# Multirate modeling and simulation of pulse-width modulated power converters

### Pels, Andreas (2020)Multirate modeling and simulation of pulse-width modulated power converters. Technische Universität Darmstadtdoi: 10.25534/tuprints-00011412Ph.D. Thesis, Primary publication

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Multirate modeling and simulation of pulse-width modulated power converters
Language: English
Referees: Schöps, Prof. Dr. Sebastian ; V. Sabariego, Prof. Dr. Ruth
Date: 2020
Date of oral examination: 18 October 2019
DOI: 10.25534/tuprints-00011412
Abstract:

Pulse-width modulated power converters are devices which transform voltages and currents between different levels to meet the requirements of the appliances. In contrast to conventional transformers, they use transistors and other semiconductor components to abruptly switch on and off the input voltage source to generate an output voltage or current which, averaged in time, equals the desired values. The so-generated pulsed signal is usually filtered by an active or passive filter to suppress the high-frequency components and thus smoothen the output. The numerical simulation of these devices is computationally expensive since with conventional time discretization very small time steps are necessary to properly represent the steep transients induced by the abrupt switching of the semiconductor devices. If the semiconductor behavior is idealized, a switch event detection is often necessary to prevent a failure of the time integration algorithm.

In this dissertation a multirate approach is developed to efficiently tackle these problems. The idea is to split the solution of the ordinary differential or differential-algebraic equations describing the power converters into slowly varying parts and fast varying parts. The output of the converter is represented as a sum of fast periodically varying ripples and a slowly varying envelope. The differential equations are, in a first step, reformulated into so-called multirate partial differential equations (MPDEs), which allow to explicitly split the solution by associating the different components to different artificial time scales. The MPDEs are solved using a combination of two methods. First, a Galerkin approach is applied to solve along the fast time scale. Three different types of basis functions, namely PWM basis functions, PWM eigenfunctions and B-spline basis functions, are employed. Second, a conventional time integration algorithm is used on the remaining differential equation system. It is assumed that the semiconductor switching behavior can be idealized as such that it can be represented by an ideal pulsed voltage source. The solution components along the fast varying time scale, i.e. the ripples, are represented by basis functions, which are specifically designed for this purpose. Since in some of the solution components the ripples are only continuous and not smooth, the basis functions take these points of C0 continuity at the proper position into account by construction.

The MPDE approach is applied to different examples to demonstrate its accuracy and efficiency. It is applicable to single-phase DC-DC and DC-AC power converters. If the power converter or the application consists of nonlinear elements the computational effort increases. For nonlinear elements, e.g. nonlinear inductors, a simplification is proposed which keeps the simulation efficient. To generate the pulsed excitation, a pulse-width modulation (PWM) with constant switching frequency and varying duty cycle is applicable. It is generated by either sawtooth or triangle carriers. Both natural or regular sampling are supported. Besides circuit simulation the method is also applied to a field-circuit coupled model.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

Pulsweitenmodulierte Stromrichter transformieren elektrische Leistung zwischen verschiedenen Spannungs- und Stromebenen, um verschiedene Anwendungen zu versorgen. Im Vergleich zu herkömmlichen Transformatoren verwenden sie Transistoren und andere Halbleiterbauelemente, die die Eingangsspannung abrupt ein- und ausschalten, um am Ausgang des Stromrichters die gewünschte zeitgemittelte Spannung oder den gewünschten zeitgemittelten Strom zu erzeugen. Die so generierte gepulste Spannung wird üblicherweise durch aktive oder passive Filter gefiltert, um hochfrequente Signalanteile zu unterdrücken und die Ausgangsspannung zu glätten. Die numerische Simulation dieser Stromrichter ist aufwändig, da konventionelle Zeitschrittverfahren sehr kleine Zeitschritte benötigen, um die durch die Schaltvorgänge ausgelösten scharfen Transienten vernünftig darzustellen. Wenn das Schaltverhalten der Transistoren als ideal angenommen wird, ist es häufig sogar nötig, algorithmisch die zeitliche Position eines solchen Schaltvorgangs zu erkennen, da sonst ein Absturz des Zeitschrittalgorithmus die Folge sein könnte.

In dieser Dissertation wird ein effizienter Multiraten-Ansatz entwickelt. Die Idee besteht darin, die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungen oder differential-algebraischen Gleichungen, die den Stromrichter beschreiben, in sich langsam verändernde Anteile (Einhüllende) und schnell verändernde periodische Anteile (Welligkeit) zu zerlegen. Dafür werden die Differentialgleichungen in einem ersten Schritt umgeformt in sogenannte Multiraten Partielle Differentialgleichungen (MPDEs). Diese erlauben es, verschiedene Lösungskomponenten explizit verschiedenen Zeitskalen zuzuordnen. Um die MPDEs zu lösen, werden zwei Methoden angewandt. Zunächst wird ein Galerkin Ansatz verwendet, um entlang der schnellen Zeitskala zu lösen. Drei verschiedene Typen von Basisfunktionen werden angesetzt: PWM Basisfunktionen, PWM Eigenfunktionen und B-spline Basisfunktionen. Als Nächstes wird auf das noch übrig gebliebene Differentialgleichungssystem ein konventionelles Zeitschrittverfahren angewandt, um es entlang der langsamen Zeitskala zu lösen. Dabei wird das Schaltverhalten der Transistoren als ideal angenommen, sodass diese sich durch ideale gepulste Spannungsquellen ersetzen lassen. Die Lösungskomponenten entlang der schnellen Zeitskala, also die Welligkeit der Lösung, wird mithilfe von Basisfunktionen dargestellt. Durch die Schaltvorgänge entstehen in manchen Lösungskomponenten C0 stetige Stellen, die schon in der Konstruktion der Basisfunktionen berücksichtigt werden.

Der MPDE Ansatz wird auf verschiedene Testbeispiele angewandt, um die Genauigkeit und Effizienz numerisch zu überprüfen. Bisher lässt sich der Ansatz für einphasige DC-DC und DC-AC Stromrichter verwenden. Falls nichtlineare Bauelemente in den Stromrichtern oder den angeschlossenen Geräten vorkommen, erhöht sich der Rechenaufwand des Verfahrens. Für nichtlineare Bauelemente, z.B. nichtlineare Spulen, wird eine Vereinfachung vorgeschlagen, die weiterhin eine effiziente Simulation zulässt. Zur Generation der gepulsten Eingangsspannung erlaubt der MPDE Ansatz eine Pulsweitenmodulation (PWM) mit konstanter Schaltfrequenz und variablem Tastverhältnis. Als Trägersignal lassen sich Sägezahn- und Dreieckssignal einsetzen. Natürliche und digitale Abtastung werden unterstützt. Neben Schaltungen wird das Verfahren auch auf ein Feld-Netzwerk Modell angewandt.

German
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-114121
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 500 Science
500 Science and mathematics > 510 Mathematics
600 Technology, medicine, applied sciences > 600 Technology
600 Technology, medicine, applied sciences > 620 Engineering and machine engineering
Divisions: 18 Department of Electrical Engineering and Information Technology > Institute for Accelerator Science and Electromagnetic Fields > Computational Electromagnetics
18 Department of Electrical Engineering and Information Technology > Institute for Accelerator Science and Electromagnetic Fields