Green functions and arithmetic generating series on Hilbert modular surfaces

In this thesis we define and investigate two types of Green functions on Hilbert modular surfaces associated to real quadratic number fields. Both types possess logarithmic singularities along Hirzebruch-Zagier divisors. On the one hand, we consider the automorphic Green functions, originally introduced by Bruinier, and on the other hand Kudla's Green functions, which go back to Kudla. We calculate associated Fourier expansions, investigate their growth at the boundary, obtain integrability statements and determine associated integrals. Especially for the automorphic Green functions we find a valuable decomposition into smooth functions with many applications.

When examining Kudla's Green functions, we find that they do not fit into the arithmetic intersection theory generalized by Burgos Gil, Kramer and Kühn, which is due to their strong growth at the cusps. We then present a modification that subtracts the undesired growth at the boundary using a partition of unity. This is done in such an elegant way that the resulting functions are not only actual Green functions in the sense of Burgos Gil, Kramer, and Kühn, but the generating series of the subtracted error terms is modular. We use this to prove our main result, the modularity of the generating series of the arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors equipped with the modified Green functions. In the proof, we trace its modularity back to the modularity of the generating series of the arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors equipped with the automorphic Green functions whose modularity was already shown by Bruinier, Burgos Gil and Kühn.

In dieser Doktorarbeit definieren und untersuchen wir zwei Typen von Greenfunktionen auf zu reell-quadratischen Zahlkörpern assoziierten Hilbertschen Modulflächen mit logarithmischen Singularitäten entlang von Hirzebruch-Zagier-Divisoren. Dies sind zum einen die automorphen Greenfunktionen, ursprünglich eingeführt von Bruinier, und zum anderen die Kudla-Greenfunktionen, die auf Kudla zurückgehen. Wir berechnen zugehörige Fourierentwicklungen, untersuchen das Wachstum am Rand, erhalten Integrierbarkeitsaussagen und bestimmen zugehörige Integrale. Speziell für die automorphen Greenfunktionen finden wir eine wertvolle Zerlegung in glatte Funktionen mit vielerlei Anwendungen, aus denen sich erst in Summe die logarithmischen Singularitäten bilden.

Bei der Untersuchung der Kudla-Greenfunktionen stellen wir fest, dass diese nicht in die von Burgos Gil, Kramer und Kühn verallgemeinerte arithmetische Schnitttheorie passen, was an deren zu starkem Wachstum an den Spitzen liegt. Daraufhin stellen wir eine Modifikation vor, die das störende Wachstum mithilfe einer Teilung der Eins am Rand in einer solch eleganten Weise abzieht, dass die resultierenden Funktionen zum einen tatsächlich Greenfunktionen im Sinne von Burgos Gil, Kramer und Kühn sind, und zum anderen die erzeugende Reihe über die abgezogenen Störterme modular ist. Dies benutzen wir, um unser Hauptresultat, nämlich die Modularität der erzeugenden Reihe der arithmetischen Hirzebruch-Zagier-Divisoren versehen mit den modifizierten Kudla-Greenfunktionen, zu beweisen. Dazu führen wir diese Modularität auf die bereits von Bruinier, Burgos Gil und Kühn gezeigte Modularität der erzeugenden Reihe der arithmetischen Hirzebruch-Zagier-Divisoren versehen mit den automorphen Greenfunktionen zurück.