Brownian Motion with Limited Occupation Times

In this thesis, we condition a Brownian motion on spending limited time outside an interval. More precisely, we bound the occupation time outside the interval by a deterministic constant. This is accomplished by conditioning on approximations of the event in question and passing to the weak limit.

We start our analysis with the case of an unbounded interval, where we describe the resulting process in terms of a path decomposition. In particular, we exactly determine the distributions of the total occupation time outside and the last entrance time into the interval. Additionally, we provide limiting theorems for the mentioned quantities as the starting point tends to ∞ or -∞, respectively.

If the interval is bounded, we focus on starting points inside. In this setting, we prove that the resulting process does not leave the interval at all, but satisfies the very same SDE as a Brownian motion which is conditioned to stay inside the interval. This result is a very rare extreme example of entropic repulsion. On our way, we explicitly determine the exact asymptotic behavior of the probability that a Brownian motion spends limited time outside the interval during the first T time units, as T→∞.

In dieser Arbeit bedingen wir eine Brownsche Bewegung darauf, nur begrenzt Zeit außerhalb eines Intervalls zu verbringen. Genauer beschränken wir die Aufenthaltszeit außerhalb des Intervalls durch eine deterministische Konstante. Dies wird durch Bedingen auf Approximationen des besagten Ereignisses und Übergang zum schwachen Grenzwert erreicht.

Wir starten unsere Analyse mit dem Fall eines unbeschränkten Intervalls, in dem wir den resultierenden Prozess durch eine Pfadzerlegung beschreiben. Insbesondere bestimmen wir die exakten Verteilungen der gesamten Aufenthaltszeit außerhalb des Intervalls und der letzten Eintrittszeit in dasselbe. Zudem formulieren wir Grenzwertsätze für die genannten Größen, wenn der Startpunkt gegen ∞ bzw. -∞ divergiert.

Falls das Intervall beschränkt ist, fokussieren wir uns auf Startpunkte innerhalb. In diesem Setting beweisen wir, dass der resultierende Prozess das Intervall überhaupt nicht verlässt, sondern genau die gleiche stochastische Differentialgleichung löst wie eine Brownsche Bewegung, die darauf bedingt wird innerhalb des Intervalls zu bleiben. Dieses Resultat ist ein sehr ungewöhnliches Extrembeispiel entropischer Abstoßung. Auf dem Weg dorthin bestimmen wir die exakte Asymptotik der Wahrscheinlichkeit, dass eine Brownsche Bewegung innerhalb der ersten T Zeiteinheiten wenig Zeit außerhalb des Intervalls verbringt, für T→∞.