Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung und Analyse einer Diskretisierungsmethode sowie der adaptiven Kontrolle der räumlichen und zeitlichen Diskretisierungsfehler im Rahmen der zeitabhängigen Maxwellgleichungen. Dazu wird eine hp-Galerkin Diskretisierungsmethode, welche die lokale Adaption des Grades der approximierenden Polynome p sowie der Gitterschrittweite h in Raum und Zeit ermöglicht, entwickelt und analysiert. Weiterhin wird die entwickelte Methode mittels speziell angepasster Basisfunktionen dahingehend erweitert, dass Wellenleiterprobleme effizient und genau gelöst werden können. Mit dem Ziel der Kontrolle des globalen Diskretisierungsfehlers, werden a posteriori Fehlerschätzer für von der Lösung der Maxwellgleichungen abgeleitete Größen wie z.B. Streuparameter oder Fernfelder hergeleitet und innerhalb eines Raum-Zeit hp-adaptiven Algorithmus angewendet. Während solche auf der Fehlerdarstellung über das adjungierte Problem basierende Fehlerschätzer bereits für viele andere Gleichungen publiziert wurden, wurde die Anwendung dieser Methode der a posteriori Fehlerschätzung auf die zeitabhängigen Maxwellgleichungen im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelt und implementiert.