The Color-Electric Field Correlator under Gradient Flow at next-to-leading Order in Quantum Chromodynamics

The exploration of the strong interaction by heavy-ion collisions is an important step towards a deeper understanding of nature. An experimentally and theoretically accessible probe for the details of the strong interactions are the transport properties of heavy quarks inside a quark-gluon plasma. One of the these transport coefficients is the momentum diffusion coefficient of a heavy quark. It is determined by the spectral function of an Euclidean correlator of two color-electric fields along a Polyakov loop. This purely bosonic correlator can be simulated non-perturbatively using lattice gauge theory. The correlator suffers from noise to the point where the determination of the signal is not possible. This problem can be solved by noise-reduction techniques. Lüscher introduced the gradient flow procedure as an effective gauge-invariant noise-reduction technique. Gradient flow regulates the ultra-violet behavior of correlation functions hence suppressing the noise. Consequently, the renormalization properties of the gradient flowed operators are modified. In this thesis we analyze the effects of gradient flow on the color-electric field correlation function using perturbation theory in the continuum and on the lattice at next-to-leading order in the small coupling expansion, O(αₛ²). We discuss the relation between a gradient-flowed Euclidean correlator and its spectral function. From this we conclude the necessary order for taking the continuum limit first and flow time to zero limit second in lattice simulations. With a qualitative study of the correlator in lattice QED we determine the renormalization effects of the field operators at finite lattice spacing and flow time. We compute the correlation function in continuum QCD and evaluate the small separation and small flow time limits. The results obtained in this study improve the understanding of the usage of the gradient flow method in future lattice simulations of full QCD determining transport coefficients.

Die Erforschung der starken Wechselwirkung mithilfe von Schwerionenkollisionen ist ein wichtiger Schritt hin zu einem besseren Verständnis der Natur. Die Transporteigenschaften von schweren Quarks in einem Quark-Gluon-Plasma sind dabei eine sowohl experimentell als auch theoretisch zugängliche Möglichkeit, um die Feinheiten der starken Wechselwirkung zu untersuchen. Einer der Transportkoeffizienten ist der Impuls-Diffusions-Koeffizient eines schweren Quarks. Dieser wird bestimmt durch die Spektralfunktion eines euklidischen Korrelators von zwei farbelektischen Feldern auf einer Polyakov-Schleife. Der rein bosonische Korrelator kann mithilfe von Gittereichtheorie nichtperturbativ simuliert werden. Es zeigt sich, dass der Korrelator sehr starkem Rauschen unterliegt, sodass es nicht möglich ist, ein Signal zu erhalten. Dieses Problem kann mithilfe von Rauschunterdrückungsverfahren gelöst werden. Dazu hat Lüscher ein eichinvariantes Rauschunterdrückungsverfahren entwickelt, das Gradientenfluss-Methode genannt wird. Der Gradientenfluss reguliert das ultraviolette Verhalten von Korrelationsfunktionen und unterdrückt damit das Rauschen. Folglich werden die Renormierungseigenschaften von Operatoren durch den Gradientenfluss verändert. In dieser Arbeit analysieren wir die Effekte des Gradientenflusses auf den Korrelator von farbelektrischen Feldern mithilfe von Störungstheorie im Kontinuum und auf dem Gitter zur nächsthöheren Ordnung in der Entwicklung in kleiner Koppelung O(αₛ²). Dabei diskutieren wir die Beziehung zwischen einem euklidischen Korrelator unter Gradientenfluss und seiner Spektralfunktion. Hieraus leiten wir eine erforderliche Reihenfolge der Durchführung der Grenzwertbestimmung von Gittersimulationen ab, wobei zunächst der Grenzwert im Kontinuum und anschließend der Grenzwert für verschwindende Gradientenflusszeit bestimmt werden muss. Außerdem untersuchen wir qualitativ den Effekt des Gradientflusses auf das Renormierugsverhalten des Korrelators in Gitter-QED bei endlichem Gitterabstand und endlicher Gradientenflusszeit. Abschließend berechnen wir den Korrelator in QCD im Kontinuum und werten separat die Grenzwerte von verschwindendem Abstand und verschwindender Gradientenflusszeit aus. Die Ergebnisse dieser Arbeit vertiefen das Verständnis zur Benutzung des Gradientenflusses in künftigen Gittersimulationen von QCD zur Berechnung von Transportkoeffizienten.