A Geometric Approach to the Projective Tensor Norm

The main focus of this thesis is on the projective norm on finite-dimensional real or complex tensor products. There are various mathematical subjects with relations to the projective norm. For instance, it appears in the context of operator algebras or in quantum physics.

The projective norm on multipartite tensor products is considered to be less accessible. So we use a method from convex algebraic geometry to approximate the projective unit ball by convex supersets, so-called theta bodies. For real multipartite tensor products we obtain theta bodies which are close to the projective unit ball, leading to a generalisation of the Schmidt decomposition. In a second step the method is applied to complex tensor products, in a third step to separable states.

In a more general context, the projective norm can be related to binomial ideals, especially to so-called Hibi relations. In this respect, we also focus on a generalisation of the projective unit ball, here called Hibi body, and its theta bodies. It turns out that many statements also hold in this general context.

Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf der projektiven Norm auf endlichdimensionalen reellen oder komplexen Tensorprodukten. Es gibt verschiedene mathematische Themengebiete mit Bezügen zur projektiven Norm, so zum Beispiel im Kontext der Operatoralgebren oder der Quantenphysik.

Die projektive Norm auf multipartiten Tensorprodukten gilt als weniger leicht zugänglich. Daher verwenden wir eine Methode aus der konvexen algebraischen Geometrie zur Approximation der projektiven Einheitskugel durch konvexe Obermengen, sogenannte Thetakörper. Für reelle multipartite Tensorprodukte erhalten wir Thetakörper, die der projektiven Einheitskugel nahe kommen. Dies führt beispielsweise zu einer Verallgemeinerung der Schmidt-Zerlegung. In einem zweiten Schritt wird die Methode auch für komplexe Tensorprodukte angewendet, in einem dritten Schritt auf separable Zustände.

In einem allgemeineren Kontext kann die projektive Norm mit Binomidealen in Verbindung gebracht werden, insbesondere mit Hibi-Relationen. In diesem Sinne beschäftigen wir uns auch mit einer Verallgemeinerung der projektiven Einheitskugel, hier Hibi-Körper genannt, und ihren Thetakörpern. Es hat sich gezeigt, dass viele Aussagen auch in diesem allgemeinen Zusammenhang gelten.