Derived F-zips

We define derived versions of F-zips and associate a derived F-zip to any proper, smooth morphism of schemes in positive characteristic. We analyze the stack of derived F -zips and certain substacks. We make a connection to the classical theory and look at problems that arise when trying to generalize the theory to derived G-zips and derived F-zips associated to lci morphisms. As an application, we look at Enriques-surfaces and analyze the geometry of the moduli stack of Enriques-surfaces via the associated derived F -zips. As there are Enriques-surfaces in characteristic 2 with non-degenerate Hodge-de Rham spectral sequence, this gives a new approach, which could previously not be obtained by the classical theory of F-zips. For this we also recall important aspects of derived algebraic geometry and the proof that the derived stack of perfect complexes is locally geometric, using the results of Antieau-Gepner and Toën-Vaquié.

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Definition von derivierten F-zips und der Analyse dereen Modulraums. Durch Benutzung deriviert algebraischer Methoden as- soziieren wir zu jedem eigentlich glatten Morphismus von Schemata einen derivierten F-zip via der zugehörigen de Rham Hyperkohomologie. Wir analysieren den Zusam- menhang zwischen derivierten F-zips und klassischen F-zips im Fall, dass die Hodge- de Rham Spektralsequenz ausartet. Ein Beispiel von geometrischen Objekten, deren Hodge-de Rham Specktralsequenz nicht ausartet, sind supersinguläre Enriques-Flächen in Characteristik 2. Wir nutzen unsere Theorie der derivierten F-zips um Aussagen über die Geometrie des Modulraums der Enriques-Flächen zu beweisen, die mit der klassischen Theorie der F -zips nicht möglich ist. Um den Sachverhalt besser zu verstehen, fassen wir wichtige Aspekte der derivierte algebraischen Geometrie zusammen und wiederholen den Beweis, dass der derivierte Stack der perfekten Komplexe lokal geometrisch ist im Fall der ∞-Kategorien nach den Resultaten von Antieu-Gepner und Toën-Vaquié.