Mesh and model adaptation for hyperbolic balance laws

The objective of mesh and model adaptation is to locally choose the mesh and the model to be employed from a model hierarchy in order to reduce the computational resources needed. We do this by balancing the two sources of error, namely discretization and modelling error. In this work, we devise a mesh and model adaptation strategy for a class of model hierarchies consisting of two levels of model complexity. In particular, the fine model, also referred to as the complex system, consists of a system of hyperbolic balance laws with stiff reaction terms and the coarse model, also referred to as the simple system, consists of a system of hyperbolic conservation laws. The governing equations of the simple system are derived by making a simplifying assumption that the system is in equilibrium, i.e. the speed of the reaction is infinitely fast. Furthermore, the complex system is assumed to have an entropy structure, i.e. it is assumed to be equipped with a strictly convex entropy and entropy flux. The structure of the model hierarchy allows us to show that the simple system is analogously equipped with a strictly convex entropy and entropy flux. The relative entropy stability framework is employed to derive a posteriori error estimates with identifiable contributions of discretization and modelling error estimates. Furthermore, since the use of two different models in the computational domain gives rise to cell boundaries across which the model employed differs, we propose a coupling to be employed at these cell boundaries. In addition, mesh and model coarsening distances are defined, which provide complementary information to the defined error indicators. The defined error indicators and coarsening distances are employed to propose a mesh and model adaptation strategy. The efficacy of the mesh and model adaptation strategy is demonstrated by conducting simulations for chemically reacting fluid mixtures in one space dimension.

Das Ziel der Gitter- und Modelladaption ist die lokale Auswahl des zu verwendenden Gitters und Modells aus einer Modellhierarchie auszuwählen, um die benötigten Rechenressourcen zu reduzieren. Wir tun dies, indem wir die beiden Fehlerquellen ausgleichen, nämlich Diskretisierungs- und Modellierungsfehler. In dieser Arbeit entwickeln wir eine Strategie zur Gitter- und Modelladaption für eine Klasse von Modellhierarchien, die aus zwei Ebenen der Modellkomplexität bestehen. Insbesondere besteht das feine Modell, auch als komplexes System bezeichnet, aus einem System hyperbolischer Bilanzgesetzen mit steifen Reaktionstermen, und das grobe Modell, auch als einfaches System bezeichnet, besteht aus einem System hyperbolischer Erhaltungsgesetze. Die Gleichungen des einfachen Systems werden unter der vereinfachenden Annahme hergeleitet, dass sich das System im Gleichgewicht befindet, d.h. die Reaktionsgeschwindigkeit ist unendlich schnell. Für das komplexe System wird eine Entropiestruktur angenommen, d.h. es wird angenommen, dass es mit einer streng konvexen Entropie und einem Entropiefluss ausgestattet ist. Die Struktur der Modellhierarchie ermöglicht es uns zu zeigen, dass das einfache System analog dazu mit einer streng konvexen Entropie und einem Entropiefluss ausgestattet ist. Der Rahmen der relativen Entropie-Stabilität wird zur Herleitung von a posteriori-Fehler Schätzungen mit identifizierbaren Beiträgen von Diskretisierungs- und Modellierungsfehlern abzuleiten. Da die Verwendung von zwei verschiedenen Modellen im Rechengebiet zu Zellgrenzen führt, an denen sich das verwendete Modell unterscheidet, schlagen wir eine Kopplung vor, die an diesen Zellgrenzen eingesetzt wird. Darüber hinaus werden Gitter- und Modellvergröberungsabstände definiert, die ergänzende Informationen zu den definierten Fehlerindikatoren liefern. Die definierten Fehlerindikatoren und Vergröberungsabstände werden verwendet, um eine Gitter- und Modelladaptive Strategie vorzuschlagen. Die Wirkung der Gitter und Modellanpassungsstrategie wird durch die Durchführung von Simulationen für chemisch reagierende Flüssigkeitsgemische in einer Raumdimension demonstriert.