 3-Sphäre unterscheiden können.

Andererseits werden wir bipolare Flächen als Teil einer allgemeineren Klasse von Minimalflächen in der 5-Sphäre betrachten. Dies führt zunächst zu einem tieferen Verständnis ihrer geometrischen Daten. Zuguterletzt werden wir dadurch in der Lage sein, zu beweisen, dass unter bestimmten Bedingungen lokal jede immersierte Fläche der oben genannten Klasse kongruent zu einer bipolaren Fläche ist.